Страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

945. Преобразуйте данную дробь в сумму дробей, например:

$ \frac{3x^2 - 8x + 4}{x} = \frac{3x^2}{x} - \frac{8x}{x} + \frac{4}{x} = 3x - 8 + \frac{4}{x} $

а) $ \frac{m + n}{3}; $

б) $ \frac{x - 2}{5}; $

в) $ \frac{1 - 2x}{x}; $

г) $ \frac{3a - 8b}{ab}; $

д) $ \frac{x^2 - 2x}{x^3}; $

е) $ \frac{4y - 9y^2}{12y}; $

ж) $ \frac{5x^3 + 2x^2 - x - 8}{2x}; $

з) $ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}; $

и) $ \frac{12 - 7x + x^2}{x - 4}; $

к) $ \frac{12m^4 - 9m^2 + m - 6}{3m^2}. $

а) Чтобы преобразовать данную дробь в сумму, необходимо каждый член числителя разделить на общий знаменатель.
$\frac{m + n}{3} = \frac{m}{3} + \frac{n}{3}$.
Ответ: $\frac{m}{3} + \frac{n}{3}$.

б) Разделим каждый член числителя на знаменатель:
$\frac{x - 2}{5} = \frac{x}{5} - \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{x}{5} - \frac{2}{5}$.

в) Разделим каждый член числителя на знаменатель и выполним сокращение:
$\frac{1 - 2x}{x} = \frac{1}{x} - \frac{2x}{x} = \frac{1}{x} - 2$.
Ответ: $\frac{1}{x} - 2$.

г) Разделим каждый член числителя на знаменатель и сократим каждую из полученных дробей:
$\frac{3a - 8b}{ab} = \frac{3a}{ab} - \frac{8b}{ab} = \frac{3}{b} - \frac{8}{a}$.
Ответ: $\frac{3}{b} - \frac{8}{a}$.

д) Разделим каждый член числителя на знаменатель и упростим, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^2 - 2x}{x^3} = \frac{x^2}{x^3} - \frac{2x}{x^3} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}$.
Ответ: $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}$.

е) Разделим каждый член числителя на знаменатель и выполним сокращение:
$\frac{4y - 9y^2}{12y} = \frac{4y}{12y} - \frac{9y^2}{12y} = \frac{4}{12} - \frac{9y}{12} = \frac{1}{3} - \frac{3y}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{3} - \frac{3y}{4}$.

ж) Разделим каждый член числителя на знаменатель $2x$ и упростим каждое слагаемое:
$\frac{5x^3 + 2x^2 - x - 8}{2x} = \frac{5x^3}{2x} + \frac{2x^2}{2x} - \frac{x}{2x} - \frac{8}{2x} = \frac{5}{2}x^2 + x - \frac{1}{2} - \frac{4}{x}$.
Ответ: $\frac{5}{2}x^2 + x - \frac{1}{2} - \frac{4}{x}$.

з) В данном случае знаменатель является многочленом. Чтобы упростить дробь, разложим числитель $x^2 - 5x + 6$ на множители. Корнями квадратного трехчлена являются $x_1=2$ и $x_2=3$ (по теореме Виета).
Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
Теперь выполним преобразование дроби: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = \frac{(x-2)(x-3)}{x - 2}$.
Сократив на $(x-2)$, получим $x-3$.
Ответ: $x-3$.

и) Сначала упорядочим члены в числителе по убыванию степеней: $x^2 - 7x + 12$. Разложим числитель на множители. Корнями уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ являются $x_1=3$ и $x_2=4$.
Таким образом, $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$.
Преобразуем дробь: $\frac{12 - 7x + x^2}{x - 4} = \frac{x^2 - 7x + 12}{x - 4} = \frac{(x-3)(x-4)}{x - 4}$.
Сократив на $(x-4)$, получим $x-3$.
Ответ: $x-3$.

к) Разделим каждый член многочлена в числителе на одночлен в знаменателе:
$\frac{12m^4 - 9m^2 + m - 6}{3m^2} = \frac{12m^4}{3m^2} - \frac{9m^2}{3m^2} + \frac{m}{3m^2} - \frac{6}{3m^2}$.
Упростим каждое слагаемое: $4m^2 - 3 + \frac{1}{3m} - \frac{2}{m^2}$.
Ответ: $4m^2 - 3 + \frac{1}{3m} - \frac{2}{m^2}$.

