Страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

985. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ 3x + 4y = 17 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x - 6y = 0 \\ x + y = -4 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3.2x - 1.2y = 2 \\ 0.5x + 0.6y = 1.1 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 5.1x - 3.8y = 13 \\ 1.7x - 0.8y = 9 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 4.8x + 2.5y = 23 \\ 1.2x - 0.5y = 17 \end{cases}$

ж) $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x - y + z = 6 \end{cases}$

з) $\begin{cases} x - y - z = -2 \\ x + 2y - 3z = 1 \\ 3x - 2y + z = -5 \end{cases}$

и) $\begin{cases} 3x - 5y = -1 \\ 5x - 3z = 12 \\ 2y - 5z = -1 \end{cases}$

а) $ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5 - 2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3x - 4(5 - 2x) = 2$
$3x - 20 + 8x = 2$
$11x = 22$
$x = 2$
Теперь найдем $y$:
$y = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1$
Ответ: $(2; 1)$

б) $ \begin{cases} x - 2y = -1 \\ 3x + 4y = 17 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$2(x - 2y) = 2(-1) \Rightarrow 2x - 4y = -2$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(2x - 4y) + (3x + 4y) = -2 + 17$
$5x = 15$
$x = 3$
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение:
$3 - 2y = -1$
$-2y = -4$
$y = 2$
Ответ: $(3; 2)$

в) $ \begin{cases} 2x - 6y = 0 \\ x + y = -4 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$: $x = -4 - y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(-4 - y) - 6y = 0$
$-8 - 2y - 6y = 0$
$-8y = 8$
$y = -1$
Теперь найдем $x$:
$x = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3$
Ответ: $(-3; -1)$

г) $ \begin{cases} 3,2x - 1,2y = 2 \\ 0,5x + 0,6y = 1,1 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 2, чтобы уравнять модули коэффициентов при $y$:
$2(0,5x + 0,6y) = 2(1,1) \Rightarrow x + 1,2y = 2,2$
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(3,2x - 1,2y) + (x + 1,2y) = 2 + 2,2$
$4,2x = 4,2$
$x = 1$
Подставим значение $x$ во второе исходное уравнение:
$0,5(1) + 0,6y = 1,1$
$0,5 + 0,6y = 1,1$
$0,6y = 0,6$
$y = 1$
Ответ: $(1; 1)$

д) $ \begin{cases} 5,1x - 3,8y = 13 \\ 1,7x - 0,8y = 9 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $x$ стали равными:
$3(1,7x - 0,8y) = 3(9) \Rightarrow 5,1x - 2,4y = 27$
Вычтем из полученного уравнения первое уравнение системы:
$(5,1x - 2,4y) - (5,1x - 3,8y) = 27 - 13$
$1,4y = 14$
$y = 10$
Подставим значение $y$ во второе исходное уравнение:
$1,7x - 0,8(10) = 9$
$1,7x - 8 = 9$
$1,7x = 17$
$x = 10$
Ответ: $(10; 10)$

е) $ \begin{cases} 4,8x + 2,5y = 23 \\ 1,2x - 0,5y = 17 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$5(1,2x - 0,5y) = 5(17) \Rightarrow 6x - 2,5y = 85$
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(4,8x + 2,5y) + (6x - 2,5y) = 23 + 85$
$10,8x = 108$
$x = 10$
Подставим значение $x$ во второе исходное уравнение:
$1,2(10) - 0,5y = 17$
$12 - 0,5y = 17$
$-0,5y = 5$
$y = -10$
Ответ: $(10; -10)$

ж) $ \begin{cases} x + y + z = 6 \quad (1) \\ 2x + y - z = 4 \quad (2) \\ 3x - y + z = 6 \quad (3) \end{cases} $
Сложим уравнения (2) и (3):
$(2x + y - z) + (3x - y + z) = 4 + 6 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$
Сложим уравнения (1) и (2):
$(x + y + z) + (2x + y - z) = 6 + 4 \Rightarrow 3x + 2y = 10$
Подставим $x=2$:
$3(2) + 2y = 10 \Rightarrow 6 + 2y = 10 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$
Подставим значения $x$ и $y$ в уравнение (1):
$2 + 2 + z = 6 \Rightarrow 4 + z = 6 \Rightarrow z = 2$
Ответ: $(2; 2; 2)$

