Страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

868. Укажите на координатной оси с единичным отрезком длиной 10 см числа:

a) $1$; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{10}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{7}{10}$; $1\frac{1}{4}$

б) $1$; $0,5$; $0,1$; $0,9$; $0,35$.

Для того чтобы указать заданные числа на координатной оси, необходимо определить, на каком расстоянии от начала отсчета (точки 0) будет находиться каждое число. Поскольку единичный отрезок равен 10 см, для нахождения этого расстояния нужно умножить каждое число на 10 см.

Вычислим расстояние от начала координат для каждого числа из списка:

Для числа $1$: расстояние равно $1 \times 10 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Для числа $\frac{1}{2}$: расстояние равно $\frac{1}{2} \times 10 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Для числа $\frac{1}{4}$: расстояние равно $\frac{1}{4} \times 10 \text{ см} = 2,5 \text{ см}$.

Для числа $\frac{1}{8}$: расстояние равно $\frac{1}{8} \times 10 \text{ см} = \frac{10}{8} \text{ см} = 1,25 \text{ см}$.

Для числа $\frac{1}{10}$: расстояние равно $\frac{1}{10} \times 10 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Для числа $\frac{3}{4}$: расстояние равно $\frac{3}{4} \times 10 \text{ см} = \frac{30}{4} \text{ см} = 7,5 \text{ см}$.

Для числа $\frac{7}{10}$: расстояние равно $\frac{7}{10} \times 10 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Для числа $1\frac{1}{4}$: сначала представим его в виде десятичной дроби $1,25$. Расстояние равно $1,25 \times 10 \text{ см} = 12,5 \text{ см}$.

Ответ: На координатной оси числа будут расположены на следующих расстояниях от начала отсчета: $1$ — на 10 см; $\frac{1}{2}$ — на 5 см; $\frac{1}{4}$ — на 2,5 см; $\frac{1}{8}$ — на 1,25 см; $\frac{1}{10}$ — на 1 см; $\frac{3}{4}$ — на 7,5 см; $\frac{7}{10}$ — на 7 см; $1\frac{1}{4}$ — на 12,5 см.

Аналогично вычислим расстояние от начала координат для чисел из второго списка:

Для числа $1$: расстояние равно $1 \times 10 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Для числа $0,5$: расстояние равно $0,5 \times 10 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Для числа $0,1$: расстояние равно $0,1 \times 10 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Для числа $0,9$: расстояние равно $0,9 \times 10 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

Для числа $0,35$: расстояние равно $0,35 \times 10 \text{ см} = 3,5 \text{ см}$.

Ответ: На координатной оси числа будут расположены на следующих расстояниях от начала отсчета: $1$ — на 10 см; $0,5$ — на 5 см; $0,1$ — на 1 см; $0,9$ — на 9 см; $0,35$ — на 3,5 см.

869. Укажите на координатной оси числа:

а) $2; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{5}{8};$

б) $\frac{1}{5}; \frac{1}{10}; \frac{3}{20}; \frac{1}{40};$

в) $0,1; 0,4; 0,9; 1,2; 0,35; 1,25; 0,95;$

г) $-1; -0,1; -0,5; -0,8; -1,2; -0,75;$

д) $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{3}{4}; \frac{1}{8}; \frac{5}{8}; \frac{1}{16};$

е) $-\frac{1}{4}; -1\frac{1}{4}; -\frac{3}{4}; -\frac{1}{8}; -\frac{3}{8}; -1\frac{1}{16}.$

а) Чтобы расположить числа $2; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{5}{8}$ на координатной оси, их необходимо упорядочить по возрастанию. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 8, а целое число представим в виде дроби с тем же знаменателем.
$2 = \frac{16}{8}$
$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$
$\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$
$\frac{1}{8}$
$\frac{5}{8}$
Сравнивая числители дробей, располагаем их в порядке возрастания: $\frac{1}{8} < \frac{2}{8} < \frac{4}{8} < \frac{5}{8} < \frac{16}{8}$.
Следовательно, на координатной оси числа располагаются в следующем порядке, соответствующем исходным числам: $\frac{1}{8} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{5}{8} < 2$.
Ответ: $\frac{1}{8}; \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{5}{8}; 2$.

б) Для чисел $\frac{1}{5}; \frac{1}{10}; \frac{3}{20}; \frac{1}{40}$ приведем дроби к общему знаменателю 40.
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{8}{40}$
$\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{4}{40}$
$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{6}{40}$
$\frac{1}{40}$
Сравнивая числители, получаем: $1 < 4 < 6 < 8$. Таким образом, $\frac{1}{40} < \frac{4}{40} < \frac{6}{40} < \frac{8}{40}$.
Это соответствует порядку исходных чисел: $\frac{1}{40} < \frac{1}{10} < \frac{3}{20} < \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{40}; \frac{1}{10}; \frac{3}{20}; \frac{1}{5}$.