946. Вместо A, B и C подберите целые выражения так, чтобы равенство было верным, и упростите полученную дробь:

а) $ \frac{a - 1}{a + 1} + \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{(a - 1)(a - 1) + (a + 1)(a + 1)}{A}; $

б) $ \frac{m}{3m - 1} + \frac{2m}{5 - 2m} = \frac{m(5 - 2m) + 2m(3m - 1)}{A}; $

в) $ \frac{B}{x + 2} - \frac{C}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x - 1) + 3x(x + 2)}{A}; $

г) $ \frac{B}{p - q} - \frac{C}{p^2 - q^2} = \frac{(p + q)(p + q) - 2pq}{A}. $

а) Исходное равенство: $\frac{a-1}{a+1} + \frac{a+1}{a-1} = \frac{(a-1)(a-1) + (a+1)(a+1)}{A}$.
Чтобы найти выражение $A$, приведем дроби в левой части равенства к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{a-1}{a+1}$ и $\frac{a+1}{a-1}$ равен $(a+1)(a-1)$.
$\frac{a-1}{a+1} + \frac{a+1}{a-1} = \frac{(a-1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} + \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a-1)^2 + (a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$.
Сравнивая полученное выражение с правой частью исходного равенства, видим, что их числители совпадают. Следовательно, должны совпадать и знаменатели. Таким образом, $A = (a+1)(a-1) = a^2 - 1$.
Теперь упростим полученную дробь $\frac{(a-1)^2 + (a+1)^2}{a^2-1}$.
Раскроем скобки в числителе: $(a-1)^2 + (a+1)^2 = (a^2 - 2a + 1) + (a^2 + 2a + 1) = 2a^2 + 2 = 2(a^2 + 1)$.
Итоговая дробь: $\frac{2(a^2+1)}{a^2-1}$.
Ответ: $A = a^2 - 1$; упрощенная дробь: $\frac{2(a^2+1)}{a^2-1}$.

б) Исходное равенство: $\frac{m}{3m-1} + \frac{2m}{5-2m} = \frac{m(5-2m) + 2m(3m-1)}{A}$.
Аналогично предыдущему пункту, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(3m-1)(5-2m)$.
$\frac{m}{3m-1} + \frac{2m}{5-2m} = \frac{m(5-2m)}{(3m-1)(5-2m)} + \frac{2m(3m-1)}{(5-2m)(3m-1)} = \frac{m(5-2m) + 2m(3m-1)}{(3m-1)(5-2m)}$.
Сравнивая результат с правой частью исходного равенства, заключаем, что $A = (3m-1)(5-2m)$.
Раскроем скобки: $A = 15m - 6m^2 - 5 + 2m = -6m^2 + 17m - 5$.
Теперь упростим полученную дробь. Преобразуем числитель:
$m(5-2m) + 2m(3m-1) = 5m - 2m^2 + 6m^2 - 2m = 4m^2 + 3m$.
Итоговая дробь: $\frac{4m^2 + 3m}{-6m^2 + 17m - 5}$.
Ответ: $A = (3m-1)(5-2m)$ (или $A = -6m^2 + 17m - 5$); упрощенная дробь: $\frac{4m^2 + 3m}{-6m^2 + 17m - 5}$.

в) Исходное равенство: $\frac{B}{x+2} - \frac{C}{x-1} = \frac{(x-1)(x-1) + 3x(x+2)}{A}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $(x+2)(x-1)$:
$\frac{B}{x+2} - \frac{C}{x-1} = \frac{B(x-1)}{(x+2)(x-1)} - \frac{C(x+2)}{(x-1)(x+2)} = \frac{B(x-1) - C(x+2)}{(x+2)(x-1)}$.
Приравнивая полученную дробь к правой части исходного равенства, получаем:
$\frac{B(x-1) - C(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{(x-1)^2 + 3x(x+2)}{A}$.
Из этого следует, что $A = (x+2)(x-1) = x^2 + x - 2$.
Теперь приравняем числители: $B(x-1) - C(x+2) = (x-1)^2 + 3x(x+2)$.
Заметим, что в левой части стоит знак минус, а в правой — плюс. Это можно разрешить, если предположить, что $C$ — отрицательное выражение. Перепишем левую часть как $B(x-1) + (-C)(x+2)$.
Теперь, сопоставляя части, находим: $B = x-1$ и $-C = 3x$, откуда $C = -3x$.
Мы нашли все выражения: $A = x^2+x-2$, $B = x-1$, $C = -3x$.
Упростим полученную дробь. Числитель: $(x-1)^2 + 3x(x+2) = (x^2 - 2x + 1) + (3x^2 + 6x) = 4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2$.
Знаменатель: $A = x^2 + x - 2$.
Итоговая дробь: $\frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2 + x - 2}$.
Ответ: $A = x^2+x-2$, $B = x-1$, $C = -3x$; упрощенная дробь: $\frac{4x^2+4x+1}{x^2+x-2}$.