з) $ \begin{cases} x - y - z = -2 \quad (1) \\ x + 2y - 3z = 1 \quad (2) \\ 3x - 2y + z = -5 \quad (3) \end{cases} $
Сложим уравнения (2) и (3):
$(x + 2y - 3z) + (3x - 2y + z) = 1 - 5 \Rightarrow 4x - 2z = -4 \Rightarrow 2x - z = -2 \Rightarrow z = 2x + 2$
Умножим уравнение (1) на 2 и сложим с уравнением (3):
$2(x - y - z) + (3x - 2y + z) = 2(-2) - 5 \Rightarrow (2x - 2y - 2z) + (3x - 2y + z) = -4 - 5 \Rightarrow 5x - 4y - z = -9$
Подставим $z = 2x+2$ в полученное уравнение:
$5x - 4y - (2x + 2) = -9 \Rightarrow 3x - 4y - 2 = -9 \Rightarrow 3x - 4y = -7$
Теперь подставим $z=2x+2$ в уравнение (2):
$x + 2y - 3(2x + 2) = 1 \Rightarrow x + 2y - 6x - 6 = 1 \Rightarrow -5x + 2y = 7$
Получили систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} 3x - 4y = -7 \\ -5x + 2y = 7 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 2: $-10x + 4y = 14$.
Сложим его с первым: $(3x - 4y) + (-10x + 4y) = -7 + 14 \Rightarrow -7x = 7 \Rightarrow x = -1$.
Найдем $y$: $2y = 7 + 5x = 7 + 5(-1) = 2 \Rightarrow y = 1$.
Найдем $z$: $z = 2x + 2 = 2(-1) + 2 = 0$.
Ответ: $(-1; 1; 0)$

и) $ \begin{cases} 3x - 5y = -1 \quad (1) \\ 5x - 3z = 12 \quad (2) \\ 2y - 5z = -1 \quad (3) \end{cases} $
Выразим переменные из каждого уравнения через другие:
Из (1): $x = \frac{5y - 1}{3}$
Из (3): $z = \frac{2y + 1}{5}$
Подставим эти выражения для $x$ и $z$ в уравнение (2):
$5\left(\frac{5y - 1}{3}\right) - 3\left(\frac{2y + 1}{5}\right) = 12$
Умножим все уравнение на 15, чтобы избавиться от дробей:
$15 \cdot 5\left(\frac{5y - 1}{3}\right) - 15 \cdot 3\left(\frac{2y + 1}{5}\right) = 15 \cdot 12$
$25(5y - 1) - 9(2y + 1) = 180$
$125y - 25 - 18y - 9 = 180$
$107y - 34 = 180$
$107y = 214$
$y = 2$
Теперь найдем $x$ и $z$:
$x = \frac{5(2) - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$z = \frac{2(2) + 1}{5} = \frac{5}{5} = 1$
Ответ: $(3; 2; 1)$

986. Из «Арифметики» Диофанта (III в.). Решите системы для всех возможных значений a, b, c и d:

a) $\begin{cases} x+y=a, \\ x-3y=b; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x+y=a, \\ \frac{x}{b}+\frac{y}{c}=d; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x+y=a, \\ \frac{x}{b}-\frac{y}{c}=d. \end{cases}$

а)Дана система линейных уравнений:$\begin{cases}x + y = a \\x - 3y = b\end{cases}$

Для решения системы применим метод алгебраического сложения. Вычтем второе уравнение из первого:
$(x + y) - (x - 3y) = a - b$
$x + y - x + 3y = a - b$
$4y = a - b$
Отсюда находим $y$:
$y = \frac{a - b}{4}$

Теперь подставим найденное выражение для $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$x + \frac{a - b}{4} = a$
$x = a - \frac{a - b}{4}$
$x = \frac{4a - (a - b)}{4} = \frac{4a - a + b}{4} = \frac{3a + b}{4}$

Эта система имеет единственное решение для любых действительных значений параметров $a$ и $b$, так как определитель матрицы коэффициентов системы не равен нулю ($1 \cdot (-3) - 1 \cdot 1 = -4 \neq 0$).

Ответ: $x = \frac{3a + b}{4}, y = \frac{a - b}{4}$ при любых значениях $a$ и $b$.

