Страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

890. a) Из формулы $S = \pi r^2$ выразите $\pi$ через $S$ и $r$.

б) Из формулы $C = 2\pi r$ выразите $r$ через $C$ и $\pi$.

а) Исходная формула для площади круга: $S = \pi r^2$. Чтобы выразить из этой формулы $\pi$, необходимо рассматривать её как уравнение, в котором $\pi$ является неизвестным множителем. Другой множитель — это $r^2$, а произведение — $S$. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Таким образом, разделим обе части уравнения на $r^2$ (при условии, что радиус $r$ не равен нулю, что для любого реального круга является верным):
$\frac{S}{r^2} = \frac{\pi r^2}{r^2}$
После сокращения дроби в правой части уравнения получаем выражение для $\pi$ через $S$ и $r$:
$\pi = \frac{S}{r^2}$
Ответ: $\pi = \frac{S}{r^2}$

б) Исходная формула для длины окружности: $C = 2\pi r$. Чтобы выразить из этой формулы радиус $r$, будем рассматривать $r$ как неизвестный множитель. Произведение известных множителей — $2\pi$, а общее произведение — $C$. Чтобы найти $r$, нужно общее произведение $C$ разделить на произведение известных множителей $2\pi$. Разделим обе части уравнения на $2\pi$:
$\frac{C}{2\pi} = \frac{2\pi r}{2\pi}$
После сокращения дроби в правой части уравнения получаем выражение для $r$ через $C$ и $\pi$:
$r = \frac{C}{2\pi}$
Ответ: $r = \frac{C}{2\pi}$

891. Запишите длину пути, пройденного автомобилем (движение считать равномерным), если:

a) скорость равна 10 м/с, время $t$ с;

$S = 10t$ м

б) скорость равна $v$ м/с, время 5 с.

$S = 5v$ м

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения пути при равномерном движении. Путь, пройденный телом ($S$), равен произведению его скорости ($v$) на время движения ($t$).

Формула: $S = v \cdot t$.

а)

По условию, скорость автомобиля $v = 10$ м/с, а время движения равно $t$ с. Подставим эти данные в формулу:

$S = 10 \cdot t$

Таким образом, длина пути, пройденного автомобилем, выражается как $10t$ метров.

Ответ: $10t$ м.

б)

По условию, скорость автомобиля равна $v$ м/с, а время движения $t = 5$ с. Подставим эти данные в формулу:

$S = v \cdot 5$

В математической записи принято ставить числовой коэффициент перед буквенным, поэтому выражение принимает вид: $S = 5v$.

Таким образом, длина пути, пройденного автомобилем, выражается как $5v$ метров.

Ответ: $5v$ м.

892. Запишите объём прямоугольного параллелепипеда, если длины его рёбер:

а) 4 см, $b$ см, $c$ см;

б) $a$ см, $b$ см, 2 см.

а) Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение длин трёх его рёбер (длины, ширины и высоты). Формула для расчёта объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.
В данном случае длины рёбер равны $4$ см, $b$ см и $c$ см.
Подставляем данные значения в формулу:
$V = 4 \cdot b \cdot c = 4bc$ (см³).
Ответ: $4bc$ см³.

б) Используем ту же формулу для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot c$.
В этом случае длины рёбер равны $a$ см, $b$ см и $2$ см.
Подставляем данные значения в формулу:
$V = a \cdot b \cdot 2 = 2ab$ (см³).
Ответ: $2ab$ см³.

893. Каким свойством обладает число, заданное выражением (n — натуральное число):

а) $2n$;

б) $2n+1$;

в) $2n-1$;

г) $3n$;

д) $3n+1$;

е) $3n-1$?

а) 2n

Рассмотрим выражение $2n$, где $n$ — натуральное число. Натуральные числа — это целые положительные числа $1, 2, 3, \ldots$

Подставим несколько первых натуральных чисел вместо $n$:

• При $n=1$, число равно $2 \cdot 1 = 2$.
• При $n=2$, число равно $2 \cdot 2 = 4$.
• При $n=3$, число равно $2 \cdot 3 = 6$.

Любое число, которое можно представить в виде произведения $2 \cdot n$, где $n$ — целое число, по определению делится на 2 без остатка. Такие числа называются четными. Таким образом, выражение $2n$ для любого натурального $n$ задает положительное четное число.

