Страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

878. a) Существует ли между множеством точек числовой прямой и множеством действительных чисел взаимно однозначное соответствие?
б) Почему между множеством точек числовой прямой и множеством рациональных чисел нельзя установить взаимно однозначное соответствие?
в) Какие числа надо добавить к рациональным числам, чтобы любой точке числовой прямой соответствовало определённое число?

а) Да, такое соответствие существует. Оно является фундаментальным свойством числовой прямой. По определению, числовая прямая — это геометрическая модель множества действительных чисел. Каждой точке на этой прямой ставится в соответствие единственное действительное число, называемое её координатой. И наоборот, каждому действительному числу $x \in \mathbb{R}$ соответствует единственная точка на прямой. Таким образом, между множеством точек числовой прямой и множеством действительных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие (биекция).

Ответ: Да, существует.

б) Между множеством точек числовой прямой и множеством рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) нельзя установить взаимно однозначное соответствие, потому что множество рациональных чисел не является полным. Это означает, что на числовой прямой существуют точки, координаты которых не являются рациональными числами. Например, точка, соответствующая числу $\sqrt{2}$ (длина диагонали квадрата со стороной 1), или точка, соответствующая числу $\pi$ (отношение длины окружности к её диаметру). Такие числа называются иррациональными. Поскольку не каждой точке числовой прямой соответствует рациональное число, то отображение из множества рациональных чисел во множество точек прямой не будет сюръективным, а значит, взаимно однозначное соответствие невозможно. Говоря языком теории множеств, множество точек числовой прямой (континуум) имеет большую мощность, чем счётное множество рациональных чисел.

Ответ: Потому что существуют точки на числовой прямой, которым не соответствует ни одно рациональное число (например, точка с координатой $\sqrt{2}$ или $\pi$).

в) Чтобы любой точке числовой прямой соответствовало определённое число, к множеству рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) необходимо добавить множество всех иррациональных чисел ($\mathbb{I}$). Иррациональные числа — это действительные числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел ($\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$), которое, как установлено в пункте а), находится во взаимно однозначном соответствии с множеством точек числовой прямой.

Ответ: К рациональным числам надо добавить иррациональные числа.

879. Изобразите координатную ось вертикально с положительной полуосью, направленной вверх. Укажите на ней числа:

а) 1; 2; 3; 4;

б) 0,5; 0,7; 1,2; 1,3;

в) -1; -2; -3; -4;

г) -0,3; -0,5; -0,9; -1,2.

Для решения задачи необходимо изобразить вертикальную координатную ось. По условию, положительная полуось направлена вверх. Это означает, что начало отсчета, точка 0, находится где-то на оси, все положительные числа располагаются выше нуля, а все отрицательные — ниже нуля. Чем больше значение числа, тем выше оно находится на оси.

а) Требуется указать на оси числа 1; 2; 3; 4. Все эти числа положительные, поэтому они будут расположены выше точки 0. Расположим их в порядке возрастания: $1 < 2 < 3 < 4$. Это значит, что точка 1 будет самой близкой к 0, а точка 4 — самой удаленной от 0 вверх (самой высокой).

Ответ:

б) Требуется указать на оси числа 0,5; 0,7; 1,2; 1,3. Эти числа также положительные и располагаются выше 0. В порядке возрастания они идут так: $0,5 < 0,7 < 1,2 < 1,3$. Следовательно, точка 1,3 будет самой высокой, а точка 0,5 — самой низкой из этого набора (но все равно выше 0).

Ответ:

в) Требуется указать на оси числа –1; –2; –3; –4. Все эти числа отрицательные, поэтому они будут расположены ниже точки 0. Для отрицательных чисел действует правило: чем больше число, тем оно выше (ближе к 0). Сравним числа: $-1 > -2 > -3 > -4$. Значит, точка -1 будет самой высокой (самой близкой к 0), а точка -4 — самой низкой.