б)Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = a \\\frac{x}{b} + \frac{y}{c} = d\end{cases}$

Для того чтобы уравнения были определены, необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $b \neq 0$ и $c \neq 0$.
Упростим второе уравнение, умножив его на $bc$:
$c \cdot \frac{x}{b} \cdot b + b \cdot \frac{y}{c} \cdot c = d \cdot bc$
$cx + by = dbc$

Теперь система имеет вид:$\begin{cases}x + y = a \\cx + by = dbc\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = a - y$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$c(a - y) + by = dbc$
$ca - cy + by = dbc$
$by - cy = dbc - ca$
$y(b - c) = c(db - a)$

Рассмотрим два случая.

1. Если $b \neq c$.
В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $b-c$:
$y = \frac{c(db - a)}{b - c}$
Теперь найдем $x$:
$x = a - y = a - \frac{c(db - a)}{b - c} = \frac{a(b - c) - c(db - a)}{b - c} = \frac{ab - ac - dbc + ac}{b - c} = \frac{ab - dbc}{b - c} = \frac{b(a - dc)}{b - c}$
Таким образом, при $b \neq 0$, $c \neq 0$ и $b \neq c$ система имеет единственное решение.

2. Если $b = c$.
В этом случае $b-c=0$, и уравнение для $y$ принимает вид:
$y \cdot 0 = c(db - a)$
Так как $c = b$, то $0 = b(db - a)$. Поскольку $b \neq 0$, это равенство эквивалентно $db - a = 0$, то есть $a = db$.
2а. Если $b = c \neq 0$ и $a = db$.
В этом случае равенство $0 = 0$ является верным, и система имеет бесконечно много решений. Исходные уравнения становятся зависимыми:
$x+y=a$ и $\frac{x}{b} + \frac{y}{b} = d \implies \frac{x+y}{b} = d \implies x+y=db$.
Так как $a=db$, оба уравнения идентичны: $x+y=a$. Решением является любая пара чисел $(x,y)$, удовлетворяющая этому уравнению. Их можно записать в виде $(k, a-k)$, где $k$ – любое действительное число.
2б. Если $b = c \neq 0$ и $a \neq db$.
В этом случае равенство $0 = b(db-a)$ неверно, так как правая часть не равна нулю. Система несовместна и не имеет решений.

Ответ:

• Если $b \neq 0, c \neq 0, b \neq c$, то единственное решение: $x = \frac{b(a - dc)}{b - c}, y = \frac{c(db - a)}{b - c}$.
• Если $b = c \neq 0$ и $a = db$, то бесконечно много решений вида $(k, a - k)$, где $k \in \mathbb{R}$.
• Если $b = c \neq 0$ и $a \neq db$, то решений нет.
• Если $b = 0$ или $c = 0$, то система не определена.

в)Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = a \\\frac{x}{b} - \frac{y}{c} = d\end{cases}$

Условия существования уравнений: $b \neq 0$ и $c \neq 0$.
Умножим второе уравнение на $bc$, чтобы избавиться от знаменателей:
$cx - by = dbc$

Получаем систему:$\begin{cases}x + y = a \\cx - by = dbc\end{cases}$

Из первого уравнения $x = a - y$. Подставляем во второе:
$c(a - y) - by = dbc$
$ca - cy - by = dbc$
$ca - dbc = cy + by$
$c(a - db) = y(b + c)$

Рассмотрим два случая.

1. Если $b + c \neq 0$ (то есть $c \neq -b$).
В этом случае можем разделить на $b+c$:
$y = \frac{c(a - db)}{b + c}$
Найдем $x$:
$x = a - y = a - \frac{c(a - db)}{b + c} = \frac{a(b + c) - c(a - db)}{b + c} = \frac{ab + ac - ac + dbc}{b + c} = \frac{ab + dbc}{b + c} = \frac{b(a + dc)}{b + c}$
При $b \neq 0$, $c \neq 0$ и $c \neq -b$ система имеет единственное решение.

2. Если $b + c = 0$ (то есть $c = -b$).
Так как $b \neq 0$, то и $c \neq 0$. Уравнение для $y$ принимает вид:
$c(a - db) = y \cdot 0$
$-b(a - db) = 0$. Так как $b \neq 0$, это эквивалентно $a - db = 0$, то есть $a = db$.
2а. Если $c = -b \neq 0$ и $a = db$.
Равенство $0 = 0$ верно, система имеет бесконечно много решений. Уравнения системы становятся зависимыми:
$x+y=a$ и $\frac{x}{b} - \frac{y}{-b} = d \implies \frac{x+y}{b} = d \implies x+y=db$.
Поскольку $a=db$, оба уравнения эквивалентны $x+y=a$. Решением является любая пара $(k, a-k)$, где $k$ – любое действительное число.
2б. Если $c = -b \neq 0$ и $a \neq db$.
Равенство $-b(a - db) = 0$ не выполняется. Система несовместна, решений нет.