в) Упорядочим десятичные дроби $0,1; 0,4; 0,9; 1,2; 0,35; 1,25; 0,95$ по возрастанию.
Сравнивая числа поразрядно, получаем следующий порядок: $0,1 < 0,35 < 0,4 < 0,9 < 0,95 < 1,2 < 1,25$.
Ответ: $0,1; 0,35; 0,4; 0,9; 0,95; 1,2; 1,25$.

г) Чтобы расположить на координатной оси отрицательные числа $-1; -0,1; -0,5; -0,8; -1,2; -0,75$, нужно помнить, что из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.
Сравним модули данных чисел:
$|-0,1|=0,1; |-0,5|=0,5; |-0,75|=0,75; |-0,8|=0,8; |-1|=1; |-1,2|=1,2$.
В порядке возрастания модули располагаются так: $0,1 < 0,5 < 0,75 < 0,8 < 1 < 1,2$.
Следовательно, для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-1,2 < -1 < -0,8 < -0,75 < -0,5 < -0,1$.
Ответ: $-1,2; -1; -0,8; -0,75; -0,5; -0,1$.

д) Для чисел $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{3}{4}; \frac{1}{8}; \frac{5}{8}; \frac{1}{16}$ приведем все дроби к общему знаменателю 16.
$\frac{1}{2} = \frac{8}{16}$; $\frac{1}{4} = \frac{4}{16}$; $\frac{3}{4} = \frac{12}{16}$; $\frac{1}{8} = \frac{2}{16}$; $\frac{5}{8} = \frac{10}{16}$; $\frac{1}{16}$.
Сравнивая числители, получаем порядок: $1 < 2 < 4 < 8 < 10 < 12$.
Таким образом, $\frac{1}{16} < \frac{2}{16} < \frac{4}{16} < \frac{8}{16} < \frac{10}{16} < \frac{12}{16}$.
Это соответствует порядку исходных чисел: $\frac{1}{16} < \frac{1}{8} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{5}{8} < \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{16}; \frac{1}{8}; \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{5}{8}; \frac{3}{4}$.

е) Даны отрицательные числа: $-\frac{1}{4}; -1; -1\frac{1}{4}; -\frac{3}{4}; -\frac{1}{8}; -\frac{3}{8}; -1\frac{1}{16}$.
Приведем их к общему знаменателю 16, предварительно обратив смешанные числа в неправильные дроби.
$-\frac{1}{4} = -\frac{4}{16}$; $-1 = -\frac{16}{16}$; $-1\frac{1}{4} = -\frac{5}{4} = -\frac{20}{16}$; $-\frac{3}{4} = -\frac{12}{16}$; $-\frac{1}{8} = -\frac{2}{16}$; $-\frac{3}{8} = -\frac{6}{16}$; $-1\frac{1}{16} = -\frac{17}{16}$.
Сравним модули получившихся дробей (чем больше модуль, тем меньше само отрицательное число). Порядок возрастания модулей числителей: $2 < 4 < 6 < 12 < 16 < 17 < 20$.
Следовательно, порядок самих чисел будет обратным: $-\frac{20}{16} < -\frac{17}{16} < -\frac{16}{16} < -\frac{12}{16} < -\frac{6}{16} < -\frac{4}{16} < -\frac{2}{16}$.
Это соответствует порядку исходных чисел: $-1\frac{1}{4} < -1\frac{1}{16} < -1 < -\frac{3}{4} < -\frac{3}{8} < -\frac{1}{4} < -\frac{1}{8}$.
Ответ: $-1\frac{1}{4}; -1\frac{1}{16}; -1; -\frac{3}{4}; -\frac{3}{8}; -\frac{1}{4}; -\frac{1}{8}$.

870. Выбрав единичный отрезок, укажите на координатной оси числа:

а) $ -3758 $ и $ -3760 $;

б) $ 2,125 $ и $ 2,127 $.

Укажите на этой координатной оси какое-либо число, большее одного из указанных чисел и меньшее другого.

а) Для того чтобы указать числа $-3758$ и $-3760$ на координатной оси, необходимо их сравнить. Из двух отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше.

Сравним модули данных чисел: $|-3758| = 3758$ и $|-3760| = 3760$.

Поскольку $3758 < 3760$, то $-3758 > -3760$. Это означает, что на координатной оси точка с координатой $-3758$ будет расположена правее точки с координатой $-3760$.

