Номер 986, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Системы линейных уравнений. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 986, страница 252.

Условие.

986. Из «Арифметики» Диофанта (III в.). Решите системы для всех возможных значений a, b, c и d:

a) $\begin{cases} x+y=a, \\ x-3y=b; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x+y=a, \\ \frac{x}{b}+\frac{y}{c}=d; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x+y=a, \\ \frac{x}{b}-\frac{y}{c}=d. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)Дана система линейных уравнений:$\begin{cases}x + y = a \\x - 3y = b\end{cases}$

Для решения системы применим метод алгебраического сложения. Вычтем второе уравнение из первого:
$(x + y) - (x - 3y) = a - b$
$x + y - x + 3y = a - b$
$4y = a - b$
Отсюда находим $y$:
$y = \frac{a - b}{4}$

Теперь подставим найденное выражение для $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$x + \frac{a - b}{4} = a$
$x = a - \frac{a - b}{4}$
$x = \frac{4a - (a - b)}{4} = \frac{4a - a + b}{4} = \frac{3a + b}{4}$

Эта система имеет единственное решение для любых действительных значений параметров $a$ и $b$, так как определитель матрицы коэффициентов системы не равен нулю ($1 \cdot (-3) - 1 \cdot 1 = -4 \neq 0$).

Ответ: $x = \frac{3a + b}{4}, y = \frac{a - b}{4}$ при любых значениях $a$ и $b$.

б)Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = a \\\frac{x}{b} + \frac{y}{c} = d\end{cases}$

Для того чтобы уравнения были определены, необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $b \neq 0$ и $c \neq 0$.
Упростим второе уравнение, умножив его на $bc$:
$c \cdot \frac{x}{b} \cdot b + b \cdot \frac{y}{c} \cdot c = d \cdot bc$
$cx + by = dbc$

Теперь система имеет вид:$\begin{cases}x + y = a \\cx + by = dbc\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = a - y$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$c(a - y) + by = dbc$
$ca - cy + by = dbc$
$by - cy = dbc - ca$
$y(b - c) = c(db - a)$

Рассмотрим два случая.

1. Если $b \neq c$.
В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $b-c$:
$y = \frac{c(db - a)}{b - c}$
Теперь найдем $x$:
$x = a - y = a - \frac{c(db - a)}{b - c} = \frac{a(b - c) - c(db - a)}{b - c} = \frac{ab - ac - dbc + ac}{b - c} = \frac{ab - dbc}{b - c} = \frac{b(a - dc)}{b - c}$
Таким образом, при $b \neq 0$, $c \neq 0$ и $b \neq c$ система имеет единственное решение.

2. Если $b = c$.
В этом случае $b-c=0$, и уравнение для $y$ принимает вид:
$y \cdot 0 = c(db - a)$
Так как $c = b$, то $0 = b(db - a)$. Поскольку $b \neq 0$, это равенство эквивалентно $db - a = 0$, то есть $a = db$.
2а. Если $b = c \neq 0$ и $a = db$.
В этом случае равенство $0 = 0$ является верным, и система имеет бесконечно много решений. Исходные уравнения становятся зависимыми:
$x+y=a$ и $\frac{x}{b} + \frac{y}{b} = d \implies \frac{x+y}{b} = d \implies x+y=db$.
Так как $a=db$, оба уравнения идентичны: $x+y=a$. Решением является любая пара чисел $(x,y)$, удовлетворяющая этому уравнению. Их можно записать в виде $(k, a-k)$, где $k$ – любое действительное число.
2б. Если $b = c \neq 0$ и $a \neq db$.
В этом случае равенство $0 = b(db-a)$ неверно, так как правая часть не равна нулю. Система несовместна и не имеет решений.

Ответ:

• Если $b \neq 0, c \neq 0, b \neq c$, то единственное решение: $x = \frac{b(a - dc)}{b - c}, y = \frac{c(db - a)}{b - c}$.
• Если $b = c \neq 0$ и $a = db$, то бесконечно много решений вида $(k, a - k)$, где $k \in \mathbb{R}$.
• Если $b = c \neq 0$ и $a \neq db$, то решений нет.
• Если $b = 0$ или $c = 0$, то система не определена.

в)Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = a \\\frac{x}{b} - \frac{y}{c} = d\end{cases}$

Условия существования уравнений: $b \neq 0$ и $c \neq 0$.
Умножим второе уравнение на $bc$, чтобы избавиться от знаменателей:
$cx - by = dbc$

Получаем систему:$\begin{cases}x + y = a \\cx - by = dbc\end{cases}$

Из первого уравнения $x = a - y$. Подставляем во второе:
$c(a - y) - by = dbc$
$ca - cy - by = dbc$
$ca - dbc = cy + by$
$c(a - db) = y(b + c)$

Рассмотрим два случая.

1. Если $b + c \neq 0$ (то есть $c \neq -b$).
В этом случае можем разделить на $b+c$:
$y = \frac{c(a - db)}{b + c}$
Найдем $x$:
$x = a - y = a - \frac{c(a - db)}{b + c} = \frac{a(b + c) - c(a - db)}{b + c} = \frac{ab + ac - ac + dbc}{b + c} = \frac{ab + dbc}{b + c} = \frac{b(a + dc)}{b + c}$
При $b \neq 0$, $c \neq 0$ и $c \neq -b$ система имеет единственное решение.

2. Если $b + c = 0$ (то есть $c = -b$).
Так как $b \neq 0$, то и $c \neq 0$. Уравнение для $y$ принимает вид:
$c(a - db) = y \cdot 0$
$-b(a - db) = 0$. Так как $b \neq 0$, это эквивалентно $a - db = 0$, то есть $a = db$.
2а. Если $c = -b \neq 0$ и $a = db$.
Равенство $0 = 0$ верно, система имеет бесконечно много решений. Уравнения системы становятся зависимыми:
$x+y=a$ и $\frac{x}{b} - \frac{y}{-b} = d \implies \frac{x+y}{b} = d \implies x+y=db$.
Поскольку $a=db$, оба уравнения эквивалентны $x+y=a$. Решением является любая пара $(k, a-k)$, где $k$ – любое действительное число.
2б. Если $c = -b \neq 0$ и $a \neq db$.
Равенство $-b(a - db) = 0$ не выполняется. Система несовместна, решений нет.

Ответ:

• Если $b \neq 0, c \neq 0, c \neq -b$, то единственное решение: $x = \frac{b(a + dc)}{b + c}, y = \frac{c(a - db)}{b + c}$.
• Если $c = -b \neq 0$ и $a = db$, то бесконечно много решений вида $(k, a - k)$, где $k \in \mathbb{R}$.
• Если $c = -b \neq 0$ и $a \neq db$, то решений нет.
• Если $b = 0$ или $c = 0$, то система не определена.