Ответ:

• Если $b \neq 0, c \neq 0, c \neq -b$, то единственное решение: $x = \frac{b(a + dc)}{b + c}, y = \frac{c(a - db)}{b + c}$.
• Если $c = -b \neq 0$ и $a = db$, то бесконечно много решений вида $(k, a - k)$, где $k \in \mathbb{R}$.
• Если $c = -b \neq 0$ и $a \neq db$, то решений нет.
• Если $b = 0$ или $c = 0$, то система не определена.

987. Решите задачу, составив числовое выражение:

а) Куплено 3 кг яблок по 30 р. за 1 кг и 2,5 кг груш, кило- грамм которых стоит дороже на 10 р. Определите стоимость покупки.

б) В первой бригаде 12 рабочих, во второй — в 3 раза больше, чем в первой, а в третьей — на 22 рабочих меньше, чем в двух первых бригадах вместе. Сколько рабочих в третьей бригаде?

а)

Для решения задачи необходимо составить одно числовое выражение, отражающее общую стоимость покупки.
Стоимость всей покупки складывается из стоимости яблок и стоимости груш.
1. Стоимость яблок: куплено 3 кг по 30 рублей за кг. Это можно записать как $3 \cdot 30$.
2. Стоимость груш: сначала найдем цену за 1 кг груш. Она на 10 рублей дороже яблок, то есть $(30 + 10)$ рублей. Куплено 2,5 кг груш, значит их стоимость равна $2,5 \cdot (30 + 10)$.
3. Общая стоимость покупки равна сумме стоимостей яблок и груш.
Составим и решим итоговое числовое выражение:
$3 \cdot 30 + 2,5 \cdot (30 + 10) = 90 + 2,5 \cdot 40 = 90 + 100 = 190$ (р.)

Ответ: 190 рублей.

б)

Для нахождения количества рабочих в третьей бригаде составим числовое выражение.
1. Количество рабочих в первой бригаде — 12.
2. Количество рабочих во второй бригаде в 3 раза больше, чем в первой, то есть $12 \cdot 3$.
3. Общее количество рабочих в первой и второй бригадах вместе: $12 + 12 \cdot 3$.
4. В третьей бригаде на 22 рабочих меньше, чем в первых двух вместе. Значит, нужно из суммы рабочих первых двух бригад вычесть 22.
Составим и решим итоговое числовое выражение:
$(12 + 12 \cdot 3) - 22 = (12 + 36) - 22 = 48 - 22 = 26$ (рабочих)

Ответ: 26 рабочих.

988. В бидоне 6 л кваса. Из него отлили в 5 раз больше, чем осталось. Сколько литров кваса осталось в бидоне?

Для решения этой задачи можно составить уравнение. Обозначим за $x$ количество кваса, которое осталось в бидоне (в литрах).

Из условия известно, что из бидона отлили в 5 раз больше кваса, чем осталось. Следовательно, количество отлитого кваса составляет $5x$ литров.

Общее количество кваса в бидоне — это сумма того, что отлили, и того, что осталось. Изначально в бидоне было 6 литров. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$$5x + x = 6$$

Теперь решим это уравнение:

1. Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$$6x = 6$$

2. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:

$$x = \frac{6}{6}$$

$$x = 1$$

Поскольку за $x$ мы принимали количество кваса, которое осталось в бидоне, то мы нашли искомое значение. В бидоне остался 1 литр кваса.

Выполним проверку, чтобы убедиться в правильности решения:
Количество оставшегося кваса: 1 л.
Количество отлитого кваса: $1 \text{ л} \times 5 = 5$ л.
Общее количество кваса: $1 \text{ л} + 5 \text{ л} = 6$ л.
Результат проверки сходится с условием задачи.

Ответ: в бидоне остался 1 литр кваса.

989. а) Расстояние между сёлами 18 км. Путник прошёл в 5 раз больше, чем осталось пройти. Сколько километров он уже прошёл?

б) Некто подсчитал, что прошедшая часть суток в 2 раза меньше оставшейся. Сколько времени прошло с начала суток?

в) Некто подсчитал, что с начала года прошло в 4 раза больше дней, чем осталось до конца года. В каком месяце он вёл подсчёты?