Ответ: число, заданное выражением $2n$, является четным.

б) 2n + 1

Рассмотрим выражение $2n + 1$, где $n$ — натуральное число.

Подставим несколько значений $n$:

• При $n=1$, число равно $2 \cdot 1 + 1 = 3$.
• При $n=2$, число равно $2 \cdot 2 + 1 = 5$.
• При $n=3$, число равно $2 \cdot 3 + 1 = 7$.

Мы знаем, что $2n$ — это всегда четное число. Если к четному числу прибавить 1, результат всегда будет нечетным числом, то есть числом, которое при делении на 2 дает в остатке 1. Таким образом, выражение $2n+1$ для любого натурального $n$ задает нечетное число.

Ответ: число, заданное выражением $2n+1$, является нечетным.

в) 2n - 1

Рассмотрим выражение $2n - 1$, где $n$ — натуральное число.

Подставим несколько значений $n$:

• При $n=1$, число равно $2 \cdot 1 - 1 = 1$.
• При $n=2$, число равно $2 \cdot 2 - 1 = 3$.
• При $n=3$, число равно $2 \cdot 3 - 1 = 5$.

Выражение $2n$ задает четное число. Если из четного числа вычесть 1, результат также всегда будет нечетным. Выражение $2n-1$ для натуральных $n$ задает все положительные нечетные числа.

Ответ: число, заданное выражением $2n-1$, является нечетным.

г) 3n

Рассмотрим выражение $3n$, где $n$ — натуральное число.

Подставим несколько значений $n$:

• При $n=1$, число равно $3 \cdot 1 = 3$.
• При $n=2$, число равно $3 \cdot 2 = 6$.
• При $n=3$, число равно $3 \cdot 3 = 9$.

Любое число, которое можно представить в виде произведения $3 \cdot n$, где $n$ — целое число, по определению делится на 3 без остатка. Такие числа называют кратными 3. Таким образом, выражение $3n$ для любого натурального $n$ задает число, кратное 3.

Ответ: число, заданное выражением $3n$, кратно 3 (делится на 3 без остатка).

д) 3n + 1

Рассмотрим выражение $3n + 1$, где $n$ — натуральное число.

Подставим несколько значений $n$:

• При $n=1$, число равно $3 \cdot 1 + 1 = 4$. При делении 4 на 3 получаем 1 в остатке.
• При $n=2$, число равно $3 \cdot 2 + 1 = 7$. При делении 7 на 3 получаем 1 в остатке.
• При $n=3$, число равно $3 \cdot 3 + 1 = 10$. При делении 10 на 3 получаем 1 в остатке.

Выражение $3n$ задает число, которое делится на 3 нацело. Если к такому числу прибавить 1, то при делении нового числа на 3 остаток всегда будет равен 1. Это следует из определения деления с остатком: $a = bq + r$, где $r$ — остаток. В нашем случае $a = 3n + 1$, делитель $b=3$, частное $q=n$, а остаток $r=1$.

Ответ: число, заданное выражением $3n+1$, при делении на 3 дает в остатке 1.

е) 3n - 1

Рассмотрим выражение $3n - 1$, где $n$ — натуральное число.

Подставим несколько значений $n$:

• При $n=1$, число равно $3 \cdot 1 - 1 = 2$. При делении 2 на 3 получаем 2 в остатке.
• При $n=2$, число равно $3 \cdot 2 - 1 = 5$. При делении 5 на 3 получаем 2 в остатке.
• При $n=3$, число равно $3 \cdot 3 - 1 = 8$. При делении 8 на 3 получаем 2 в остатке.

Чтобы доказать это свойство в общем виде, представим выражение $3n - 1$ в стандартной форме деления с остатком на 3. Мы можем переписать его так: $3n - 1 = 3n - 3 + 2 = 3(n-1) + 2$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $(n-1)$ является целым неотрицательным числом ($n-1 \ge 0$). Выражение $3(n-1) + 2$ имеет форму $3q + r$, где $q=n-1$ и $r=2$. Следовательно, при делении числа вида $3n - 1$ на 3 остаток всегда будет равен 2.

Ответ: число, заданное выражением $3n-1$, при делении на 3 дает в остатке 2.

