Номер 984, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные уравнения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 984, страница 251.

Условие.

984. Из «Арифметики» Диофанта (III в.). Решите уравнение

$(b + x)a = \frac{(a + b)x + (a + x)b}{2}$

где $x$ — неизвестное, $a$ и $b$ — известные числа.

Определите, при каком условии:

a) уравнение имеет единственный корень;

б) уравнение не имеет корней;

в) корнем уравнения является любое число $x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения данного уравнения и анализа его корней в зависимости от параметров $a$ и $b$ преобразуем его к более простому виду.
Исходное уравнение:$(b + x)a = \frac{(a + b)x + (a + x)b}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:$2a(b + x) = (a + b)x + (a + x)b$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:$2ab + 2ax = ax + bx + ab + bx$

Приведем подобные слагаемые в правой части:$2ab + 2ax = ax + 2bx + ab$

Сгруппируем все слагаемые с неизвестным $x$ в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:$2ax - ax - 2bx = ab - 2ab$

Упростим обе части:$ax - 2bx = -ab$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:$x(a - 2b) = -ab$

Полученное уравнение является линейным уравнением вида $Kx = C$, где коэффициент $K = a - 2b$ и свободный член $C = -ab$. Количество решений такого уравнения зависит от значений $K$ и $C$. Рассмотрим три возможных случая.

а) уравнение имеет единственный корень;
Линейное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при неизвестном не равен нулю, то есть $K \neq 0$.
В нашем случае это означает, что $a - 2b \neq 0$, или $a \neq 2b$.
При выполнении этого условия корень уравнения можно найти по формуле $x = \frac{C}{K}$:$x = \frac{-ab}{a - 2b}$ или $x = \frac{ab}{2b - a}$.
Ответ: Уравнение имеет единственный корень при условии $a \neq 2b$.

б) уравнение не имеет корней;
Линейное уравнение не имеет корней, если коэффициент при неизвестном равен нулю ($K = 0$), а свободный член не равен нулю ($C \neq 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = C$ (где $C \neq 0$), что является неверным равенством.
Условие $K=0$ дает нам $a - 2b = 0$, то есть $a = 2b$.
Условие $C \neq 0$ дает нам $-ab \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Если $a=2b$ и при этом $b \neq 0$, то и $a$ также не будет равно нулю. Таким образом, оба условия ($K=0$ и $C \neq 0$) выполняются одновременно, если $a = 2b$ и $b \neq 0$.
Ответ: Уравнение не имеет корней при условии $a = 2b$ и $b \neq 0$.

в) корнем уравнения является любое число x.
Корнем уравнения является любое число $x$, если уравнение сводится к тождеству $0 \cdot x = 0$. Это происходит, когда и коэффициент при неизвестном, и свободный член равны нулю, то есть $K = 0$ и $C = 0$.
Условие $K=0$ дает нам $a - 2b = 0$, то есть $a = 2b$.
Условие $C=0$ дает нам $-ab = 0$, что означает $a=0$ или $b=0$.
Чтобы оба условия выполнялись одновременно, нужно, чтобы $a=2b$ и при этом $a=0$ или $b=0$.
Если $b=0$, то из $a=2b$ следует, что $a=0$.
Если $a=0$, то из $a=2b$ следует, что $0=2b$, откуда $b=0$.
Таким образом, оба условия выполняются только в одном случае: когда $a=0$ и $b=0$.
Ответ: Корнем уравнения является любое число $x$ при условии $a = 0$ и $b = 0$.