Номер 946, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 946, страница 246.

Условие.

946. Вместо A, B и C подберите целые выражения так, чтобы равенство было верным, и упростите полученную дробь:

а) $ \frac{a - 1}{a + 1} + \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{(a - 1)(a - 1) + (a + 1)(a + 1)}{A}; $

б) $ \frac{m}{3m - 1} + \frac{2m}{5 - 2m} = \frac{m(5 - 2m) + 2m(3m - 1)}{A}; $

в) $ \frac{B}{x + 2} - \frac{C}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x - 1) + 3x(x + 2)}{A}; $

г) $ \frac{B}{p - q} - \frac{C}{p^2 - q^2} = \frac{(p + q)(p + q) - 2pq}{A}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Исходное равенство: $\frac{a-1}{a+1} + \frac{a+1}{a-1} = \frac{(a-1)(a-1) + (a+1)(a+1)}{A}$.
Чтобы найти выражение $A$, приведем дроби в левой части равенства к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{a-1}{a+1}$ и $\frac{a+1}{a-1}$ равен $(a+1)(a-1)$.
$\frac{a-1}{a+1} + \frac{a+1}{a-1} = \frac{(a-1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} + \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a-1)^2 + (a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$.
Сравнивая полученное выражение с правой частью исходного равенства, видим, что их числители совпадают. Следовательно, должны совпадать и знаменатели. Таким образом, $A = (a+1)(a-1) = a^2 - 1$.
Теперь упростим полученную дробь $\frac{(a-1)^2 + (a+1)^2}{a^2-1}$.
Раскроем скобки в числителе: $(a-1)^2 + (a+1)^2 = (a^2 - 2a + 1) + (a^2 + 2a + 1) = 2a^2 + 2 = 2(a^2 + 1)$.
Итоговая дробь: $\frac{2(a^2+1)}{a^2-1}$.
Ответ: $A = a^2 - 1$; упрощенная дробь: $\frac{2(a^2+1)}{a^2-1}$.

б) Исходное равенство: $\frac{m}{3m-1} + \frac{2m}{5-2m} = \frac{m(5-2m) + 2m(3m-1)}{A}$.
Аналогично предыдущему пункту, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(3m-1)(5-2m)$.
$\frac{m}{3m-1} + \frac{2m}{5-2m} = \frac{m(5-2m)}{(3m-1)(5-2m)} + \frac{2m(3m-1)}{(5-2m)(3m-1)} = \frac{m(5-2m) + 2m(3m-1)}{(3m-1)(5-2m)}$.
Сравнивая результат с правой частью исходного равенства, заключаем, что $A = (3m-1)(5-2m)$.
Раскроем скобки: $A = 15m - 6m^2 - 5 + 2m = -6m^2 + 17m - 5$.
Теперь упростим полученную дробь. Преобразуем числитель:
$m(5-2m) + 2m(3m-1) = 5m - 2m^2 + 6m^2 - 2m = 4m^2 + 3m$.
Итоговая дробь: $\frac{4m^2 + 3m}{-6m^2 + 17m - 5}$.
Ответ: $A = (3m-1)(5-2m)$ (или $A = -6m^2 + 17m - 5$); упрощенная дробь: $\frac{4m^2 + 3m}{-6m^2 + 17m - 5}$.

в) Исходное равенство: $\frac{B}{x+2} - \frac{C}{x-1} = \frac{(x-1)(x-1) + 3x(x+2)}{A}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $(x+2)(x-1)$:
$\frac{B}{x+2} - \frac{C}{x-1} = \frac{B(x-1)}{(x+2)(x-1)} - \frac{C(x+2)}{(x-1)(x+2)} = \frac{B(x-1) - C(x+2)}{(x+2)(x-1)}$.
Приравнивая полученную дробь к правой части исходного равенства, получаем:
$\frac{B(x-1) - C(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{(x-1)^2 + 3x(x+2)}{A}$.
Из этого следует, что $A = (x+2)(x-1) = x^2 + x - 2$.
Теперь приравняем числители: $B(x-1) - C(x+2) = (x-1)^2 + 3x(x+2)$.
Заметим, что в левой части стоит знак минус, а в правой — плюс. Это можно разрешить, если предположить, что $C$ — отрицательное выражение. Перепишем левую часть как $B(x-1) + (-C)(x+2)$.
Теперь, сопоставляя части, находим: $B = x-1$ и $-C = 3x$, откуда $C = -3x$.
Мы нашли все выражения: $A = x^2+x-2$, $B = x-1$, $C = -3x$.
Упростим полученную дробь. Числитель: $(x-1)^2 + 3x(x+2) = (x^2 - 2x + 1) + (3x^2 + 6x) = 4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2$.
Знаменатель: $A = x^2 + x - 2$.
Итоговая дробь: $\frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2 + x - 2}$.
Ответ: $A = x^2+x-2$, $B = x-1$, $C = -3x$; упрощенная дробь: $\frac{4x^2+4x+1}{x^2+x-2}$.

г) Исходное равенство: $\frac{B}{p-q} - \frac{C}{p^2-q^2} = \frac{(p+q)(p+q) - 2pq}{A}$.
Заметим, что $p^2 - q^2 = (p-q)(p+q)$, поэтому общий знаменатель в левой части — это $p^2-q^2$.
$\frac{B}{p-q} - \frac{C}{p^2-q^2} = \frac{B(p+q)}{(p-q)(p+q)} - \frac{C}{p^2-q^2} = \frac{B(p+q)-C}{p^2-q^2}$.
Сравниваем результат с правой частью равенства: $\frac{B(p+q)-C}{p^2-q^2} = \frac{(p+q)^2 - 2pq}{A}$.
Отсюда $A = p^2-q^2$.
Приравниваем числители: $B(p+q)-C = (p+q)^2 - 2pq$.
Методом сопоставления находим наиболее простые выражения для $B$ и $C$: $B = p+q$ и $C = 2pq$.
Теперь упростим полученную дробь $\frac{(p+q)^2 - 2pq}{p^2-q^2}$.
Упрощаем числитель: $(p+q)^2 - 2pq = (p^2 + 2pq + q^2) - 2pq = p^2 + q^2$.
Итоговая дробь: $\frac{p^2+q^2}{p^2-q^2}$.
Ответ: $A = p^2-q^2$, $B = p+q$, $C = 2pq$; упрощенная дробь: $\frac{p^2+q^2}{p^2-q^2}$.