894. Запишите алгебраическое выражение, которое задаёт:

а) натуральные числа, делящиеся нацело на 3: $3n$, где $n \in \mathbb{N}$

б) натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 1: $3n - 2$, где $n \in \mathbb{N}$

в) натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 2: $3n - 1$, где $n \in \mathbb{N}$

г) натуральные числа, делящиеся нацело на 7: $7n$, где $n \in \mathbb{N}$

а) натуральные числа, делящиеся нацело на 3;

Чтобы число делилось нацело на 3, оно должно быть произведением числа 3 и некоторого натурального числа. Обозначим это натуральное число переменной $n$, где $n$ может принимать значения 1, 2, 3, и так далее (то есть $n$ принадлежит множеству натуральных чисел, $n \in N$).
Таким образом, формула для таких чисел имеет вид: $3 \cdot n$ или просто $3n$.
При $n=1$ получаем $3 \cdot 1 = 3$.
При $n=2$ получаем $3 \cdot 2 = 6$.
При $n=3$ получаем $3 \cdot 3 = 9$, и так далее.
Этот ряд (3, 6, 9, ...) как раз и представляет собой все натуральные числа, делящиеся нацело на 3.

Ответ: $3n$, где $n \in N$.

б) натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 1;

Согласно определению деления с остатком, любое число $a$, которое при делении на 3 дает остаток 1, можно представить в виде $a = 3q + 1$, где $q$ — это неполное частное (целое неотрицательное число).
Нам нужны натуральные числа, поэтому $a \ge 1$. Ряд таких чисел: 1, 4, 7, 10, ...
При $q=0$, $a = 3 \cdot 0 + 1 = 1$.
При $q=1$, $a = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.
При $q=2$, $a = 3 \cdot 2 + 1 = 7$, и так далее.
Чтобы задать эту последовательность через натуральное число $n$ (где $n=1, 2, 3, ...$), можно установить соответствие между $n$ и $q$. Например, можно взять $q = n - 1$.
Подставим это в формулу: $a = 3(n-1) + 1 = 3n - 3 + 1 = 3n - 2$.
Проверим эту формулу:
При $n=1$: $3 \cdot 1 - 2 = 1$.
При $n=2$: $3 \cdot 2 - 2 = 4$.
При $n=3$: $3 \cdot 3 - 2 = 7$, и так далее.
Формула верно задает искомые числа.

Ответ: $3n - 2$, где $n \in N$.

в) натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 2;

Аналогично предыдущему пункту, число $a$, которое при делении на 3 дает остаток 2, можно представить в виде $a = 3q + 2$, где $q$ — неполное частное.
Ряд таких натуральных чисел: 2, 5, 8, 11, ...
При $q=0$, $a = 3 \cdot 0 + 2 = 2$.
При $q=1$, $a = 3 \cdot 1 + 2 = 5$.
При $q=2$, $a = 3 \cdot 2 + 2 = 8$, и так далее.
Снова выразим эту последовательность через натуральное число $n$ ($n=1, 2, 3, ...$). Здесь также неполное частное $q$ связано с $n$ как $q = n - 1$.
Подставим в формулу: $a = 3(n-1) + 2 = 3n - 3 + 2 = 3n - 1$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $3 \cdot 1 - 1 = 2$.
При $n=2$: $3 \cdot 2 - 1 = 5$.
При $n=3$: $3 \cdot 3 - 1 = 8$, и так далее.
Формула верна.

Ответ: $3n - 1$, где $n \in N$.

г) натуральные числа, делящиеся нацело на 7.

Этот случай аналогичен пункту "а". Чтобы число делилось нацело на 7, оно должно быть представимо в виде произведения числа 7 и некоторого натурального числа $n$, где $n \in N$.
Тогда алгебраическое выражение, задающее такие числа, имеет вид: $7n$.
При $n=1$ получаем $7 \cdot 1 = 7$.
При $n=2$ получаем $7 \cdot 2 = 14$.
При $n=3$ получаем $7 \cdot 3 = 21$, и так далее.
Этот ряд (7, 14, 21, ...) и есть все натуральные числа, которые делятся на 7 без остатка.

Ответ: $7n$, где $n \in N$.

