Номер 873, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Координатная ось и координатная плоскость. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 873, страница 236.

Условие.

873. Изобразите на координатной прямой числа:

а) $ \frac{1}{4} $; 2,5; 1,2; $ \frac{3}{8} $; -0,4;

б) 1,3; $ 1 \frac{7}{10} $; $ -1 \frac{2}{5} $; 0,7; -1,1;

в) $ -\frac{1}{5} $; $ -\frac{1}{4} $; 0,2; $ \frac{1}{4} $; $ \frac{3}{5} $;

г) -0,12; -0,17; -0,19; -0,13; -0,15;

д) 3,1415926 и $ \frac{22}{7} $;

е) $ \frac{71}{41} $ и 1,73205;

ж) -5,(123) и -5,1(23);

з) -2,07(7) и -2,(077).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Чтобы изобразить числа $\frac{1}{4}$; 2,5; 1,2; $\frac{3}{8}$; -0,4 на координатной прямой, сначала преобразуем все числа в десятичные дроби для удобства сравнения.

$\frac{1}{4} = 0,25$

$\frac{3}{8} = 0,375$

Теперь у нас есть числа: 0,25; 2,5; 1,2; 0,375; -0,4.

Расположим их в порядке возрастания:

-0,4 < 0,25 < 0,375 < 1,2 < 2,5

В исходном виде порядок следующий:

$-0,4 < \frac{1}{4} < \frac{3}{8} < 1,2 < 2,5$

На координатной прямой эти числа будут расположены следующим образом: слева от нуля находится точка -0,4. Справа от нуля в порядке увеличения идут точки $\frac{1}{4}$ (0,25), затем $\frac{3}{8}$ (0,375), затем 1,2 и, наконец, самая правая точка — 2,5.

Ответ: Числа на координатной прямой располагаются в следующем порядке (слева направо): -0,4; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{8}$; 1,2; 2,5.

б)

Преобразуем смешанные дроби в десятичные: $1,3$; $1\frac{7}{10}$; $-1\frac{2}{5}$; 0,7; -1,1.

$1\frac{7}{10} = 1,7$

$-1\frac{2}{5} = -1 - \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = -1 - \frac{4}{10} = -1,4$

Получаем ряд чисел: 1,3; 1,7; -1,4; 0,7; -1,1.

Расположим их в порядке возрастания:

-1,4 < -1,1 < 0,7 < 1,3 < 1,7

В исходном виде:

$-1\frac{2}{5} < -1,1 < 0,7 < 1,3 < 1\frac{7}{10}$

На координатной прямой слева от нуля будут точки $-1\frac{2}{5}$ (-1,4) и -1,1, причем $-1\frac{2}{5}$ левее. Справа от нуля в порядке возрастания будут расположены точки 0,7, 1,3 и $1\frac{7}{10}$ (1,7).

Ответ: Числа на координатной прямой располагаются в следующем порядке (слева направо): $-1\frac{2}{5}$; -1,1; 0,7; 1,3; $1\frac{7}{10}$.

в)

Преобразуем все дроби в десятичные: $-\frac{1}{5}$; $-\frac{1}{4}$; 0,2; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{5}$.

$-\frac{1}{5} = -0,2$

$-\frac{1}{4} = -0,25$

$\frac{1}{4} = 0,25$

$\frac{3}{5} = 0,6$

Получаем ряд: -0,2; -0,25; 0,2; 0,25; 0,6.

Расположим их в порядке возрастания:

-0,25 < -0,2 < 0,2 < 0,25 < 0,6

В исходном виде:

$-\frac{1}{4} < -\frac{1}{5} < 0,2 < \frac{1}{4} < \frac{3}{5}$

На координатной прямой слева от нуля расположены точки $-\frac{1}{4}$ (-0,25) и $-\frac{1}{5}$ (-0,2), причем $-\frac{1}{4}$ левее. Справа от нуля в порядке возрастания идут точки 0,2, $\frac{1}{4}$ (0,25) и $\frac{3}{5}$ (0,6).