Ответ:

г) Требуется указать на оси числа –0,3; –0,5; –0,9; –1,2. Эти числа тоже отрицательные и будут находиться ниже 0. Расположим их в порядке возрастания: $-1,2 < -0,9 < -0,5 < -0,3$. Это означает, что точка -0,3 будет расположена выше всех из этого набора (ближе всего к 0), а точка -1,2 — ниже всех.

Ответ:

880. В декартовой системе координат $xOy$:

а) отметьте три точки, имеющие абсциссу 2, определите их координаты и запишите координаты этих точек;

б) отметьте три точки, имеющие ординату -3, определите их абсциссы и запишите координаты этих точек;

в) отметьте три точки, имеющие абсциссу 0, определите их координаты и запишите координаты этих точек;

г) отметьте три точки, имеющие ординату 0, определите их абсциссы и запишите координаты этих точек.

а) Абсцисса — это координата точки по оси $x$. Если абсцисса точки равна 2, то ее координата $x$ всегда равна 2. Ордината (координата по оси $y$) может быть любым числом, так как на нее не наложено никаких ограничений. Все точки с абсциссой 2 лежат на вертикальной прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку $(2; 0)$. Чтобы найти три такие точки, нужно выбрать три произвольных значения для ординаты $y$.
Например, выберем ординаты $y_1 = 1$, $y_2 = 4$ и $y_3 = -3$.
Тогда координаты точек будут: $(2; 1)$, $(2; 4)$, $(2; -3)$.
Ответ: $(2; 1)$, $(2; 4)$, $(2; -3)$.

б) Ордината — это координата точки по оси $y$. Если ордината точки равна -3, то ее координата $y$ всегда равна -3. Абсцисса (координата по оси $x$) может быть любым числом. Все точки с ординатой -3 лежат на горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку $(0; -3)$. Чтобы найти три такие точки, нужно выбрать три произвольных значения для абсциссы $x$.
Например, выберем абсциссы $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ и $x_3 = 5$.
Тогда координаты точек будут: $(1; -3)$, $(-2; -3)$, $(5; -3)$.
Ответ: $(1; -3)$, $(-2; -3)$, $(5; -3)$.

в) Если абсцисса точки равна 0, то ее координата $x$ всегда равна 0. Такие точки лежат на оси ординат (оси $Oy$). Ордината (координата по оси $y$) может быть любым числом. Чтобы найти три такие точки, нужно выбрать три произвольных значения для ординаты $y$.
Например, выберем ординаты $y_1 = 5$, $y_2 = -1$ и $y_3 = 0$.
Тогда координаты точек будут: $(0; 5)$, $(0; -1)$, $(0; 0)$.
Ответ: $(0; 5)$, $(0; -1)$, $(0; 0)$.

г) Если ордината точки равна 0, то ее координата $y$ всегда равна 0. Такие точки лежат на оси абсцисс (оси $Ox$). Абсцисса (координата по оси $x$) может быть любым числом. Чтобы найти три такие точки, нужно выбрать три произвольных значения для абсциссы $x$.
Например, выберем абсциссы $x_1 = 6$, $x_2 = -4$ и $x_3 = 0$.
Тогда координаты точек будут: $(6; 0)$, $(-4; 0)$, $(0; 0)$.
Ответ: $(6; 0)$, $(-4; 0)$, $(0; 0)$.

881. Постройте на координатной плоскости точки:

а) $A(1; 3)$, $B(1; 5)$, $C(1; -2)$, $D(1; 0)$;

б) $A(-2; 2)$, $B(-2; -2)$, $C(-3; -1)$, $D(-1; -3)$;

в) $A(0.5; -2)$, $B(0; 0.5)$, $C(-1.5; 0)$, $D(0; -2.5)$;

г) $A(-2.5; -0.5)$, $B(-1.5; 1.5)$, $C(1.5; -1.5)$, $D(2.5; 0.5)$.