а)

Пусть $x$ км — это расстояние, которое осталось пройти путнику. Согласно условию, он уже прошёл в 5 раз большее расстояние, то есть $5x$ км. Общее расстояние между сёлами является суммой пройденного и оставшегося пути.

Составим уравнение:

$5x + x = 18$

$6x = 18$

$x = \frac{18}{6}$

$x = 3$

Таким образом, осталось пройти 3 км. Нас интересует, сколько километров путник уже прошёл. Это значение равно $5x$.

$5 \cdot 3 = 15$ (км).

Ответ: 15 км.

б)

В сутках 24 часа. Пусть $t$ часов — это прошедшая часть суток. Тогда оставшаяся часть суток составляет $(24 - t)$ часов. По условию, прошедшая часть в 2 раза меньше оставшейся. Это означает, что оставшаяся часть в 2 раза больше прошедшей.

Составим уравнение:

$24 - t = 2t$

Перенесём $-t$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$24 = 2t + t$

$24 = 3t$

$t = \frac{24}{3}$

$t = 8$

С начала суток прошло 8 часов.

Ответ: 8 часов.

в)

Примем, что год не високосный, то есть в нём 365 дней. Пусть $d$ дней — это количество дней, оставшихся до конца года. По условию, с начала года прошло в 4 раза больше дней, то есть $4d$ дней. Сумма прошедших и оставшихся дней равна общему количеству дней в году.

Составим уравнение:

$4d + d = 365$

$5d = 365$

$d = \frac{365}{5}$

$d = 73$

Итак, до конца года осталось 73 дня. Найдём, сколько дней прошло с начала года:

$4 \cdot 73 = 292$ (дня).

Теперь определим, какому месяцу соответствует 292-й день в году. Посчитаем, сколько дней проходит к концу каждого месяца:

Январь: 31
Февраль: 31 + 28 = 59
Март: 59 + 31 = 90
Апрель: 90 + 30 = 120
Май: 120 + 31 = 151
Июнь: 151 + 30 = 181
Июль: 181 + 31 = 212
Август: 212 + 31 = 243
Сентябрь: 243 + 30 = 273

К концу сентября прошло 273 дня. Так как $273 < 292$, то подсчёты велись в следующем месяце. Десятый месяц года — это октябрь. К концу октября пройдёт $273 + 31 = 304$ дня, что больше 292.

Следовательно, подсчёты велись в октябре.

(Если бы год был високосным (366 дней), то $5d = 366$, и $d = 73.2$, что не является целым числом. Поэтому год обычный).

Ответ: в октябре.

990. Задачи аль-Хорезми (VIII—IX вв.).

а) Найдите два числа, зная, что их сумма равна 10, а их отношение — 4.

б) Разность двух чисел равна двум, а их отношение — $1/2$. Найдите эти числа.

а)

Пусть первое искомое число будет $x$, а второе — $y$. Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Сумма чисел равна 10: $x + y = 10$.

2. Отношение чисел равно 4: $\frac{x}{y} = 4$.

Из второго уравнения выразим переменную $x$:

$x = 4y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:

$4y + y = 10$

$5y = 10$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $y$:

$y = \frac{10}{5} = 2$

Зная значение $y$, найдем $x$:

$x = 4y = 4 \cdot 2 = 8$

Таким образом, искомые числа — это 8 и 2.

Выполним проверку:

Сумма: $8 + 2 = 10$.

Отношение: $\frac{8}{2} = 4$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: 8 и 2.

б)

Пусть искомые числа — $x$ и $y$. Число, обратное двум, — это дробь $\frac{1}{2}$.

Из условий задачи составим систему уравнений.

1. Разность двух чисел равна 2. Предположим, что $x$ — большее число, а $y$ — меньшее. Тогда их разность можно записать как $x - y = 2$.

2. Их отношение равно $\frac{1}{2}$. Так как мы предположили, что $x > y$, то отношение $\frac{x}{y}$ должно быть больше 1. Следовательно, отношение, равное $\frac{1}{2}$, — это отношение меньшего числа к большему: $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$.

Получаем следующую систему уравнений:

$x - y = 2$

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2y - y = 2$

$y = 2$

Теперь, зная $y$, найдем $x$:

$x = 2y = 2 \cdot 2 = 4$

Итак, мы нашли искомые числа: 4 и 2.

Выполним проверку:

Разность: $4 - 2 = 2$.

Отношение (меньшего к большему): $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: 4 и 2.