г) Исходное равенство: $\frac{B}{p-q} - \frac{C}{p^2-q^2} = \frac{(p+q)(p+q) - 2pq}{A}$.
Заметим, что $p^2 - q^2 = (p-q)(p+q)$, поэтому общий знаменатель в левой части — это $p^2-q^2$.
$\frac{B}{p-q} - \frac{C}{p^2-q^2} = \frac{B(p+q)}{(p-q)(p+q)} - \frac{C}{p^2-q^2} = \frac{B(p+q)-C}{p^2-q^2}$.
Сравниваем результат с правой частью равенства: $\frac{B(p+q)-C}{p^2-q^2} = \frac{(p+q)^2 - 2pq}{A}$.
Отсюда $A = p^2-q^2$.
Приравниваем числители: $B(p+q)-C = (p+q)^2 - 2pq$.
Методом сопоставления находим наиболее простые выражения для $B$ и $C$: $B = p+q$ и $C = 2pq$.
Теперь упростим полученную дробь $\frac{(p+q)^2 - 2pq}{p^2-q^2}$.
Упрощаем числитель: $(p+q)^2 - 2pq = (p^2 + 2pq + q^2) - 2pq = p^2 + q^2$.
Итоговая дробь: $\frac{p^2+q^2}{p^2-q^2}$.
Ответ: $A = p^2-q^2$, $B = p+q$, $C = 2pq$; упрощенная дробь: $\frac{p^2+q^2}{p^2-q^2}$.

Упростите выражение (947–950):

947. а) $\left(\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b}\right) : \left(\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{1}{\frac{a^2}{b^2} - 1}\right);$

б) $\left(\frac{x^2y - xy^2}{x - y} + xy\right) \cdot \left(\frac{y}{x} + \frac{x}{y}\right);$

в) $\left(\frac{n}{m - n} + \frac{m}{m + n}\right) \cdot \left(\frac{m^2}{n^2} + \frac{n^2}{m^2} - 2\right);$

г) $\left(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} + 4x\right) \cdot \left(x - \frac{1}{x}\right);$

д) $\left(1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2}\right) \left(1 - \frac{a}{x}\right) \cdot \frac{x^3}{a^3 - x^3};$

е) $\frac{4x - 3}{3 - 2x} - \frac{4 + 5x}{3 + 2x} - \frac{3 + x - 10x^2}{4x^2 - 9}.$

a)

Выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Сначала преобразуем второе слагаемое:

$\frac{1}{\frac{a^2}{b^2}-1} = \frac{1}{\frac{a^2-b^2}{b^2}} = \frac{b^2}{a^2-b^2}$

Теперь сложим дроби во второй скобке:

$\frac{a^2}{a^2-b^2} + \frac{b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$

3. Выполним деление результатов:

$\frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2} : \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2} \cdot \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = 2$

Ответ: $2$

б)

1. Упростим выражение в первой скобке:

$\frac{x^2y - xy^2}{x-y} + xy = \frac{xy(x-y)}{x-y} + xy = xy + xy = 2xy$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2+x^2}{xy}$

3. Выполним умножение:

$(2xy) \cdot \left( \frac{x^2+y^2}{xy} \right) = 2(x^2+y^2)$

Ответ: $2(x^2+y^2)$

в)

1. Упростим выражение в первой скобке:

$\frac{n}{m-n} + \frac{m}{m+n} = \frac{n(m+n) + m(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{mn+n^2+m^2-mn}{m^2-n^2} = \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$\frac{m^2}{n^2} + \frac{n^2}{m^2} - 2 = \frac{m^4+n^4-2m^2n^2}{m^2n^2} = \frac{(m^2-n^2)^2}{m^2n^2}$

3. Выполним умножение:

$\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} \cdot \frac{(m^2-n^2)^2}{m^2n^2} = \frac{(m^2+n^2)(m^2-n^2)}{m^2n^2} = \frac{m^4-n^4}{m^2n^2}$