Для построения точки с координатами $(x; y)$ на координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) необходимо выполнить следующие шаги. Координатная плоскость состоит из двух перпендикулярных осей: горизонтальной оси абсцисс (ось $Ox$) и вертикальной оси ординат (ось $Oy$), которые пересекаются в точке, называемой началом координат $(0; 0)$.

Чтобы построить точку, например $M(x_M; y_M)$:
1. Находим на оси $Ox$ значение, равное абсциссе точки, $x_M$. Если $x_M > 0$, откладываем значение вправо от начала координат, если $x_M < 0$ — влево.
2. Находим на оси $Oy$ значение, равное ординате точки, $y_M$. Если $y_M > 0$, откладываем значение вверх от начала координат, если $y_M < 0$ — вниз.
3. Проводим через эти точки на осях прямые, перпендикулярные осям. Точка пересечения этих прямых и будет искомой точкой $M(x_M; y_M)$.

Требуется построить точки: $A(1; 3)$, $B(1; 5)$, $C(1; -2)$, $D(1; 0)$.
- Для построения точки $A(1; 3)$: от начала координат откладываем 1 единицу вправо по оси $Ox$ и 3 единицы вверх по оси $Oy$.
- Для построения точки $B(1; 5)$: от начала координат откладываем 1 единицу вправо по оси $Ox$ и 5 единиц вверх по оси $Oy$.
- Для построения точки $C(1; -2)$: от начала координат откладываем 1 единицу вправо по оси $Ox$ и 2 единицы вниз по оси $Oy$.
- Для построения точки $D(1; 0)$: от начала координат откладываем 1 единицу вправо по оси $Ox$. Так как ордината равна 0, точка $D$ лежит на оси $Ox$.
Все эти точки имеют одинаковую абсциссу $x=1$, поэтому они все лежат на одной вертикальной прямой, проходящей через точку $(1; 0)$ на оси $Ox$.

Ответ: Точки построены на координатной плоскости согласно их координатам. Все точки лежат на вертикальной прямой $x=1$.

Требуется построить точки: $A(-2; 2)$, $B(-2; -2)$, $C(-3; -1)$, $D(-1; -3)$.
- Для построения точки $A(-2; 2)$: от начала координат откладываем 2 единицы влево по оси $Ox$ и 2 единицы вверх по оси $Oy$. Точка находится во второй координатной четверти.
- Для построения точки $B(-2; -2)$: от начала координат откладываем 2 единицы влево по оси $Ox$ и 2 единицы вниз по оси $Oy$. Точка находится в третьей координатной четверти.
- Для построения точки $C(-3; -1)$: от начала координат откладываем 3 единицы влево по оси $Ox$ и 1 единицу вниз по оси $Oy$. Точка находится в третьей координатной четверти.
- Для построения точки $D(-1; -3)$: от начала координат откладываем 1 единицу влево по оси $Ox$ и 3 единицы вниз по оси $Oy$. Точка находится в третьей координатной четверти.

Ответ: Точки построены на координатной плоскости согласно их координатам.

Требуется построить точки: $A(0,5; -2)$, $B(0; 0,5)$, $C(-1,5; 0)$, $D(0; -2,5)$.
- Для построения точки $A(0,5; -2)$: от начала координат откладываем 0,5 единицы (половину единичного отрезка) вправо по оси $Ox$ и 2 единицы вниз по оси $Oy$. Точка находится в четвертой координатной четверти.
- Для построения точки $B(0; 0,5)$: так как абсцисса равна 0, точка лежит на оси $Oy$. От начала координат откладываем 0,5 единицы вверх по оси $Oy$.
- Для построения точки $C(-1,5; 0)$: так как ордината равна 0, точка лежит на оси $Ox$. От начала координат откладываем 1,5 единицы влево по оси $Ox$.
- Для построения точки $D(0; -2,5)$: так как абсцисса равна 0, точка лежит на оси $Oy$. От начала координат откладываем 2,5 единицы вниз по оси $Oy$.

Ответ: Точки построены на координатной плоскости согласно их координатам. Точки $B$ и $D$ лежат на оси $Oy$, точка $C$ лежит на оси $Ox$.