895. Равны ли одночлены:

а) $3ab \cdot (-2)a$ и $6a^2b;$

б) $ax^2 \cdot 3a^2xy$ и $3a^3x^3y;$

в) $\frac{1}{2}a^2bc \cdot (-2)ab^3c^2$ и $\frac{1}{4}a^2b^4c^4;$

г) $-\frac{7}{8}ax^2y^2c \cdot \left(-2\frac{2}{3}\right)a^2xyc^2$ и $1\frac{1}{3}a^3x^4y^3c^2?

а) Чтобы определить, равны ли одночлены, необходимо привести их к стандартному виду. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.
Приведем первый одночлен $3ab \cdot (-2)a$ к стандартному виду. Для этого перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$3ab \cdot (-2)a = (3 \cdot (-2)) \cdot (a \cdot a) \cdot b = -6a^{1+1}b = -6a^2b$.
Теперь сравним полученный одночлен $-6a^2b$ со вторым одночленом $6a^2b$.
Одночлены $-6a^2b$ и $6a^2b$ не равны, так как их числовые коэффициенты различны ($-6 \neq 6$).
Ответ: нет.

б) Приведем первый одночлен $ax^2 \cdot 3a^2xy$ к стандартному виду:
$ax^2 \cdot 3a^2xy = 3 \cdot (a \cdot a^2) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y = 3a^{1+2}x^{2+1}y = 3a^3x^3y$.
Сравним полученный одночлен $3a^3x^3y$ со вторым одночленом $3a^3x^3y$.
Одночлены $3a^3x^3y$ и $3a^3x^3y$ полностью совпадают, следовательно, они равны.
Ответ: да.

в) Приведем первый одночлен $\frac{1}{2}a^2bc \cdot (-2)ab^3c^2$ к стандартному виду:
$\frac{1}{2}a^2bc \cdot (-2)ab^3c^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot (-2)\right) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^3) \cdot (c \cdot c^2) = -1 \cdot a^{2+1}b^{1+3}c^{1+2} = -a^3b^4c^3$.
Сравним полученный одночлен $-a^3b^4c^3$ со вторым одночленом $\frac{1}{4}a^2b^4c^4$.
Одночлены не равны, так как у них разные числовые коэффициенты ($-1 \neq \frac{1}{4}$), а также разные степени у переменных $a$ (степень 3 против 2) и $c$ (степень 3 против 4).
Ответ: нет.

г) Приведем первый одночлен $-\frac{7}{8}ax^2y^2c \cdot \left(-2\frac{2}{3}\right)a^2xyc^2$ к стандартному виду. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{8}{3}$.
Теперь выполним умножение:
$-\frac{7}{8}ax^2y^2c \cdot \left(-\frac{8}{3}\right)a^2xyc^2 = \left(-\frac{7}{8} \cdot \left(-\frac{8}{3}\right)\right) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y) \cdot (c \cdot c^2) = \frac{7 \cdot 8}{8 \cdot 3} \cdot a^{1+2} \cdot x^{2+1} \cdot y^{2+1} \cdot c^{1+2} = \frac{7}{3}a^3x^3y^3c^3$.
Теперь приведем второй одночлен $1\frac{1}{3}a^3x^4y^3c^2$ к стандартному виду. Преобразуем смешанное число: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$. Таким образом, второй одночлен равен $\frac{4}{3}a^3x^4y^3c^2$.
Сравним полученные одночлены: $\frac{7}{3}a^3x^3y^3c^3$ и $\frac{4}{3}a^3x^4y^3c^2$.
Они не равны, так как у них разные числовые коэффициенты ($\frac{7}{3} \neq \frac{4}{3}$), разные степени у переменной $x$ (степень 3 против 4) и у переменной $c$ (степень 3 против 2).
Ответ: нет.

