Страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

949. a) $ \frac{x}{x-2y} + \frac{y}{x+2y} + \frac{x^2+3xy-2y^2}{4y^2-x^2} $;

б) $ \frac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^5-1} - \frac{x^2-x+1}{x^3+1} $.

а) $\frac{x}{x - 2y} + \frac{y}{x + 2y} + \frac{x^2 + 3xy - 2y^2}{4y^2 - x^2}$

Сначала преобразуем знаменатель третьей дроби. Это разность квадратов:

$4y^2 - x^2 = (2y)^2 - x^2 = (2y - x)(2y + x)$

Заметим, что $(2y - x) = -(x - 2y)$. Тогда знаменатель можно записать как:

$(2y - x)(2y + x) = -(x - 2y)(x + 2y)$

Теперь мы можем переписать исходное выражение, вынеся минус из знаменателя третьей дроби перед дробью:

$\frac{x}{x - 2y} + \frac{y}{x + 2y} - \frac{x^2 + 3xy - 2y^2}{(x - 2y)(x + 2y)}$

Общим знаменателем является $(x - 2y)(x + 2y) = x^2 - 4y^2$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$\frac{x(x + 2y)}{(x - 2y)(x + 2y)} + \frac{y(x - 2y)}{(x - 2y)(x + 2y)} - \frac{x^2 + 3xy - 2y^2}{(x - 2y)(x + 2y)}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{x(x + 2y) + y(x - 2y) - (x^2 + 3xy - 2y^2)}{(x - 2y)(x + 2y)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$x^2 + 2xy + xy - 2y^2 - x^2 - 3xy + 2y^2$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (2xy + xy - 3xy) + (-2y^2 + 2y^2) = 0 + 0 + 0 = 0$

Числитель равен нулю. Таким образом, всё выражение равно нулю при условии, что знаменатель не равен нулю ($x \neq \pm 2y$).

$\frac{0}{x^2 - 4y^2} = 0$

Ответ: $0$

б) $\frac{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{x^5 - 1} - \frac{x^2 - x + 1}{x^3 + 1}$

Разложим на множители знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения.

Знаменатель первой дроби, разность пятых степеней:

$x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

Знаменатель второй дроби, сумма кубов:

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Подставим разложенные знаменатели обратно в выражение:

$\frac{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)} - \frac{x^2 - x + 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$

Сократим дроби. В первой дроби сокращается многочлен $(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$, во второй — $(x^2 - x + 1)$. Это возможно при условии, что $x^5 - 1 \neq 0$ и $x^3 + 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$

Теперь приведем полученные дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$:

$\frac{1 \cdot (x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{1 \cdot (x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}$

Выполним вычитание:

$\frac{(x + 1) - (x - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x + 1 - x + 1}{x^2 - 1} = \frac{2}{x^2 - 1}$

Ответ: $\frac{2}{x^2 - 1}$

950. а) $\frac{a + \frac{1}{b}}{a - \frac{1}{b}}$;

б) $\frac{m - \frac{1}{n}}{n + \frac{1}{m}}$;

В) $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}$;

Г) $\frac{\frac{a}{b} - \frac{m}{n}}{\frac{a}{b} + \frac{m}{n}}$;

Д) $\frac{\frac{a+b}{a-b}}{\frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}}$;

е) $\frac{\frac{1}{1-m} + \frac{1}{1+m}}{\frac{1}{1-m} - \frac{1}{1+m}}$;

Ж) $\frac{\frac{c}{c-1} - \frac{c+1}{c}}{\frac{c}{c+1} - \frac{c-1}{c}}$.

а)

$\frac{a + \frac{1}{b}}{a - \frac{1}{b}}$

Чтобы упростить это выражение, сначала преобразуем числитель и знаменатель, приведя их к общему знаменателю.

В числителе: $a + \frac{1}{b} = \frac{ab}{b} + \frac{1}{b} = \frac{ab + 1}{b}$.

В знаменателе: $a - \frac{1}{b} = \frac{ab}{b} - \frac{1}{b} = \frac{ab - 1}{b}$.

Теперь исходная дробь имеет вид:

$\frac{\frac{ab + 1}{b}}{\frac{ab - 1}{b}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{ab + 1}{b} \cdot \frac{b}{ab - 1} = \frac{(ab + 1)b}{b(ab - 1)}$

Сокращаем общий множитель $b$ в числителе и знаменателе:

$\frac{ab + 1}{ab - 1}$

Ответ: $\frac{ab + 1}{ab - 1}$

б)

$\frac{m - \frac{1}{n}}{n + \frac{1}{m}}$

Преобразуем числитель, приведя к общему знаменателю $n$: $m - \frac{1}{n} = \frac{mn}{n} - \frac{1}{n} = \frac{mn - 1}{n}$.

Преобразуем знаменатель, приведя к общему знаменателю $m$: $n + \frac{1}{m} = \frac{mn}{m} + \frac{1}{m} = \frac{mn + 1}{m}$.

