Номер 826, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Рациональные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 826, страница 230.

Условие.

826. Вычислите:

a) $ \frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{9^9}; $

б) $ \frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}; $

в) $ \frac{(3^{15} + 3^{14}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}; $

г) $ \frac{25 \cdot (180 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6)}{216^3 - 36^4}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $\frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{9^9}$

Сначала упростим числитель. Для этого вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{19}$.

$2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19} = 2 \cdot 3 \cdot 3^{19} - 5 \cdot 3^{19} = (2 \cdot 3 - 5) \cdot 3^{19} = (6 - 5) \cdot 3^{19} = 1 \cdot 3^{19} = 3^{19}$.

Теперь упростим знаменатель. Представим основание 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

$9^9 = (3^2)^9 = 3^{2 \cdot 9} = 3^{18}$.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{19}}{3^{18}} = 3^{19-18} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

б) $\frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}$

Упростим выражение в скобках в числителе, вынеся за скобки общий множитель $2^{19}$:

$3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19} = 3 \cdot 2 \cdot 2^{19} + 7 \cdot 2^{19} = (3 \cdot 2 + 7) \cdot 2^{19} = (6 + 7) \cdot 2^{19} = 13 \cdot 2^{19}$.

Тогда весь числитель равен $(13 \cdot 2^{19}) \cdot 52$. Разложим 52 на простые множители: $52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$.

Числитель: $13 \cdot 2^{19} \cdot (2^2 \cdot 13) = 13^2 \cdot 2^{19+2} = 13^2 \cdot 2^{21}$.

Теперь упростим знаменатель. Представим 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$.

$ (13 \cdot 8^4)^2 = (13 \cdot (2^3)^4)^2 = (13 \cdot 2^{12})^2 = 13^2 \cdot (2^{12})^2 = 13^2 \cdot 2^{12 \cdot 2} = 13^2 \cdot 2^{24}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{13^2 \cdot 2^{21}}{13^2 \cdot 2^{24}} = \frac{13^2}{13^2} \cdot \frac{2^{21}}{2^{24}} = 1 \cdot 2^{21-24} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

в) $\frac{(3^{15} + 3^{14}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}$

Упростим числитель. В скобках вынесем общий множитель $3^{14}$:

$3^{15} + 3^{14} = 3^1 \cdot 3^{14} + 1 \cdot 3^{14} = (3 + 1) \cdot 3^{14} = 4 \cdot 3^{14} = 2^2 \cdot 3^{14}$.

Весь числитель равен $(2^2 \cdot 3^{14}) \cdot 2^9 = 2^{2+9} \cdot 3^{14} = 2^{11} \cdot 3^{14}$.

Теперь упростим знаменатель. В скобках вынесем общий множитель $3^{12}$:

$3^{14} + 3^{12} = 3^2 \cdot 3^{12} + 1 \cdot 3^{12} = (9 + 1) \cdot 3^{12} = 10 \cdot 3^{12}$.

Знаем, что $1024 = 2^{10}$. Тогда знаменатель равен $(10 \cdot 3^{12}) \cdot 2^{10}$. Разложим 10 на множители: $10 = 2 \cdot 5$.

Знаменатель: $(2 \cdot 5 \cdot 3^{12}) \cdot 2^{10} = 5 \cdot 3^{12} \cdot 2^{1+10} = 5 \cdot 3^{12} \cdot 2^{11}$.

Выполним деление:

$\frac{2^{11} \cdot 3^{14}}{5 \cdot 3^{12} \cdot 2^{11}} = \frac{2^{11}}{2^{11}} \cdot \frac{3^{14}}{3^{12}} \cdot \frac{1}{5} = 1 \cdot 3^{14-12} \cdot \frac{1}{5} = 3^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$.

Ответ: $\frac{9}{5}$

г) $\frac{25 \cdot (180 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6)}{216^3 - 36^4}$

Для упрощения этого выражения, представим все числа в виде произведений простых множителей или степеней одного основания.

Упростим числитель. Сначала рассмотрим выражение в скобках. Вынесем общий множитель $6^6$:

$180 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6 = 180 \cdot 6 \cdot 6^6 - 108 \cdot 6^6 = (180 \cdot 6 - 108) \cdot 6^6 = (1080 - 108) \cdot 6^6 = 972 \cdot 6^6$.

Разложим 972 на простые множители: $972 = 4 \cdot 243 = 2^2 \cdot 3^5$.

Тогда выражение в скобках равно $(2^2 \cdot 3^5) \cdot 6^6 = (2^2 \cdot 3^5) \cdot (2 \cdot 3)^6 = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 2^6 \cdot 3^6 = 2^{2+6} \cdot 3^{5+6} = 2^8 \cdot 3^{11}$.

Весь числитель равен $25 \cdot (2^8 \cdot 3^{11})$. Так как $25 = 5^2$, числитель равен $5^2 \cdot 2^8 \cdot 3^{11}$.

Теперь упростим знаменатель. Представим 216 и 36 как степени числа 6:

$216 = 6^3$ и $36 = 6^2$.

Знаменатель: $216^3 - 36^4 = (6^3)^3 - (6^2)^4 = 6^9 - 6^8$.

Вынесем общий множитель $6^8$:

$6^9 - 6^8 = 6^1 \cdot 6^8 - 1 \cdot 6^8 = (6-1) \cdot 6^8 = 5 \cdot 6^8$.

Представим $6^8$ как $(2 \cdot 3)^8 = 2^8 \cdot 3^8$. Знаменатель равен $5 \cdot 2^8 \cdot 3^8$.

Теперь выполним деление:

$\frac{5^2 \cdot 2^8 \cdot 3^{11}}{5 \cdot 2^8 \cdot 3^8} = \frac{5^2}{5^1} \cdot \frac{2^8}{2^8} \cdot \frac{3^{11}}{3^8} = 5^{2-1} \cdot 2^{8-8} \cdot 3^{11-8} = 5^1 \cdot 2^0 \cdot 3^3 = 5 \cdot 1 \cdot 27 = 135$.

Ответ: 135