Ответ: $\frac{m^4-n^4}{m^2n^2}$

г)

1. Упростим выражение в первой скобке:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} + 4x = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} + 4x = \frac{(x^2+2x+1) - (x^2-2x+1)}{x^2-1} + 4x = \frac{4x}{x^2-1} + 4x$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4x + 4x(x^2-1)}{x^2-1} = \frac{4x+4x^3-4x}{x^2-1} = \frac{4x^3}{x^2-1}$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$x - \frac{1}{x} = \frac{x^2-1}{x}$

3. Выполним умножение:

$\frac{4x^3}{x^2-1} \cdot \frac{x^2-1}{x} = 4x^2$

Ответ: $4x^2$

д)

1. Рассмотрим произведение первых двух скобок. Это формула разности кубов $1-y^3=(1-y)(1+y+y^2)$, где $y=\frac{a}{x}$:

$\left( 1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2} \right) \left( 1 - \frac{a}{x} \right) = 1^3 - \left(\frac{a}{x}\right)^3 = 1 - \frac{a^3}{x^3} = \frac{x^3-a^3}{x^3}$

2. Умножим полученный результат на третью дробь:

$\frac{x^3-a^3}{x^3} \cdot \frac{x^3}{a^3-x^3} = \frac{x^3-a^3}{x^3} \cdot \frac{x^3}{-(x^3-a^3)} = -1$

Ответ: $-1$

е)

1. Приведем все дроби к общему знаменателю $4x^2-9 = (2x-3)(2x+3)$. Заметим, что $3-2x = -(2x-3)$.

$\frac{4x-3}{3-2x} - \frac{4+5x}{3+2x} - \frac{3+x-10x^2}{4x^2-9} = -\frac{4x-3}{2x-3} - \frac{4+5x}{2x+3} - \frac{3+x-10x^2}{(2x-3)(2x+3)}$

2. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{-(4x-3)(2x+3) - (4+5x)(2x-3) - (3+x-10x^2)}{(2x-3)(2x+3)}$

3. Раскроем скобки в числителе:

$-(8x^2+12x-6x-9) - (8x-12+10x^2-15x) - 3-x+10x^2$

$= -(8x^2+6x-9) - (10x^2-7x-12) - 3-x+10x^2$

$= -8x^2-6x+9 - 10x^2+7x+12 - 3-x+10x^2$

4. Сгруппируем и упростим подобные слагаемые в числителе:

$(-8x^2-10x^2+10x^2) + (-6x+7x-x) + (9+12-3) = -8x^2 + 0x + 18 = -8x^2+18$

5. Запишем и упростим итоговую дробь:

$\frac{-8x^2+18}{4x^2-9} = \frac{-2(4x^2-9)}{4x^2-9} = -2$

Ответ: $-2$

948. a) $\frac{x^5}{x^2 - 6x + 9} \cdot \frac{x^2 - 9}{x^3 + 3x^2} - \frac{3x^5 + 81x^2}{x^2} : (x^2 - 9);$

б) $\frac{a^2}{a^2 + 4a + 4} \cdot \frac{a^2 - 4}{a^3 - 2a^2} + \frac{a^5 - 8a^2}{a} : (a^2 - 4);$

в) $\left(\frac{m + 2}{8 - 8m + 2m^2} + \frac{1}{4 - 2m} - \frac{2}{m^2 - 4m + 4}\right) \cdot 3m - 3m;$

г) $\left(\frac{2}{a^2 - 4a + 4} - \frac{1}{4 - 2a} - \frac{a + 2}{2(2 - a)^2}\right) \cdot 5a - 5a;$

д) $\left(\frac{1}{2 - 4c} + \frac{1 + c}{8c^3 - 1} : \frac{1 + 2c}{4c^2 + 2c + 1}\right) \cdot \frac{4c - 2}{2c + 1} - \frac{1}{(1 + 2c)^2};$

е) $\left(\frac{1}{2 - 4b} + \frac{b + 1}{8b^3 - 1} : \frac{4b^2 + 2b + 1}{1 + 2b}\right) : \frac{2b + 1}{4b - 2} - \frac{1}{(2b + 1)^2};$

а) Выполним действия по порядку: сначала умножение и деление, затем вычитание.