Для наглядного изображения выберем единичный отрезок равный 1 и покажем соответствующий участок координатной оси, не изображая начало координат.

... $\leftarrow$ [-3761] --- [-3760] --- [-3759] --- [-3758] --- [-3757] $\rightarrow$ ...

Теперь необходимо указать какое-либо число, которое больше одного из данных чисел и меньше другого. То есть, нам нужно найти число $x$, которое удовлетворяет двойному неравенству: $-3760 < x < -3758$. Этому условию удовлетворяет, например, целое число $-3759$. Также можно выбрать любое дробное число из этого интервала, например, $-3759,5$.

Ответ: На координатной оси число $-3760$ находится левее числа $-3758$. Число, которое больше $-3760$ и меньше $-3758$, — это, например, $-3759$.

б) Рассмотрим числа $2,125$ и $2,127$. Оба числа являются положительными. Сравним их: $2,127 > 2,125$. Следовательно, на координатной оси точка с координатой $2,125$ будет лежать левее точки с координатой $2,127$.

Разница между этими числами мала ($2,127 - 2,125 = 0,002$), поэтому для наглядности выберем увеличенный масштаб. Например, пусть цена одного деления на оси будет $0,001$. Изобразим соответствующий участок координатной оси.

... $\leftarrow$ [2,124] --- [2,125] --- [2,126] --- [2,127] --- [2,128] $\rightarrow$ ...

Теперь найдем число, которое находится между $2,125$ и $2,127$. Искомое число $y$ должно удовлетворять неравенству $2,125 < y < 2,127$. Этому условию удовлетворяет, например, число $2,126$. Также можно выбрать любое другое число из этого интервала, например, $2,1255$ или $2,1268$.

Ответ: На координатной оси число $2,125$ находится левее числа $2,127$. Число, которое больше $2,125$ и меньше $2,127$, — это, например, $2,126$.

ше одного из указанных чисел и меньшее другого.

871. Отметьте на координатной оси числа, для которых верно неравенство:

а) $x > 5$;

б) $x \le -1$;

в) $x \ge 0$;

г) $|x| = 2$;

д) $|x| < 2$;

е) $|x| \ge 2$.

а) Неравенство $x > 5$ означает, что искомые числа строго больше 5. На координатной оси это соответствует открытому лучу, который начинается в точке 5 и направлен вправо. Точка 5 не входит в этот промежуток, поэтому она отмечается выколотой (пустым кружком).

Изображение на координатной оси:

Ответ: $x \in (5; +\infty)$

б) Неравенство $x \le -1$ означает, что искомые числа меньше или равны -1. На координатной оси это соответствует лучу, который начинается в точке -1 и направлен влево. Точка -1 входит в этот промежуток, поэтому она отмечается закрашенной (сплошным кружком).

Изображение на координатной оси:

Ответ: $x \in (-\infty; -1]$

в) Неравенство $x \ge 0$ означает, что искомые числа больше или равны 0 (все неотрицательные числа). На координатной оси это соответствует лучу, который начинается в точке 0 и направлен вправо. Точка 0 входит в этот промежуток, поэтому она отмечается закрашенной.

Изображение на координатной оси:

Ответ: $x \in [0; +\infty)$

г) Уравнение $|x| = 2$ означает, что расстояние от числа $x$ до нуля на координатной оси равно 2. Этому условию удовлетворяют только два числа: 2 и -2. На оси они отмечаются двумя отдельными закрашенными точками.

Изображение на координатной оси:

Ответ: $x = -2, x = 2$

д) Неравенство $|x| < 2$ означает, что расстояние от числа $x$ до нуля на координатной оси меньше 2. Этому условию удовлетворяют все числа, расположенные между -2 и 2. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-2 < x < 2$. На оси это интервал, концы которого, -2 и 2, не включаются и отмечаются выколотыми точками.

Изображение на координатной оси:

Ответ: $x \in (-2; 2)$

е) Неравенство $|x| \ge 2$ означает, что расстояние от числа $x$ до нуля на координатной оси больше или равно 2. Этому условию удовлетворяют числа, которые больше или равны 2, а также числа, которые меньше или равны -2. Неравенство равносильно совокупности $x \le -2$ или $x \ge 2$. На оси это два луча, идущие в противоположные стороны от точек -2 и 2. Точки -2 и 2 включаются в решение и отмечаются закрашенными.

Изображение на координатной оси:

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$

872. Выделите на числовой прямой точки $x$, координаты которых удовлетворяют условию:

а) $|x| = 3$;

б) $|x| < 3$;

в) $|x| > 3$.