896. Найдите одночлен, равный произведению одночленов:

а) $3a^2b^3c \cdot 6a^3bc^2;$

б) $7bc^4e^2 \cdot 14b^2c^5e;$

в) $8c^2e^3k \cdot 12c^2ek;$

г) $(-16)e^2k^4p^3 \cdot 8e^2k^3p;$

д) $(-14)a^3bc^2 \cdot 4ab^2c^2;$

е) $7k^2p^2x^3 \cdot (-23)k^2p^4x^2;$

ж) $\frac{2}{3}p^3x^3y^2 \cdot 2\frac{1}{2}pxy^2;$

з) $\left(-\frac{4}{7}\right)ace^2 \cdot 1\frac{1}{6}a^2c^2e^2;$

и) $\left(-2\frac{1}{5}\right)ae^2k^2 \cdot \left(-1\frac{9}{11}\right)a^2ek;$

к) $\left(-1\frac{1}{4}\right)a^3kp^2 \cdot \frac{8}{5}ak^2p.$

а) Чтобы найти произведение одночленов $3a^2b^3c$ и $6a^3bc^2$, необходимо сгруппировать и перемножить их числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.
$3a^2b^3c \cdot 6a^3bc^2 = (3 \cdot 6) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (b^3 \cdot b) \cdot (c \cdot c^2) = 18 \cdot a^{2+3} \cdot b^{3+1} \cdot c^{1+2} = 18a^5b^4c^3$.
Ответ: $18a^5b^4c^3$.

б) Перемножим одночлены $7bc^4e^2$ и $14b^2c^5e$.
$7bc^4e^2 \cdot 14b^2c^5e = (7 \cdot 14) \cdot (b \cdot b^2) \cdot (c^4 \cdot c^5) \cdot (e^2 \cdot e) = 98 \cdot b^{1+2} \cdot c^{4+5} \cdot e^{2+1} = 98b^3c^9e^3$.
Ответ: $98b^3c^9e^3$.

в) Перемножим одночлены $8c^2e^3k$ и $12c^2ek$.
$8c^2e^3k \cdot 12c^2ek = (8 \cdot 12) \cdot (c^2 \cdot c^2) \cdot (e^3 \cdot e) \cdot (k \cdot k) = 96 \cdot c^{2+2} \cdot e^{3+1} \cdot k^{1+1} = 96c^4e^4k^2$.
Ответ: $96c^4e^4k^2$.

г) Перемножим одночлены $(-16)e^2k^4p^3$ и $8e^2k^3p$.
$(-16)e^2k^4p^3 \cdot 8e^2k^3p = (-16 \cdot 8) \cdot (e^2 \cdot e^2) \cdot (k^4 \cdot k^3) \cdot (p^3 \cdot p) = -128 \cdot e^{2+2} \cdot k^{4+3} \cdot p^{3+1} = -128e^4k^7p^4$.
Ответ: $-128e^4k^7p^4$.

д) Перемножим одночлены $(-14)a^3bc^2$ и $4ab^2c^2$.
$(-14)a^3bc^2 \cdot 4ab^2c^2 = (-14 \cdot 4) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot (b \cdot b^2) \cdot (c^2 \cdot c^2) = -56 \cdot a^{3+1} \cdot b^{1+2} \cdot c^{2+2} = -56a^4b^3c^4$.
Ответ: $-56a^4b^3c^4$.

е) Перемножим одночлены $7k^2p^2x^3$ и $(-23)k^2p^4x^2$.
$7k^2p^2x^3 \cdot (-23)k^2p^4x^2 = (7 \cdot (-23)) \cdot (k^2 \cdot k^2) \cdot (p^2 \cdot p^4) \cdot (x^3 \cdot x^2) = -161 \cdot k^{2+2} \cdot p^{2+4} \cdot x^{3+2} = -161k^4p^6x^5$.
Ответ: $-161k^4p^6x^5$.

ж) Перемножим одночлены $\frac{2}{3}p^3x^3y^2$ и $2\frac{1}{2}pxy^2$.
Сначала представим смешанное число $2\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.
$\frac{2}{3}p^3x^3y^2 \cdot \frac{5}{2}pxy^2 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}) \cdot (p^3 \cdot p) \cdot (x^3 \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y^2) = \frac{10}{6} \cdot p^{3+1} \cdot x^{3+1} \cdot y^{2+2} = \frac{5}{3}p^4x^4y^4$.
Результат можно записать в виде смешанного числа: $\frac{5}{3}p^4x^4y^4 = 1\frac{2}{3}p^4x^4y^4$.
Ответ: $\frac{5}{3}p^4x^4y^4$.