1. Выполним умножение, предварительно разложив на множители числители и знаменатели дробей:

$ \frac{x^5}{x^2 - 6x + 9} \cdot \frac{x^2 - 9}{x^3 + 3x^2} = \frac{x^5}{(x - 3)^2} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2(x + 3)} $

Сокращаем общие множители $x^2$, $(x-3)$ и $(x+3)$:

$ \frac{x^{5-2}}{x - 3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{x^3}{x-3} $

2. Выполним деление. Деление на выражение $(x^2 - 9)$ равносильно умножению на $ \frac{1}{x^2-9} $.

$ \frac{3x^5 + 81x^2}{x^2} : (x^2 - 9) = \frac{3x^2(x^3 + 27)}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2 - 9} $

Сокращаем $x^2$ и раскладываем на множители $(x^3+27)$ (сумма кубов) и $(x^2-9)$ (разность квадратов):

$ 3(x^3 + 27) \cdot \frac{1}{x^2 - 9} = \frac{3(x+3)(x^2 - 3x + 9)}{(x-3)(x+3)} $

Сокращаем общий множитель $(x+3)$:

$ \frac{3(x^2 - 3x + 9)}{x - 3} $

3. Выполним вычитание результатов первого и второго действий:

$ \frac{x^3}{x-3} - \frac{3(x^2 - 3x + 9)}{x-3} = \frac{x^3 - 3(x^2 - 3x + 9)}{x - 3} = \frac{x^3 - 3x^2 + 9x - 27}{x - 3} $

Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители:

$ \frac{(x^3 - 3x^2) + (9x - 27)}{x - 3} = \frac{x^2(x-3) + 9(x-3)}{x - 3} = \frac{(x^2+9)(x-3)}{x-3} $

Сокращаем $(x-3)$:

$ x^2 + 9 $

Ответ: $x^2 + 9$.

б) Выполним действия по порядку: сначала умножение и деление слева направо, затем сложение.

1. Упростим первое произведение:

$ \frac{a^2}{a^2 + 4a + 4} \cdot \frac{a^2 - 4}{a^3 - 2a^2} = \frac{a^2}{(a + 2)^2} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{a^2(a-2)} $

Сокращаем общие множители $a^2$, $(a-2)$ и $(a+2)$:

$ \frac{1}{a+2} $

2. Упростим второе выражение (деление):

$ \frac{a^5 - 8a^2}{a} : (a^2 - 4) = \frac{a(a^4 - 8a)}{a} : (a^2-4) = (a^4-8a) : (a^2-4) $

$ \frac{a^4 - 8a}{a^2 - 4} = \frac{a(a^3 - 8)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a(a-2)(a^2+2a+4)}{(a-2)(a+2)} $

Сокращаем $(a-2)$:

$ \frac{a(a^2+2a+4)}{a+2} = \frac{a^3+2a^2+4a}{a+2} $

3. Сложим результаты:

$ \frac{1}{a+2} + \frac{a^3+2a^2+4a}{a+2} = \frac{1+a^3+2a^2+4a}{a+2} $

Выполним деление многочлена в числителе на знаменатель столбиком или с помощью выделения целой части: $a^3+2a^2+4a+1 = a^2(a+2)+4a+1 = a^2(a+2) + 4(a+2) - 8 + 1 = (a^2+4)(a+2) - 7$.

$ \frac{(a^2+4)(a+2) - 7}{a+2} = a^2+4 - \frac{7}{a+2} $

Ответ: $a^2+4 - \frac{7}{a+2}$.

в) Упростим выражение в скобках, а затем выполним умножение.

1. Преобразуем знаменатели дробей в скобках:

$ 8 - 8m + 2m^2 = 2(4 - 4m + m^2) = 2(m-2)^2 $

$ 4 - 2m = 2(2-m) = -2(m-2) $

$ m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2 $

2. Подставим преобразованные знаменатели в выражение:

$ \left( \frac{m+2}{2(m-2)^2} + \frac{1}{-2(m-2)} - \frac{2}{(m-2)^2} \right) = \left( \frac{m+2}{2(m-2)^2} - \frac{1}{2(m-2)} - \frac{2}{(m-2)^2} \right) $

Приведем дроби к общему знаменателю $2(m-2)^2$:

$ \frac{m+2}{2(m-2)^2} - \frac{1 \cdot (m-2)}{2(m-2)^2} - \frac{2 \cdot 2}{2(m-2)^2} = \frac{(m+2) - (m-2) - 4}{2(m-2)^2} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{m+2-m+2-4}{2(m-2)^2} = \frac{0}{2(m-2)^2} = 0 $ (при $m \neq 2$).

