Номер 978, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные уравнения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 978, страница 251.

Условие.

978. Из папируса Ахмеса (ок. 2000 г. до н. э.). Решите уравнение:

а) $x + \frac{1}{5}x = 21;$

б) $(x + \frac{2}{3}x) - \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x) = 10;$

в) $x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = 10;$

г) $x + \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x = 37;$

д) $3x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $x + \frac{1}{5}x = 21$

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения:

$x(1 + \frac{1}{5}) = 21$

Сложим числа в скобках, представив 1 как $\frac{5}{5}$:

$x(\frac{5}{5} + \frac{1}{5}) = 21$

$x \cdot \frac{6}{5} = 21$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на дробь, обратную $\frac{6}{5}$, то есть на $\frac{5}{6}$:

$x = 21 \cdot \frac{5}{6}$

$x = \frac{21 \cdot 5}{6} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{35}{2} = 17,5$

Ответ: $17,5$

б) $(x + \frac{2}{3}x) - \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x) = 10$

Заметим, что выражение в скобках $(x + \frac{2}{3}x)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:

$(x + \frac{2}{3}x) \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 10$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$x + \frac{2}{3}x = x(1 + \frac{2}{3}) = x(\frac{3}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{5}{3}x$

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$(\frac{5}{3}x) \cdot \frac{2}{3} = 10$

$\frac{10}{9}x = 10$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{9}{10}$:

$x = 10 \cdot \frac{9}{10}$

$x = 9$

Ответ: $9$

в) $x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = 10$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 10$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 4:

$x(\frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = 10$

$x \cdot \frac{4+2+1}{4} = 10$

$x \cdot \frac{7}{4} = 10$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{4}{7}$:

$x = 10 \cdot \frac{4}{7}$

$x = \frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{40}{7}$

г) $x + \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x = 37$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{7}) = 37$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3, 2 и 7 это $3 \cdot 2 \cdot 7 = 42$:

$x(\frac{42}{42} + \frac{2 \cdot 14}{42} + \frac{1 \cdot 21}{42} + \frac{1 \cdot 6}{42}) = 37$

$x(\frac{42}{42} + \frac{28}{42} + \frac{21}{42} + \frac{6}{42}) = 37$

$x \cdot \frac{42+28+21+6}{42} = 37$

$x \cdot \frac{97}{42} = 37$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{42}{97}$:

$x = 37 \cdot \frac{42}{97}$

$x = \frac{1554}{97}$

Ответ: $\frac{1554}{97}$

д) $3x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x = 1$

Сначала упростим третий член уравнения:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x = \frac{1}{9}x$

Теперь уравнение выглядит так:

$3x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x + \frac{1}{9}x = 1$

Сложим подобные слагаемые:

$3x + \frac{1}{3}x + \frac{2}{9}x = 1$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3 + \frac{1}{3} + \frac{2}{9}) = 1$

Приведем числа в скобках к общему знаменателю 9:

$x(\frac{3 \cdot 9}{9} + \frac{1 \cdot 3}{9} + \frac{2}{9}) = 1$

$x(\frac{27}{9} + \frac{3}{9} + \frac{2}{9}) = 1$

$x \cdot \frac{27+3+2}{9} = 1$

$x \cdot \frac{32}{9} = 1$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{9}{32}$:

$x = \frac{9}{32}$

Ответ: $\frac{9}{32}$