з) Перемножим одночлены $(-\frac{4}{7})ace^2$ и $1\frac{1}{6}a^2c^2e^2$.
Представим смешанное число $1\frac{1}{6}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$.
$(-\frac{4}{7})ace^2 \cdot \frac{7}{6}a^2c^2e^2 = (-\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{6}) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (c \cdot c^2) \cdot (e^2 \cdot e^2) = -\frac{28}{42} \cdot a^{1+2} \cdot c^{1+2} \cdot e^{2+2} = -\frac{2}{3}a^3c^3e^4$.
Ответ: $-\frac{2}{3}a^3c^3e^4$.

и) Перемножим одночлены $(-2\frac{1}{5})ae^2k^2$ и $(-1\frac{9}{11})a^2ek$.
Представим смешанные числа в виде неправильных дробей: $-2\frac{1}{5} = -\frac{11}{5}$ и $-1\frac{9}{11} = -\frac{20}{11}$.
$(-\frac{11}{5})ae^2k^2 \cdot (-\frac{20}{11})a^2ek = ((-\frac{11}{5}) \cdot (-\frac{20}{11})) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (e^2 \cdot e) \cdot (k^2 \cdot k) = \frac{11 \cdot 20}{5 \cdot 11} \cdot a^{1+2} \cdot e^{2+1} \cdot k^{2+1} = 4a^3e^3k^3$.
Ответ: $4a^3e^3k^3$.

к) Перемножим одночлены $(-1\frac{1}{4})a^3kp^2$ и $\frac{8}{5}ak^2p$.
Представим смешанное число $-1\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби: $-1\frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$.
$(-\frac{5}{4})a^3kp^2 \cdot \frac{8}{5}ak^2p = (-\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5}) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot (k \cdot k^2) \cdot (p^2 \cdot p) = -\frac{5 \cdot 8}{4 \cdot 5} \cdot a^{3+1} \cdot k^{1+2} \cdot p^{2+1} = -2a^4k^3p^3$.
Ответ: $-2a^4k^3p^3$.

Вместо звёздочки подберите такой одночлен, чтобы получилось верное равенство (897–898):

897. а) $2a^2b \cdot * = 14a^5b^2;$

б) $14a^2c^3 \cdot * = 42a^6c^5;$

в) $* \cdot 17b^3c^4 = 85b^4c^7;$

г) $* \cdot 11a^3c^2 = 88a^5e^9.$

а) Чтобы найти неизвестный одночлен, который обозначен звёздочкой, в равенстве $2a^2b \cdot * = 14a^5b^2$, необходимо разделить произведение ($14a^5b^2$) на известный множитель ($2a^2b$).

Выполним деление: $* = \frac{14a^5b^2}{2a^2b}$.

Разделим числовые коэффициенты: $14 \div 2 = 7$.

Разделим степени с основанием $a$: $a^5 \div a^2 = a^{5-2} = a^3$.

Разделим степени с основанием $b$: $b^2 \div b^1 = b^{2-1} = b$.

Объединив результаты, получаем искомый одночлен: $7a^3b$.

Проверка: $2a^2b \cdot (7a^3b) = (2 \cdot 7) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (b^1 \cdot b^1) = 14a^5b^2$. Равенство верно.

Ответ: $7a^3b$

б) В равенстве $14a^2c^3 \cdot * = 42a^6c^5$ найдём неизвестный множитель, разделив произведение ($42a^6c^5$) на известный множитель ($14a^2c^3$).

$* = \frac{42a^6c^5}{14a^2c^3}$

Делим коэффициенты: $42 \div 14 = 3$.

Делим степени с основанием $a$: $a^6 \div a^2 = a^{6-2} = a^4$.

Делим степени с основанием $c$: $c^5 \div c^3 = c^{5-3} = c^2$.

Искомый одночлен: $3a^4c^2$.

Проверка: $14a^2c^3 \cdot (3a^4c^2) = (14 \cdot 3) \cdot (a^2 \cdot a^4) \cdot (c^3 \cdot c^2) = 42a^6c^5$. Равенство верно.

Ответ: $3a^4c^2$

в) В равенстве $* \cdot 17b^3c^4 = 85b^4c^7$ неизвестный множитель находится путём деления произведения ($85b^4c^7$) на известный множитель ($17b^3c^4$).

$* = \frac{85b^4c^7}{17b^3c^4}$

Делим коэффициенты: $85 \div 17 = 5$.

