Номер 878, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Координатная ось и координатная плоскость. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 878, страница 238.

Условие.

878. a) Существует ли между множеством точек числовой прямой и множеством действительных чисел взаимно однозначное соответствие?
б) Почему между множеством точек числовой прямой и множеством рациональных чисел нельзя установить взаимно однозначное соответствие?
в) Какие числа надо добавить к рациональным числам, чтобы любой точке числовой прямой соответствовало определённое число?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Да, такое соответствие существует. Оно является фундаментальным свойством числовой прямой. По определению, числовая прямая — это геометрическая модель множества действительных чисел. Каждой точке на этой прямой ставится в соответствие единственное действительное число, называемое её координатой. И наоборот, каждому действительному числу $x \in \mathbb{R}$ соответствует единственная точка на прямой. Таким образом, между множеством точек числовой прямой и множеством действительных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие (биекция).

Ответ: Да, существует.

б) Между множеством точек числовой прямой и множеством рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) нельзя установить взаимно однозначное соответствие, потому что множество рациональных чисел не является полным. Это означает, что на числовой прямой существуют точки, координаты которых не являются рациональными числами. Например, точка, соответствующая числу $\sqrt{2}$ (длина диагонали квадрата со стороной 1), или точка, соответствующая числу $\pi$ (отношение длины окружности к её диаметру). Такие числа называются иррациональными. Поскольку не каждой точке числовой прямой соответствует рациональное число, то отображение из множества рациональных чисел во множество точек прямой не будет сюръективным, а значит, взаимно однозначное соответствие невозможно. Говоря языком теории множеств, множество точек числовой прямой (континуум) имеет большую мощность, чем счётное множество рациональных чисел.

Ответ: Потому что существуют точки на числовой прямой, которым не соответствует ни одно рациональное число (например, точка с координатой $\sqrt{2}$ или $\pi$).

в) Чтобы любой точке числовой прямой соответствовало определённое число, к множеству рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) необходимо добавить множество всех иррациональных чисел ($\mathbb{I}$). Иррациональные числа — это действительные числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел ($\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$), которое, как установлено в пункте а), находится во взаимно однозначном соответствии с множеством точек числовой прямой.

Ответ: К рациональным числам надо добавить иррациональные числа.