Требуется построить точки: $A(-2,5; -0,5)$, $B(-1,5; 1,5)$, $C(1,5; -1,5)$, $D(2,5; 0,5)$.
- Для построения точки $A(-2,5; -0,5)$: от начала координат откладываем 2,5 единицы влево по оси $Ox$ и 0,5 единицы вниз по оси $Oy$. Точка находится в третьей координатной четверти.
- Для построения точки $B(-1,5; 1,5)$: от начала координат откладываем 1,5 единицы влево по оси $Ox$ и 1,5 единицы вверх по оси $Oy$. Точка находится во второй координатной четверти.
- Для построения точки $C(1,5; -1,5)$: от начала координат откладываем 1,5 единицы вправо по оси $Ox$ и 1,5 единицы вниз по оси $Oy$. Точка находится в четвертой координатной четверти.
- Для построения точки $D(2,5; 0,5)$: от начала координат откладываем 2,5 единицы вправо по оси $Ox$ и 0,5 единицы вверх по оси $Oy$. Точка находится в первой координатной четверти.

Ответ: Точки построены на координатной плоскости согласно их координатам.

882. a) Постройте замкнутую ломаную $ABCDMNK$, если

$A(-2; 2)$, $B(-2,5; 2)$, $C(-0,5; 3)$, $D(1,5; 2)$, $M(1; 2)$, $N(1; -0,5)$, $K(-2; 0,5)$.

б) Постройте ломаную $ABCDEFKN D$, если

$A(-2,5; 1,5)$, $B(-4; 1,5)$, $C(-2,5; 4,5)$, $D(-2,5; 0,5)$, $E(-5,5; 0,5)$, $F(-4,5; -0,5)$, $K(-2; -0,5)$, $N(-1; 0,5)$, $D(-2,5; 0,5)$.

а)

Для построения замкнутой ломаной $ABCDMNK$ необходимо начертить систему координат с осями $Ox$ и $Oy$ и отметить на ней точки с заданными координатами. Каждая точка $P(x; y)$ находится на пересечении перпендикуляров к осям, проведенных через значения абсциссы $x$ и ординаты $y$.

Отметим на координатной плоскости следующие точки:

• $A(-2; 2)$
• $B(-2.5; 2)$
• $C(-0.5; 3)$
• $D(1.5; 2)$
• $M(1; 2)$
• $N(1; -0.5)$
• $K(-2; 0.5)$

Далее последовательно соединим точки отрезками в том порядке, в котором они указаны в названии ломаной: $A$ с $B$, $B$ с $C$, $C$ с $D$, $D$ с $M$, $M$ с $N$, $N$ с $K$. Так как ломаная замкнутая, последнюю точку $K$ соединяем с первой точкой $A$. В результате на плоскости получится замкнутая фигура, представляющая собой семиугольник $ABCDMNK$.

Ответ: Построив и соединив точки в указанном порядке, мы получим на координатной плоскости замкнутую ломаную линию (семиугольник), по форме напоминающую корабль.

б)

Для построения ломаной $ABCDEFKND$ выполним аналогичные действия. Сначала отметим на координатной плоскости все точки по их координатам:

• $A(-2.5; 1.5)$
• $B(-4; 1.5)$
• $C(-2.5; 4.5)$
• $D(-2.5; 0.5)$
• $E(-5.5; 0.5)$
• $F(-4.5; -0.5)$
• $K(-2; -0.5)$
• $N(-1; 0.5)$

Теперь соединим точки отрезками в порядке, заданном названием ломаной $ABCDEFKND$. Это означает, что нужно провести следующие отрезки:

1. $AB$
2. $BC$
3. $CD$
4. $DE$
5. $EF$
6. $FK$
7. $KN$
8. $ND$

Обратите внимание, что ломаная начинается в точке $A$ и заканчивается в точке $D$. Точка $D$ является вершиной для трех отрезков: $CD$, $DE$ и $ND$. Данная ломаная не является замкнутой, а также является самопересекающейся (отрезок $ND$ пересекает другие части фигуры).