Делим степени с основанием $b$: $b^4 \div b^3 = b^{4-3} = b$.

Делим степени с основанием $c$: $c^7 \div c^4 = c^{7-4} = c^3$.

Искомый одночлен: $5bc^3$.

Проверка: $(5bc^3) \cdot (17b^3c^4) = (5 \cdot 17) \cdot (b \cdot b^3) \cdot (c^3 \cdot c^4) = 85b^4c^7$. Равенство верно.

Ответ: $5bc^3$

г) Исходное равенство: $* \cdot 11a^3c^2 = 88a^5e^9$.

Для нахождения неизвестного одночлена нужно разделить правую часть на известный множитель из левой части: $* = \frac{88a^5e^9}{11a^3c^2}$.

При выполнении этого деления получается выражение $8a^2e^9c^{-2}$, которое содержит переменную $c$ в отрицательной степени. Такое выражение не является одночленом в стандартном определении (где показатели степеней переменных — целые неотрицательные числа).

Это указывает на вероятную опечатку в условии задачи. Наиболее логичным исправлением является замена переменной $e$ на $c$ в правой части, поскольку переменная $c$ уже присутствует в левой части. Предположим, что правильное равенство должно выглядеть так: $* \cdot 11a^3c^2 = 88a^5c^9$.

Решим задачу с этим исправлением.

$* = \frac{88a^5c^9}{11a^3c^2}$

Разделим коэффициенты: $88 \div 11 = 8$.

Разделим степени с основанием $a$: $a^5 \div a^3 = a^{5-3} = a^2$.

Разделим степени с основанием $c$: $c^9 \div c^2 = c^{9-2} = c^7$.

Таким образом, искомый одночлен при исправленном условии: $8a^2c^7$.

Ответ: $8a^2c^7$

898. а) $4ab^2 + 12ab^2 + * = 11ab^2;$

Б) $12a^2b^3 + 7a^2b^3 + * = a^2b^3;$

В) $15b^2c^4 + * + 2b^2c^4 = 22b^2c^4;$

Г) $13c^2e^3 + * = 0.$

а) В данном уравнении необходимо найти неизвестное слагаемое, обозначенное звездочкой (*). Уравнение имеет вид: $4ab^2 + 12ab^2 + * = 11ab^2$.

Все члены этого уравнения являются подобными одночленами, так как имеют одинаковую буквенную часть $ab^2$. Сначала упростим левую часть, сложив известные слагаемые:

$4ab^2 + 12ab^2 = (4+12)ab^2 = 16ab^2$.

Теперь уравнение выглядит так: $16ab^2 + * = 11ab^2$.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($11ab^2$) вычесть известное слагаемое ($16ab^2$):

$* = 11ab^2 - 16ab^2$.

Выполняем вычитание коэффициентов:

$* = (11 - 16)ab^2 = -5ab^2$.

Ответ: $-5ab^2$.

б) Исходное уравнение: $12a^2b^3 + 7a^2b^3 + * = a^2b^3$.

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части:

$12a^2b^3 + 7a^2b^3 = (12+7)a^2b^3 = 19a^2b^3$.

Уравнение принимает вид: $19a^2b^3 + * = a^2b^3$.

Теперь выразим неизвестное слагаемое. Для этого вычтем из суммы ($a^2b^3$) известное слагаемое ($19a^2b^3$). Обратим внимание, что коэффициент при $a^2b^3$ равен 1.

$* = 1a^2b^3 - 19a^2b^3$.

Выполняем вычитание:

$* = (1 - 19)a^2b^3 = -18a^2b^3$.

Ответ: $-18a^2b^3$.

в) Исходное уравнение: $15b^2c^4 + * + 2b^2c^4 = 22b^2c^4$.

Сгруппируем и сложим известные подобные слагаемые в левой части уравнения:

$15b^2c^4 + 2b^2c^4 = (15+2)b^2c^4 = 17b^2c^4$.

Теперь уравнение выглядит так: $17b^2c^4 + * = 22b^2c^4$.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, вычтем из суммы ($22b^2c^4$) сумму известных слагаемых ($17b^2c^4$):

$* = 22b^2c^4 - 17b^2c^4$.

Выполняем вычитание коэффициентов:

$* = (22 - 17)b^2c^4 = 5b^2c^4$.