3. Умножим полученный результат на $(3m-3m)$:

$ 0 \cdot (3m - 3m) = 0 \cdot 0 = 0 $

Ответ: $0$.

г) Заметим, что множитель $(5a-5a)$ равен $0$. Если выражение в скобках определено, то все произведение равно нулю. Проверим выражение в скобках.

1. Упростим выражение в скобках. Преобразуем знаменатели:

$ a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2 $

$ 4 - 2a = 2(2-a) = -2(a-2) $

$ 2(2-a)^2 = 2(a-2)^2 $

2. Подставим преобразованные знаменатели:

$ \frac{2}{(a-2)^2} - \frac{1}{-2(a-2)} - \frac{a+2}{2(a-2)^2} = \frac{2}{(a-2)^2} + \frac{1}{2(a-2)} - \frac{a+2}{2(a-2)^2} $

Приведем к общему знаменателю $2(a-2)^2$:

$ \frac{2 \cdot 2}{2(a-2)^2} + \frac{1 \cdot (a-2)}{2(a-2)^2} - \frac{a+2}{2(a-2)^2} = \frac{4 + (a-2) - (a+2)}{2(a-2)^2} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{4+a-2-a-2}{2(a-2)^2} = \frac{0}{2(a-2)^2} = 0 $ (при $a \neq 2$).

3. Умножим полученный результат на $(5a-5a)$:

$ 0 \cdot (5a - 5a) = 0 \cdot 0 = 0 $

Ответ: $0$.

д) Выполним действия в скобках, затем умножение и вычитание.

1. Сначала выполним деление в скобках:

$ \frac{1+c}{8c^3-1} : \frac{1+2c}{4c^2+2c+1} = \frac{1+c}{(2c-1)(4c^2+2c+1)} \cdot \frac{4c^2+2c+1}{1+2c} = \frac{1+c}{(2c-1)(2c+1)} $

2. Теперь выполним сложение в скобках:

$ \frac{1}{2-4c} + \frac{1+c}{(2c-1)(2c+1)} = \frac{1}{-2(2c-1)} + \frac{1+c}{(2c-1)(2c+1)} $

Приводим к общему знаменателю $2(2c-1)(2c+1)$:

$ \frac{-(2c+1)}{2(2c-1)(2c+1)} + \frac{2(1+c)}{2(2c-1)(2c+1)} = \frac{-2c-1+2+2c}{2(2c-1)(2c+1)} = \frac{1}{2(2c-1)(2c+1)} $

3. Умножим результат на дробь $ \frac{4c-2}{2c+1} $:

$ \frac{1}{2(2c-1)(2c+1)} \cdot \frac{2(2c-1)}{2c+1} = \frac{1}{(2c+1)^2} $

4. Вычтем последнюю дробь:

$ \frac{1}{(2c+1)^2} - \frac{1}{(1+2c)^2} = \frac{1}{(2c+1)^2} - \frac{1}{(2c+1)^2} = 0 $

Ответ: $0$.

е) Выполним действия в скобках, затем деление и вычитание.

1. Сначала выполним умножение в скобках:

$ \frac{b+1}{8b^3-1} \cdot \frac{4b^2+2b+1}{1+2b} = \frac{b+1}{(2b-1)(4b^2+2b+1)} \cdot \frac{4b^2+2b+1}{1+2b} = \frac{b+1}{(2b-1)(2b+1)} $

2. Теперь выполним сложение в скобках:

$ \frac{1}{2-4b} + \frac{b+1}{(2b-1)(2b+1)} = \frac{1}{-2(2b-1)} + \frac{b+1}{(2b-1)(2b+1)} $

Приводим к общему знаменателю $2(2b-1)(2b+1)$:

$ \frac{-(2b+1)}{2(2b-1)(2b+1)} + \frac{2(b+1)}{2(2b-1)(2b+1)} = \frac{-2b-1+2b+2}{2(2b-1)(2b+1)} = \frac{1}{2(2b-1)(2b+1)} $

3. Разделим результат на дробь $ \frac{2b+1}{4b-2} $:

$ \frac{1}{2(2b-1)(2b+1)} : \frac{2b+1}{4b-2} = \frac{1}{2(2b-1)(2b+1)} \cdot \frac{2(2b-1)}{2b+1} = \frac{1}{(2b+1)^2} $

4. Вычтем последнюю дробь:

$ \frac{1}{(2b+1)^2} - \frac{1}{(2b+1)^2} = 0 $

Ответ: $0$.