Ответ: Построив и соединив точки в указанном порядке, мы получим на координатной плоскости незамкнутую самопересекающуюся ломаную линию, по форме напоминающую парусник.

883. На координатной плоскости отметьте все точки:

а) абсциссы которых больше 1;

б) ординаты которых меньше -3;

в) абсциссы которых удовлетворяют неравенству $x > -2$;

г) ординаты которых удовлетворяют неравенству $y > 3$;

д) абсциссы которых удовлетворяют неравенству $-1 < x < 3$;

е) ординаты которых удовлетворяют неравенству $-5 < y < 1$.

а) абсциссы которых больше 1; Абсцисса точки – это ее координата по оси $x$. Условие можно записать в виде неравенства $x > 1$. На координатной плоскости этому неравенству удовлетворяют все точки, которые лежат правее вертикальной прямой, проходящей через точку $(1, 0)$ и параллельной оси ординат. Поскольку неравенство строгое ($>$), сама прямая $x=1$ не является частью решения. Таким образом, искомое множество точек — это открытая полуплоскость.
Ответ: Множество всех точек координатной плоскости, расположенных справа от прямой $x=1$ (открытая правая полуплоскость).

б) ординаты которых меньше –3; Ордината точки – это ее координата по оси $y$. Условие можно записать в виде неравенства $y < -3$. Этому неравенству удовлетворяют все точки координатной плоскости, которые лежат ниже горизонтальной прямой, проходящей через точку $(0, -3)$ и параллельной оси абсцисс. Поскольку неравенство строгое (<), сама прямая $y=-3$ не включается в решение. Это множество точек также представляет собой открытую полуплоскость.
Ответ: Множество всех точек координатной плоскости, расположенных ниже прямой $y=-3$ (открытая нижняя полуплоскость).

в) абсциссы которых удовлетворяют неравенству $x > -2$; Данное условие задает все точки на координатной плоскости, у которых координата $x$ больше $-2$. Геометрически это все точки, расположенные правее вертикальной прямой $x=-2$. Так как неравенство строгое ($>$), точки, лежащие на самой прямой $x=-2$, не входят в искомое множество. Это множество является открытой полуплоскостью.
Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная справа от прямой $x=-2$.

г) ординаты которых удовлетворяют неравенству $y > 3$; Это условие задает все точки на координатной плоскости, у которых координата $y$ больше $3$. Геометрически это все точки, расположенные выше горизонтальной прямой $y=3$. Так как неравенство строгое ($>$), точки, лежащие на самой прямой $y=3$, не входят в искомое множество. Это множество также является открытой полуплоскостью.
Ответ: Открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y=3$.

д) абсциссы которых удовлетворяют неравенству $-1 < x < 3$; Это двойное неравенство означает, что абсцисса точки $x$ должна быть одновременно больше $-1$ и меньше $3$. Геометрически этому условию удовлетворяют все точки, которые находятся между двумя вертикальными прямыми: $x=-1$ и $x=3$. Поскольку оба неравенства строгие, точки на самих прямых $x=-1$ и $x=3$ не включаются в решение. Искомое множество точек представляет собой открытую вертикальную полосу.
Ответ: Область, заключенная между вертикальными прямыми $x=-1$ и $x=3$ (открытая вертикальная полоса).

е) ординаты которых удовлетворяют неравенству $-5 < y < 1$. Это двойное неравенство означает, что ордината точки $y$ должна быть одновременно больше $-5$ и меньше $1$. Геометрически этому условию удовлетворяют все точки, которые находятся между двумя горизонтальными прямыми: $y=-5$ и $y=1$. Поскольку оба неравенства строгие, точки на самих прямых $y=-5$ и $y=1$ не включаются в решение. Искомое множество точек представляет собой открытую горизонтальную полосу.
Ответ: Область, заключенная между горизонтальными прямыми $y=-5$ и $y=1$ (открытая горизонтальная полоса).