Номер 959, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 959, страница 249.

Условие.

Доказываем (959–960).

959. В «Арифметике» Диофанта (III в.) содержится много тождеств. Докажите два из них, данные в современной записи:

а) $ \frac{144}{x^4 - 60x^2 + 900} \cdot 30 + \frac{60}{x^2 - 30} = \frac{60x^2 + 2520}{x^4 - 60x^2 + 900} $

б) $ \frac{96}{x^4 - 12x^2 + 36} - \frac{12}{6 - x^2} = \frac{12x^2 + 24}{x^4 - 12x^2 + 36} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

a) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{144}{x^4 - 60x^2 + 900} \cdot 30 + \frac{60}{x^2 - 30} $.

Сначала заметим, что знаменатель $x^4 - 60x^2 + 900$ является полным квадратом разности. Используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$x^4 - 60x^2 + 900 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 30 + 30^2 = (x^2 - 30)^2$.

Теперь подставим это выражение в левую часть и выполним умножение:

$ \frac{144 \cdot 30}{(x^2 - 30)^2} + \frac{60}{x^2 - 30} = \frac{4320}{(x^2 - 30)^2} + \frac{60}{x^2 - 30} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x^2 - 30)^2$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x^2 - 30)$:

$ \frac{4320}{(x^2 - 30)^2} + \frac{60 \cdot (x^2 - 30)}{(x^2 - 30) \cdot (x^2 - 30)} = \frac{4320 + 60(x^2 - 30)}{(x^2 - 30)^2} $.

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ \frac{4320 + 60x^2 - 1800}{(x^2 - 30)^2} = \frac{60x^2 + 2520}{(x^2 - 30)^2} $.

Раскрыв квадрат в знаменателе, мы получаем выражение, идентичное правой части исходного тождества:

$ \frac{60x^2 + 2520}{x^4 - 60x^2 + 900} $.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{96}{x^4 - 12x^2 + 36} - \frac{12}{6 - x^2} $.

Знаменатель первой дроби $x^4 - 12x^2 + 36$ также является полным квадратом:

$x^4 - 12x^2 + 36 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 6 + 6^2 = (x^2 - 6)^2$.

Знаменатель второй дроби преобразуем, вынеся знак минус за скобки: $6 - x^2 = -(x^2 - 6)$.

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$ \frac{96}{(x^2 - 6)^2} - \frac{12}{-(x^2 - 6)} = \frac{96}{(x^2 - 6)^2} + \frac{12}{x^2 - 6} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x^2 - 6)^2$, домножив вторую дробь на $(x^2 - 6)$:

$ \frac{96}{(x^2 - 6)^2} + \frac{12 \cdot (x^2 - 6)}{(x^2 - 6) \cdot (x^2 - 6)} = \frac{96 + 12(x^2 - 6)}{(x^2 - 6)^2} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{96 + 12x^2 - 72}{(x^2 - 6)^2} = \frac{12x^2 + 24}{(x^2 - 6)^2} $.

Заменив знаменатель на исходное выражение $(x^2 - 6)^2 = x^4 - 12x^2 + 36$, мы получаем правую часть тождества:

$ \frac{12x^2 + 24}{x^4 - 12x^2 + 36} $.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.