а) Условие $|x| = 3$ означает, что нужно найти точки на числовой прямой, расстояние которых от начала координат (точки 0) равно 3.
Модуль числа равен 3 в двух случаях:
1. $x = 3$
2. $x = -3$
На числовой прямой это будут две точки, отмеченные закрашенными кружками: -3 и 3.

Ответ: Точки с координатами $x = -3$ и $x = 3$.

б) Условие $|x| < 3$ означает, что нужно найти точки на числовой прямой, расстояние которых от начала координат меньше 3.
Это все точки, которые находятся между -3 и 3. Данное неравенство равносильно двойному неравенству:
$-3 < x < 3$
На числовой прямой это будет интервал от -3 до 3. Так как неравенство строгое, сами точки -3 и 3 не включаются в решение и на прямой отмечаются выколотыми (пустыми) кружками. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: Множество точек, принадлежащих интервалу $(-3; 3)$.

в) Условие $|x| > 3$ означает, что нужно найти точки на числовой прямой, расстояние которых от начала координат больше 3.
Это означает, что точка $x$ либо больше 3, либо меньше -3. Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$x > 3$ или $x < -3$
На числовой прямой это будет объединение двух лучей: один от 3 до плюс бесконечности, а другой от минус бесконечности до -3. Так как неравенство строгое, точки -3 и 3 не включаются в решение и отмечаются выколотыми (пустыми) кружками. Области левее -3 и правее 3 заштриховываются.

Ответ: Множество точек, принадлежащих объединению интервалов $(-\infty; -3) \cup (3; \infty)$.

873. Изобразите на координатной прямой числа:

а) $ \frac{1}{4} $; 2,5; 1,2; $ \frac{3}{8} $; -0,4;

б) 1,3; $ 1 \frac{7}{10} $; $ -1 \frac{2}{5} $; 0,7; -1,1;

в) $ -\frac{1}{5} $; $ -\frac{1}{4} $; 0,2; $ \frac{1}{4} $; $ \frac{3}{5} $;

г) -0,12; -0,17; -0,19; -0,13; -0,15;

д) 3,1415926 и $ \frac{22}{7} $;

е) $ \frac{71}{41} $ и 1,73205;

ж) -5,(123) и -5,1(23);

з) -2,07(7) и -2,(077).

а)

Чтобы изобразить числа $\frac{1}{4}$; 2,5; 1,2; $\frac{3}{8}$; -0,4 на координатной прямой, сначала преобразуем все числа в десятичные дроби для удобства сравнения.

$\frac{1}{4} = 0,25$

$\frac{3}{8} = 0,375$

Теперь у нас есть числа: 0,25; 2,5; 1,2; 0,375; -0,4.

Расположим их в порядке возрастания:

-0,4 < 0,25 < 0,375 < 1,2 < 2,5

В исходном виде порядок следующий:

$-0,4 < \frac{1}{4} < \frac{3}{8} < 1,2 < 2,5$

На координатной прямой эти числа будут расположены следующим образом: слева от нуля находится точка -0,4. Справа от нуля в порядке увеличения идут точки $\frac{1}{4}$ (0,25), затем $\frac{3}{8}$ (0,375), затем 1,2 и, наконец, самая правая точка — 2,5.

Ответ: Числа на координатной прямой располагаются в следующем порядке (слева направо): -0,4; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{8}$; 1,2; 2,5.

б)

Преобразуем смешанные дроби в десятичные: $1,3$; $1\frac{7}{10}$; $-1\frac{2}{5}$; 0,7; -1,1.

$1\frac{7}{10} = 1,7$

$-1\frac{2}{5} = -1 - \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = -1 - \frac{4}{10} = -1,4$

Получаем ряд чисел: 1,3; 1,7; -1,4; 0,7; -1,1.

Расположим их в порядке возрастания:

-1,4 < -1,1 < 0,7 < 1,3 < 1,7

В исходном виде:

$-1\frac{2}{5} < -1,1 < 0,7 < 1,3 < 1\frac{7}{10}$

На координатной прямой слева от нуля будут точки $-1\frac{2}{5}$ (-1,4) и -1,1, причем $-1\frac{2}{5}$ левее. Справа от нуля в порядке возрастания будут расположены точки 0,7, 1,3 и $1\frac{7}{10}$ (1,7).

Ответ: Числа на координатной прямой располагаются в следующем порядке (слева направо): $-1\frac{2}{5}$; -1,1; 0,7; 1,3; $1\frac{7}{10}$.

в)

Преобразуем все дроби в десятичные: $-\frac{1}{5}$; $-\frac{1}{4}$; 0,2; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{5}$.