Ответ: $5b^2c^4$.

г) Исходное уравнение: $13c^2e^3 + * = 0$.

В этом уравнении нужно найти такое слагаемое, которое в сумме с $13c^2e^3$ дает ноль. Такое слагаемое является противоположным к данному.

Чтобы найти неизвестное, перенесем известное слагаемое в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$* = 0 - 13c^2e^3$.

Таким образом:

$* = -13c^2e^3$.

Ответ: $-13c^2e^3$.

899. Приведите подобные члены:

a) $3a + 8a - a;$

б) $2x - 7x + 3x;$

в) $5y - 15y - 8y;$

г) $-2a - 3a + 8a;$

д) $b - 7b + 3b - 5b - 2b;$

е) $2x - 11x - 2x + 13x - 7x;$

ж) $ab - 3ab - ab - ab;$

з) $-xy - 7xy + xy;$

и) $3m^2n - m^2n - 2m^2n;$

к) $-ax^2 - 6ax^2 - 2ax^2.$

а) Чтобы привести подобные члены в выражении $3a + 8a - a$, нужно сложить их коэффициенты и умножить результат на общую буквенную часть. Помним, что член $-a$ имеет коэффициент $-1$.
$3a + 8a - a = (3 + 8 - 1)a = 10a$.
Ответ: $10a$.

б) В выражении $2x - 7x + 3x$ все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $x$. Сложим их коэффициенты.
$2x - 7x + 3x = (2 - 7 + 3)x = (-5 + 3)x = -2x$.
Ответ: $-2x$.

в) Все члены в выражении $5y - 15y - 8y$ подобны. Для упрощения вынесем общую буквенную часть $y$ за скобки и выполним действия с коэффициентами.
$5y - 15y - 8y = (5 - 15 - 8)y = (-10 - 8)y = -18y$.
Ответ: $-18y$.

г) В выражении $-2a - 3a + 8a$ все члены имеют общую буквенную часть $a$, следовательно, они подобны. Сгруппируем коэффициенты и выполним сложение.
$-2a - 3a + 8a = (-2 - 3 + 8)a = (-5 + 8)a = 3a$.
Ответ: $3a$.

д) В выражении $b - 7b + 3b - 5b - 2b$ все члены являются подобными слагаемыми. Коэффициент члена $b$ равен $1$. Сложим все коэффициенты.
$b - 7b + 3b - 5b - 2b = (1 - 7 + 3 - 5 - 2)b = (-6 + 3 - 5 - 2)b = (-3 - 5 - 2)b = (-8 - 2)b = -10b$.
Ответ: $-10b$.

е) В выражении $2x - 11x - 2x + 13x - 7x$ все члены являются подобными. Найдем сумму их коэффициентов.
$2x - 11x - 2x + 13x - 7x = (2 - 11 - 2 + 13 - 7)x = (-9 - 2 + 13 - 7)x = (-11 + 13 - 7)x = (2 - 7)x = -5x$.
Ответ: $-5x$.

ж) Все члены выражения $ab - 3ab - ab - ab$ имеют одинаковую буквенную часть $ab$, поэтому они являются подобными. Коэффициенты членов $ab$ и $-ab$ равны $1$ и $-1$ соответственно.
$ab - 3ab - ab - ab = (1 - 3 - 1 - 1)ab = (-2 - 1 - 1)ab = -4ab$.
Ответ: $-4ab$.

з) Приведем подобные члены в выражении $-xy - 7xy + xy$. Общая буквенная часть $xy$.
$-xy - 7xy + xy = (-1 - 7 + 1)xy = -7xy$.
Ответ: $-7xy$.

и) В выражении $3m^2n - m^2n - 2m^2n$ все члены подобны, так как у них одинаковая буквенная часть $m^2n$. Сложим их коэффициенты.
$3m^2n - m^2n - 2m^2n = (3 - 1 - 2)m^2n = (2 - 2)m^2n = 0 \cdot m^2n = 0$.
Ответ: $0$.

к) В выражении $-ax^2 - 6ax^2 - 2ax^2$ общей буквенной частью является $ax^2$. Все члены подобны.
$-ax^2 - 6ax^2 - 2ax^2 = (-1 - 6 - 2)ax^2 = -9ax^2$.
Ответ: $-9ax^2$.