Номер 957, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 957, страница 248.

Условие.

Доказываем. Докажите тождество (957—958):

957. a)

$\left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right) = x + y;$

б) $\left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2\right) : \left(1 + \frac{y}{x}\right) = \frac{x}{x - y};$

в) $\left(m + 1 - \frac{1}{1 - m}\right) : \left(m - \frac{m^2}{m - 1}\right) = -m;$

г) $\left(a - \frac{4ab}{a + b} + b\right) : \left(\frac{a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{2ab}{a^2 - b^2}\right) = a - b.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения. Сначала выполним действия в каждой из скобок, приводя дроби к общему знаменателю.
1) В первой скобке общий знаменатель $xy^2$:
$\frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 \cdot x}{y^2 \cdot x} + \frac{y \cdot y^2}{x \cdot y^2} = \frac{x^3 + y^3}{xy^2}$.
Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$: $\frac{x^3 + y^3}{xy^2} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy^2}$.
2) Во второй скобке общий знаменатель также $xy^2$:
$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{y^2 \cdot x} - \frac{1 \cdot xy}{y \cdot xy} + \frac{1 \cdot y^2}{x \cdot y^2} = \frac{x^2-xy+y^2}{xy^2}$.
3) Теперь выполним деление полученных выражений:
$(\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy^2}) : (\frac{x^2-xy+y^2}{xy^2}) = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy^2} \cdot \frac{xy^2}{x^2-xy+y^2}$.
Сократим одинаковые множители $(x^2-xy+y^2)$ и $xy^2$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $x+y$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $x+y$.

б) Преобразуем левую часть выражения по действиям.
1) Выполним вычитание в первой скобке. Общий знаменатель $xy$:
$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy}$.
2) Упростим выражение во второй скобке. Общий знаменатель $xy$:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 = \frac{x^2+y^2-2xy}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy}$.
3) Упростим выражение в третьей скобке. Общий знаменатель $x$:
$1 + \frac{y}{x} = \frac{x+y}{x}$.
4) Выполним деление последовательно. Сначала результат первого действия разделим на результат второго:
$\frac{(x-y)(x+y)}{xy} : \frac{(x-y)^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{xy}{(x-y)^2} = \frac{x+y}{x-y}$.
5) Теперь полученный результат разделим на результат третьего действия:
$\frac{x+y}{x-y} : \frac{x+y}{x} = \frac{x+y}{x-y} \cdot \frac{x}{x+y} = \frac{x}{x-y}$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $\frac{x}{x-y}$.

в) Преобразуем левую часть тождества.
1) Упростим выражение в первой скобке. Заметим, что $1-m = -(m-1)$, поэтому $-\frac{1}{1-m} = \frac{1}{m-1}$.
$m + 1 - \frac{1}{1-m} = m + 1 + \frac{1}{m-1}$.
Приведем к общему знаменателю $m-1$:
$\frac{(m+1)(m-1)}{m-1} + \frac{1}{m-1} = \frac{m^2-1+1}{m-1} = \frac{m^2}{m-1}$.
2) Упростим выражение во второй скобке. Общий знаменатель $m-1$:
$m - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m(m-1)}{m-1} - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m^2-m-m^2}{m-1} = \frac{-m}{m-1}$.
3) Выполним деление результатов:
$(\frac{m^2}{m-1}) : (\frac{-m}{m-1}) = \frac{m^2}{m-1} \cdot \frac{m-1}{-m} = \frac{m^2}{-m} = -m$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $-m$.

г) Преобразуем левую часть тождества по действиям.
1) Упростим выражение в первой скобке. Сгруппируем $a$ и $b$ и приведем к общему знаменателю $a+b$:
$(a+b) - \frac{4ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{4ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{a+b}$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{a+b} = \frac{a^2-2ab+b^2}{a+b} = \frac{(a-b)^2}{a+b}$.
2) Упростим выражение во второй скобке. Заметим, что $b-a = -(a-b)$ и $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a} - \frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b} - \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}$.
Общий знаменатель $(a-b)(a+b)$. Приводим дроби к нему:
$\frac{a(a-b) + b(a+b) - 2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2-2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}$.
Сократив на $(a-b)$, получим $\frac{a-b}{a+b}$.
3) Выполним деление результатов:
$(\frac{(a-b)^2}{a+b}) : (\frac{a-b}{a+b}) = \frac{(a-b)^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{a-b} = a-b$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $a-b$.