$-\frac{1}{5} = -0,2$

$-\frac{1}{4} = -0,25$

$\frac{1}{4} = 0,25$

$\frac{3}{5} = 0,6$

Получаем ряд: -0,2; -0,25; 0,2; 0,25; 0,6.

Расположим их в порядке возрастания:

-0,25 < -0,2 < 0,2 < 0,25 < 0,6

В исходном виде:

$-\frac{1}{4} < -\frac{1}{5} < 0,2 < \frac{1}{4} < \frac{3}{5}$

На координатной прямой слева от нуля расположены точки $-\frac{1}{4}$ (-0,25) и $-\frac{1}{5}$ (-0,2), причем $-\frac{1}{4}$ левее. Справа от нуля в порядке возрастания идут точки 0,2, $\frac{1}{4}$ (0,25) и $\frac{3}{5}$ (0,6).

Ответ: Числа на координатной прямой располагаются в следующем порядке (слева направо): $-\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{5}$; 0,2; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{5}$.

г)

Даны числа: -0,12; -0,17; -0,19; -0,13; -0,15. Все числа отрицательные.

Для отрицательных чисел, чем больше модуль числа, тем оно меньше. Сравним модули:

0,12 < 0,13 < 0,15 < 0,17 < 0,19

Следовательно, для отрицательных чисел порядок будет обратным:

-0,19 < -0,17 < -0,15 < -0,13 < -0,12

На координатной прямой все эти числа находятся между 0 и -1. Если двигаться от 0 влево, то первым встретится -0,12, затем -0,13, -0,15, -0,17 и самым левым из этого набора будет -0,19.

Ответ: Числа на координатной прямой располагаются в следующем порядке (слева направо): -0,19; -0,17; -0,15; -0,13; -0,12.

д)

Нужно сравнить и расположить на прямой числа 3,1415926 и $\frac{22}{7}$.

Преобразуем дробь $\frac{22}{7}$ в десятичную:

$\frac{22}{7} = 3,14285714... = 3,\overline{142857}$

Сравним числа 3,1415926 и 3,142857...

Первые две цифры после запятой совпадают. Сравним третью цифру после запятой:

3,141... и 3,142...

Так как $1 < 2$, то $3,1415926 < 3,142857...$, следовательно, $3,1415926 < \frac{22}{7}$.

На координатной прямой оба числа находятся очень близко друг к другу, но точка 3,1415926 будет расположена левее точки $\frac{22}{7}$.

Ответ: На координатной прямой число 3,1415926 находится левее числа $\frac{22}{7}$.

е)

Нужно сравнить и расположить на прямой числа $\frac{71}{41}$ и 1,73205.

Преобразуем дробь $\frac{71}{41}$ в десятичную, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{71}{41} \approx 1,731707...$

Сравним числа 1,731707... и 1,73205.

Первые две цифры после запятой совпадают. Сравним третью цифру после запятой:

1,731... и 1,732...

Так как $1 < 2$, то $1,731707... < 1,73205$, следовательно, $\frac{71}{41} < 1,73205$.

На координатной прямой точка, соответствующая числу $\frac{71}{41}$, будет находиться левее точки, соответствующей числу 1,73205.

Ответ: На координатной прямой число $\frac{71}{41}$ находится левее числа 1,73205.

ж)

Нужно сравнить периодические дроби -5,(123) и -5,1(23).

Распишем их:

-5,(123) = -5,123123...

-5,1(23) = -5,123232...

Сначала сравним их модули (положительные значения): 5,123123... и 5,123232...

Сравним цифры после запятой по разрядам. Первые четыре цифры (123) совпадают. Сравним пятую цифру:

...1... и ...2...

Так как $1 < 2$, то $5,123123... < 5,123232...$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный:

$-5,123232... < -5,123123...$

Следовательно, $-5,1(23) < -5,(123)$.

На координатной прямой точка -5,1(23) будет расположена левее точки -5,(123).

Ответ: На координатной прямой число -5,1(23) находится левее числа -5,(123).

з)

Нужно сравнить периодические дроби -2,07(7) и -2,(077).

Распишем их:

-2,07(7) = -2,077777...

-2,(077) = -2,077077...

Сравним их модули: 2,077777... и 2,077077...

Первые три цифры после запятой (077) совпадают. Сравним четвертую цифру:

...7... и ...0...

Так как $7 > 0$, то $2,077777... > 2,077077...$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный:

$-2,077777... < -2,077077...$

Следовательно, $-2,07(7) < -2,(077)$.

На координатной прямой точка -2,07(7) будет расположена левее точки -2,(077).

Ответ: На координатной прямой число -2,07(7) находится левее числа -2,(077).