Номер 950, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 950, страница 247.

Условие.

950. а) $\frac{a + \frac{1}{b}}{a - \frac{1}{b}}$;

б) $\frac{m - \frac{1}{n}}{n + \frac{1}{m}}$;

В) $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}$;

Г) $\frac{\frac{a}{b} - \frac{m}{n}}{\frac{a}{b} + \frac{m}{n}}$;

Д) $\frac{\frac{a+b}{a-b}}{\frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}}$;

е) $\frac{\frac{1}{1-m} + \frac{1}{1+m}}{\frac{1}{1-m} - \frac{1}{1+m}}$;

Ж) $\frac{\frac{c}{c-1} - \frac{c+1}{c}}{\frac{c}{c+1} - \frac{c-1}{c}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

$\frac{a + \frac{1}{b}}{a - \frac{1}{b}}$

Чтобы упростить это выражение, сначала преобразуем числитель и знаменатель, приведя их к общему знаменателю.

В числителе: $a + \frac{1}{b} = \frac{ab}{b} + \frac{1}{b} = \frac{ab + 1}{b}$.

В знаменателе: $a - \frac{1}{b} = \frac{ab}{b} - \frac{1}{b} = \frac{ab - 1}{b}$.

Теперь исходная дробь имеет вид:

$\frac{\frac{ab + 1}{b}}{\frac{ab - 1}{b}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{ab + 1}{b} \cdot \frac{b}{ab - 1} = \frac{(ab + 1)b}{b(ab - 1)}$

Сокращаем общий множитель $b$ в числителе и знаменателе:

$\frac{ab + 1}{ab - 1}$

Ответ: $\frac{ab + 1}{ab - 1}$

б)

$\frac{m - \frac{1}{n}}{n + \frac{1}{m}}$

Преобразуем числитель, приведя к общему знаменателю $n$: $m - \frac{1}{n} = \frac{mn}{n} - \frac{1}{n} = \frac{mn - 1}{n}$.

Преобразуем знаменатель, приведя к общему знаменателю $m$: $n + \frac{1}{m} = \frac{mn}{m} + \frac{1}{m} = \frac{mn + 1}{m}$.

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{mn - 1}{n}}{\frac{mn + 1}{m}} = \frac{mn - 1}{n} \cdot \frac{m}{mn + 1} = \frac{m(mn - 1)}{n(mn + 1)}$

Ответ: $\frac{m(mn - 1)}{n(mn + 1)}$

в)

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}$

Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $ab$.

Числитель: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{b + a}{ab}$.

Знаменатель: $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b - a}{ab}$.

Выполним деление:

$\frac{\frac{b + a}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} = \frac{b + a}{ab} \cdot \frac{ab}{b - a} = \frac{a + b}{b - a}$

Ответ: $\frac{a + b}{b - a}$

г)

$\frac{\frac{a}{b} - \frac{m}{n}}{\frac{a}{b} + \frac{m}{n}}$

Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $bn$.

Числитель: $\frac{a}{b} - \frac{m}{n} = \frac{an}{bn} - \frac{bm}{bn} = \frac{an - bm}{bn}$.

Знаменатель: $\frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{an}{bn} + \frac{bm}{bn} = \frac{an + bm}{bn}$.

Разделим полученные дроби:

$\frac{\frac{an - bm}{bn}}{\frac{an + bm}{bn}} = \frac{an - bm}{bn} \cdot \frac{bn}{an + bm} = \frac{an - bm}{an + bm}$

Ответ: $\frac{an - bm}{an + bm}$

д)

$\frac{\frac{a+b}{a-b}}{\frac{(a+b)^2}{a^2 - b^2}}$

Упростим знаменатель основной дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(a+b)^2}{a^2 - b^2} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{a-b}$

Подставим упрощенное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{a+b}{a-b}}{\frac{a+b}{a-b}}$

Деление выражения на само себя дает в результате 1 (при условии, что делитель не равен нулю).

$\frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a+b} = 1$

Ответ: $1$

е)

$\frac{\frac{1}{1-m} + \frac{1}{1+m}}{\frac{1}{1-m} - \frac{1}{1+m}}$

Упростим числитель и знаменатель. Общий знаменатель для них — $(1-m)(1+m) = 1 - m^2$.

Числитель: $\frac{1}{1-m} + \frac{1}{1+m} = \frac{1(1+m) + 1(1-m)}{(1-m)(1+m)} = \frac{1+m + 1-m}{1-m^2} = \frac{2}{1-m^2}$.

Знаменатель: $\frac{1}{1-m} - \frac{1}{1+m} = \frac{1(1+m) - 1(1-m)}{(1-m)(1+m)} = \frac{1+m - 1+m}{1-m^2} = \frac{2m}{1-m^2}$.

Выполним деление:

$\frac{\frac{2}{1-m^2}}{\frac{2m}{1-m^2}} = \frac{2}{1-m^2} \cdot \frac{1-m^2}{2m} = \frac{2}{2m} = \frac{1}{m}$

Ответ: $\frac{1}{m}$

ж)

$\frac{\frac{c}{c-1} - \frac{c+1}{c}}{\frac{c}{c+1} - \frac{c-1}{c}}$

Сначала упростим числитель. Общий знаменатель — $c(c-1)$.

$\frac{c}{c-1} - \frac{c+1}{c} = \frac{c \cdot c - (c+1)(c-1)}{c(c-1)} = \frac{c^2 - (c^2-1)}{c(c-1)} = \frac{c^2 - c^2 + 1}{c(c-1)} = \frac{1}{c(c-1)}$.

Теперь упростим знаменатель. Общий знаменатель — $c(c+1)$.

$\frac{c}{c+1} -