Номер 953, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

953. Представьте в виде разности дробей:

a) $ \frac{1}{1 \cdot 2} $;

б) $ \frac{1}{3 \cdot 4} $;

в) $ \frac{1}{x(x+1)} $;

г) $ \frac{1}{(x+2)(x+3)} $.

Основная идея: Чтобы представить дробь с произведением в знаменателе в виде разности, нужно заметить, что разность множителей знаменателя равна числителю. Мы заменяем единицу в числителе этой разностью и делим почленно.

а) $ \frac{1}{1 \cdot 2} $

Заметим, что $2 - 1 = 1$. Заменим единицу в числителе: $ \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{2 - 1}{1 \cdot 2} = \frac{2}{1 \cdot 2} - \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{1} - \frac{1}{2} $

б) $ \frac{1}{3 \cdot 4} $

Заметим, что $4 - 3 = 1$. Заменим единицу в числителе: $ \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{4 - 3}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{3}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $

в) $ \frac{1}{x(x+1)} $

Заметим, что $(x + 1) - x = 1$. Представим числитель как разность множителей знаменателя: $ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{(x+1) - x}{x(x+1)} = \frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $

Ответ: $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $

г) $ \frac{1}{(x+2)(x+3)} $

Заметим, что разность множителей $(x + 3) - (x + 2) = x + 3 - x - 2 = 1$. $ \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{(x+3) - (x+2)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x+3}{(x+2)(x+3)} - \frac{x+2}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} $

Ответ: $ \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} $