Ответ: Числа на координатной прямой располагаются в следующем порядке (слева направо): $-\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{5}$; 0,2; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{5}$.

г)

Даны числа: -0,12; -0,17; -0,19; -0,13; -0,15. Все числа отрицательные.

Для отрицательных чисел, чем больше модуль числа, тем оно меньше. Сравним модули:

0,12 < 0,13 < 0,15 < 0,17 < 0,19

Следовательно, для отрицательных чисел порядок будет обратным:

-0,19 < -0,17 < -0,15 < -0,13 < -0,12

На координатной прямой все эти числа находятся между 0 и -1. Если двигаться от 0 влево, то первым встретится -0,12, затем -0,13, -0,15, -0,17 и самым левым из этого набора будет -0,19.

Ответ: Числа на координатной прямой располагаются в следующем порядке (слева направо): -0,19; -0,17; -0,15; -0,13; -0,12.

д)

Нужно сравнить и расположить на прямой числа 3,1415926 и $\frac{22}{7}$.

Преобразуем дробь $\frac{22}{7}$ в десятичную:

$\frac{22}{7} = 3,14285714... = 3,\overline{142857}$

Сравним числа 3,1415926 и 3,142857...

Первые две цифры после запятой совпадают. Сравним третью цифру после запятой:

3,141... и 3,142...

Так как $1 < 2$, то $3,1415926 < 3,142857...$, следовательно, $3,1415926 < \frac{22}{7}$.

На координатной прямой оба числа находятся очень близко друг к другу, но точка 3,1415926 будет расположена левее точки $\frac{22}{7}$.

Ответ: На координатной прямой число 3,1415926 находится левее числа $\frac{22}{7}$.

е)

Нужно сравнить и расположить на прямой числа $\frac{71}{41}$ и 1,73205.

Преобразуем дробь $\frac{71}{41}$ в десятичную, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{71}{41} \approx 1,731707...$

Сравним числа 1,731707... и 1,73205.

Первые две цифры после запятой совпадают. Сравним третью цифру после запятой:

1,731... и 1,732...

Так как $1 < 2$, то $1,731707... < 1,73205$, следовательно, $\frac{71}{41} < 1,73205$.

На координатной прямой точка, соответствующая числу $\frac{71}{41}$, будет находиться левее точки, соответствующей числу 1,73205.

Ответ: На координатной прямой число $\frac{71}{41}$ находится левее числа 1,73205.

ж)

Нужно сравнить периодические дроби -5,(123) и -5,1(23).

Распишем их:

-5,(123) = -5,123123...

-5,1(23) = -5,123232...

Сначала сравним их модули (положительные значения): 5,123123... и 5,123232...

Сравним цифры после запятой по разрядам. Первые четыре цифры (123) совпадают. Сравним пятую цифру:

...1... и ...2...

Так как $1 < 2$, то $5,123123... < 5,123232...$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный:

$-5,123232... < -5,123123...$

Следовательно, $-5,1(23) < -5,(123)$.

На координатной прямой точка -5,1(23) будет расположена левее точки -5,(123).

Ответ: На координатной прямой число -5,1(23) находится левее числа -5,(123).

з)

Нужно сравнить периодические дроби -2,07(7) и -2,(077).

Распишем их:

-2,07(7) = -2,077777...

-2,(077) = -2,077077...

Сравним их модули: 2,077777... и 2,077077...

Первые три цифры после запятой (077) совпадают. Сравним четвертую цифру:

...7... и ...0...

Так как $7 > 0$, то $2,077777... > 2,077077...$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный:

$-2,077777... < -2,077077...$

Следовательно, $-2,07(7) < -2,(077)$.

На координатной прямой точка -2,07(7) будет расположена левее точки -2,(077).

Ответ: На координатной прямой число -2,07(7) находится левее числа -2,(077).