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{mn - 1}{n}}{\frac{mn + 1}{m}} = \frac{mn - 1}{n} \cdot \frac{m}{mn + 1} = \frac{m(mn - 1)}{n(mn + 1)}$

Ответ: $\frac{m(mn - 1)}{n(mn + 1)}$

в)

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}$

Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $ab$.

Числитель: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{b + a}{ab}$.

Знаменатель: $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b - a}{ab}$.

Выполним деление:

$\frac{\frac{b + a}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} = \frac{b + a}{ab} \cdot \frac{ab}{b - a} = \frac{a + b}{b - a}$

Ответ: $\frac{a + b}{b - a}$

г)

$\frac{\frac{a}{b} - \frac{m}{n}}{\frac{a}{b} + \frac{m}{n}}$

Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $bn$.

Числитель: $\frac{a}{b} - \frac{m}{n} = \frac{an}{bn} - \frac{bm}{bn} = \frac{an - bm}{bn}$.

Знаменатель: $\frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{an}{bn} + \frac{bm}{bn} = \frac{an + bm}{bn}$.

Разделим полученные дроби:

$\frac{\frac{an - bm}{bn}}{\frac{an + bm}{bn}} = \frac{an - bm}{bn} \cdot \frac{bn}{an + bm} = \frac{an - bm}{an + bm}$

Ответ: $\frac{an - bm}{an + bm}$

д)

$\frac{\frac{a+b}{a-b}}{\frac{(a+b)^2}{a^2 - b^2}}$

Упростим знаменатель основной дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(a+b)^2}{a^2 - b^2} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{a-b}$

Подставим упрощенное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{a+b}{a-b}}{\frac{a+b}{a-b}}$

Деление выражения на само себя дает в результате 1 (при условии, что делитель не равен нулю).

$\frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a+b} = 1$

Ответ: $1$

е)

$\frac{\frac{1}{1-m} + \frac{1}{1+m}}{\frac{1}{1-m} - \frac{1}{1+m}}$

Упростим числитель и знаменатель. Общий знаменатель для них — $(1-m)(1+m) = 1 - m^2$.

Числитель: $\frac{1}{1-m} + \frac{1}{1+m} = \frac{1(1+m) + 1(1-m)}{(1-m)(1+m)} = \frac{1+m + 1-m}{1-m^2} = \frac{2}{1-m^2}$.

Знаменатель: $\frac{1}{1-m} - \frac{1}{1+m} = \frac{1(1+m) - 1(1-m)}{(1-m)(1+m)} = \frac{1+m - 1+m}{1-m^2} = \frac{2m}{1-m^2}$.

Выполним деление:

$\frac{\frac{2}{1-m^2}}{\frac{2m}{1-m^2}} = \frac{2}{1-m^2} \cdot \frac{1-m^2}{2m} = \frac{2}{2m} = \frac{1}{m}$

Ответ: $\frac{1}{m}$

ж)

$\frac{\frac{c}{c-1} - \frac{c+1}{c}}{\frac{c}{c+1} - \frac{c-1}{c}}$

Сначала упростим числитель. Общий знаменатель — $c(c-1)$.

$\frac{c}{c-1} - \frac{c+1}{c} = \frac{c \cdot c - (c+1)(c-1)}{c(c-1)} = \frac{c^2 - (c^2-1)}{c(c-1)} = \frac{c^2 - c^2 + 1}{c(c-1)} = \frac{1}{c(c-1)}$.

Теперь упростим знаменатель. Общий знаменатель — $c(c+1)$.

$\frac{c}{c+1} -

951. Доказываем. Известно, что $x + \frac{1}{x}$ — целое число. Докажите, что:

a) $x^2 + \frac{1}{x^2}$;

б) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

целое число.

По условию задачи дано, что выражение $x + \frac{1}{x}$ является целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$, то есть $x + \frac{1}{x} = k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

а) Нам нужно доказать, что $x^2 + \frac{1}{x^2}$ — целое число. Для этого возведем в квадрат обе части равенства $x + \frac{1}{x} = k$:
$(x + \frac{1}{x})^2 = k^2$
Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = k^2$
$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = k^2$
Теперь выразим искомую сумму $x^2 + \frac{1}{x^2}$:
$x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 - 2$
Поскольку $k$ — целое число по условию, то $k^2$ также является целым числом. Разность двух целых чисел ($k^2$ и 2) всегда является целым числом. Следовательно, выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$ является целым числом.
Ответ: Доказано, что $x^2 + \frac{1}{x^2}$ — целое число.

б) Теперь докажем, что $x^3 + \frac{1}{x^3}$ — целое число. Для этого возведем в куб обе части равенства $x + \frac{1}{x} = k$:
$(x + \frac{1}{x})^3 = k^3$
Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot (\frac{1}{x})^2 + (\frac{1}{x})^3 = k^3$
$x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = k^3$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 + \frac{1}{x^3}) + 3(x + \frac{1}{x}) = k^3$
Мы знаем, что $x + \frac{1}{x} = k$, подставим это значение в уравнение:
$(x^3 + \frac{1}{x^3}) + 3k = k^3$
Выразим искомую сумму $x^3 + \frac{1}{x^3}$:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k$
Поскольку $k$ — целое число, то $k^3$ и $3k$ также являются целыми числами. Разность двух целых чисел ($k^3$ и $3k$) всегда является целым числом. Следовательно, выражение $x^3 + \frac{1}{x^3}$ является целым числом.
Ответ: Доказано, что $x^3 + \frac{1}{x^3}$ — целое число.

