Номер 823, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Рациональные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 823, страница 229.

Условие.

823. а) $(-\frac{1}{2})^5 \cdot 4^5;$

б) $(-3)^{16} \cdot (\frac{1}{9})^7;$

в) $\frac{4^{20}}{8^{13}};$

г) $\frac{2^{10} \cdot 25^4}{4000000}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Для вычисления значения выражения $(-\frac{1}{2})^5 \cdot 4^5$ воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$(-\frac{1}{2})^5 \cdot 4^5 = (-\frac{1}{2} \cdot 4)^5$

Вычислим произведение в скобках:

$-\frac{1}{2} \cdot 4 = -2$

Теперь возведем результат в пятую степень:

$(-2)^5 = -32$

Ответ: $-32$

б) Чтобы упростить выражение $(-3)^{16} \cdot (\frac{1}{9})^7$, приведем степени к одному основанию. Так как показатель степени 16 четный, то $(-3)^{16} = 3^{16}$. Число $\frac{1}{9}$ можно представить как степень числа 3: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$3^{16} \cdot (3^{-2})^7$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^{-2})^7 = 3^{-2 \cdot 7} = 3^{-14}$

Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{16} \cdot 3^{-14} = 3^{16 + (-14)} = 3^{16-14} = 3^2 = 9$

Ответ: $9$

в) Для вычисления значения дроби $\frac{4^{20}}{8^{13}}$ приведем основания степеней в числителе и знаменателе к одному числу — 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(2^2)^{20}}{(2^3)^{13}}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим числитель и знаменатель:

$\frac{2^{2 \cdot 20}}{2^{3 \cdot 13}} = \frac{2^{40}}{2^{39}}$

Теперь воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{40-39} = 2^1 = 2$

Ответ: $2$

г) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{2^{10} \cdot 25^4}{4\,000\,000}$, представим числа в числителе и знаменателе в виде произведения степеней простых чисел.

Упростим числитель: $25 = 5^2$, следовательно $25^4 = (5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.

Числитель равен $2^{10} \cdot 5^8$.

Упростим знаменатель: $4\,000\,000 = 4 \cdot 1\,000\,000 = 4 \cdot 10^6$.

$4 = 2^2$

$10^6 = (2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6$

Знаменатель равен $2^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6 = 2^{2+6} \cdot 5^6 = 2^8 \cdot 5^6$.

Теперь подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{2^{10} \cdot 5^8}{2^8 \cdot 5^6}$

Разделим степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^{10}}{2^8} \cdot \frac{5^8}{5^6} = 2^{10-8} \cdot 5^{8-6} = 2^2 \cdot 5^2$

Вычислим результат:

$4 \cdot 25 = 100$

Ответ: $100$