Номер 960, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 960, страница 249.

Условие.

960. Докажите тождество Л. Эйлера:

$a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для доказательства данного тождества преобразуем его, перенеся слагаемое $\left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3$ из левой части в правую, изменив его знак.

Исходное тождество: $ a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 $

После преобразования получим: $ a^3 + b^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 - \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 $

Теперь докажем это равенство, упростив его правую часть (ПЧ). Объединим члены в правой части, используя общий знаменатель $(a^3 - b^3)^3$:

$ ПЧ = \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3 - b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} $

Для упрощения вычислений в числителе введем замену: пусть $x = a^3$ и $y = b^3$. Тогда выражение в числителе (обозначим его $N$) примет вид:

$ N = x(x + 2y)^3 - y(2x + y)^3 $

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(c+d)^3 = c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3$, и приведем подобные слагаемые:

$ N = x(x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3) - y(8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3) $
$ N = (x^4 + 6x^3y + 12x^2y^2 + 8xy^3) - (8x^3y + 12x^2y^2 + 6xy^3 + y^4) $
$ N = x^4 + 6x^3y - 8x^3y + 12x^2y^2 - 12x^2y^2 + 8xy^3 - 6xy^3 - y^4 $
$ N = x^4 - 2x^3y + 2xy^3 - y^4 $

Сгруппируем слагаемые и разложим полученное выражение на множители:

$ N = (x^4 - y^4) - (2x^3y - 2xy^3) $
$ N = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) - 2xy(x^2 - y^2) $
$ N = (x^2 - y^2)(x^2 - 2xy + y^2) $
$ N = (x - y)(x + y)(x - y)^2 = (x + y)(x - y)^3 $

Теперь вернемся к исходным переменным, подставив $x = a^3$ и $y = b^3$:

$ N = (a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3 $

Подставим это выражение обратно в правую часть равенства:

$ ПЧ = \frac{(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} $

При условии, что $ a^3 - b^3 \neq 0 $ (что необходимо для существования исходных дробей), мы можем сократить дробь на $ (a^3 - b^3)^3 $:

$ ПЧ = a^3 + b^3 $

Мы получили, что правая часть преобразованного тождества равна его левой части ($a^3 + b^3$). Следовательно, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.