952. Упростите выражение:

а) $\frac{1}{1} - \frac{1}{2}$;

б) $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$;

в) $\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$;

г) $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$.

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{1}{1} - \frac{1}{2}$, мы приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 1 и 2 это 2.

Представим $\frac{1}{1}$ как дробь со знаменателем 2: $\frac{1}{1} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{2}{2}$.

Теперь вычтем дроби: $\frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б)

Чтобы упростить выражение $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$, найдем общий знаменатель для дробей. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 это их произведение, то есть $2 \cdot 3 = 6$.

Приведем первую дробь к знаменателю 6: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю 6: $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

в)

Для упрощения выражения $\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$ необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для $x$ и $x+1$ будет их произведение $x(x+1)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $x+1$: $\frac{1}{x} = \frac{1 \cdot (x+1)}{x(x+1)} = \frac{x+1}{x(x+1)}$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $x$: $\frac{1}{x+1} = \frac{1 \cdot x}{(x+1)x} = \frac{x}{x(x+1)}$.

Теперь вычтем дроби: $\frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)} = \frac{(x+1) - x}{x(x+1)} = \frac{x+1-x}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}$.

Ответ: $\frac{1}{x(x+1)}$.

г)

Чтобы упростить выражение $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$, приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(x+1)(x+2)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $x+2$: $\frac{1}{x+1} = \frac{1 \cdot (x+2)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2}{(x+1)(x+2)}$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $x+1$: $\frac{1}{x+2} = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x+2)(x+1)} = \frac{x+1}{(x+1)(x+2)}$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{x+2}{(x+1)(x+2)} - \frac{x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{(x+2) - (x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2-x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$.

Ответ: $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$.

953. Представьте в виде разности дробей:

a) $ \frac{1}{1 \cdot 2} $;

б) $ \frac{1}{3 \cdot 4} $;

в) $ \frac{1}{x(x+1)} $;

г) $ \frac{1}{(x+2)(x+3)} $.

а) Представим данную дробь в виде разности двух дробей. Заметим, что числитель $1$ можно представить как разность множителей в знаменателе: $2-1=1$.

Подставим это выражение в числитель исходной дроби и разделим ее на две дроби:

$\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{2-1}{1 \cdot 2} = \frac{2}{1 \cdot 2} - \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$

Проверим результат: $\frac{1}{1} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Значение исходной дроби $\frac{1}{1 \cdot 2}$ также равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{1} - \frac{1}{2}$.

б) По аналогии с предыдущим примером, представим числитель $1$ как разность множителей в знаменателе: $4-3=1$.

Подставим это выражение в числитель дроби и выполним преобразования:

$\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{4-3}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{3}{3 \

954. Вычислите:

a) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10}$;

б) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100}$;

в) $\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{98 \cdot 100}$.

а) Для решения этой задачи заметим, что каждый член суммы можно представить в виде разности двух дробей. Общий член ряда имеет вид $\frac{1}{n(n+1)}$. Используя метод разложения на простейшие дроби, получаем:
$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
Теперь запишем всю сумму, используя это разложение:
$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$
Как видно, все промежуточные члены взаимно уничтожаются (этот прием называется телескопическим суммированием). Остаются только первый и последний члены:
$\frac{1}{1} - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$
Ответ: $\frac{9}{10}$

б) Этот пример решается аналогично предыдущему. Мы имеем дело с такой же телескопической суммой, но с большим количеством членов. Используем то же самое разложение дроби:
$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
Запишем сумму:
$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$
Все промежуточные слагаемые сокращаются, и у нас остаются только первый и последний член ряда:
$\frac{1}{1} - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$
Ответ: $\frac{99}{100}$

в) В этом случае преобразуем каждый член суммы. Заметим, что знаменатель каждого слагаемого можно представить в виде $2n \cdot (2n+2) = 4n(n+1)$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки из всей суммы:
$\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{98 \cdot 100} = \frac{1}{4(1 \cdot 2)} + \frac{1}{4(2 \cdot 3)} + \frac{1}{4(3 \cdot 4)} + \dots + \frac{1}{4(49 \cdot 50)}$
$= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{49 \cdot 50} \right)$
Сумма в скобках является телескопической, как и в предыдущих пунктах. Её значение равно:
$\frac{1}{1} - \frac{1}{50} = \frac{50}{50} - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$
Теперь умножим полученный результат на вынесенный ранее множитель $\frac{1}{4}$:
$\frac{1}{4} \cdot \frac{49}{50} = \frac{49}{200}$
Ответ: $\frac{49}{200}$