Номер 985, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Системы линейных уравнений. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 985, страница 252.

Условие.

985. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ 3x + 4y = 17 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x - 6y = 0 \\ x + y = -4 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3.2x - 1.2y = 2 \\ 0.5x + 0.6y = 1.1 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 5.1x - 3.8y = 13 \\ 1.7x - 0.8y = 9 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 4.8x + 2.5y = 23 \\ 1.2x - 0.5y = 17 \end{cases}$

ж) $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x - y + z = 6 \end{cases}$

з) $\begin{cases} x - y - z = -2 \\ x + 2y - 3z = 1 \\ 3x - 2y + z = -5 \end{cases}$

и) $\begin{cases} 3x - 5y = -1 \\ 5x - 3z = 12 \\ 2y - 5z = -1 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5 - 2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3x - 4(5 - 2x) = 2$
$3x - 20 + 8x = 2$
$11x = 22$
$x = 2$
Теперь найдем $y$:
$y = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1$
Ответ: $(2; 1)$

б) $ \begin{cases} x - 2y = -1 \\ 3x + 4y = 17 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$2(x - 2y) = 2(-1) \Rightarrow 2x - 4y = -2$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(2x - 4y) + (3x + 4y) = -2 + 17$
$5x = 15$
$x = 3$
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение:
$3 - 2y = -1$
$-2y = -4$
$y = 2$
Ответ: $(3; 2)$

в) $ \begin{cases} 2x - 6y = 0 \\ x + y = -4 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$: $x = -4 - y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(-4 - y) - 6y = 0$
$-8 - 2y - 6y = 0$
$-8y = 8$
$y = -1$
Теперь найдем $x$:
$x = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3$
Ответ: $(-3; -1)$

г) $ \begin{cases} 3,2x - 1,2y = 2 \\ 0,5x + 0,6y = 1,1 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 2, чтобы уравнять модули коэффициентов при $y$:
$2(0,5x + 0,6y) = 2(1,1) \Rightarrow x + 1,2y = 2,2$
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(3,2x - 1,2y) + (x + 1,2y) = 2 + 2,2$
$4,2x = 4,2$
$x = 1$
Подставим значение $x$ во второе исходное уравнение:
$0,5(1) + 0,6y = 1,1$
$0,5 + 0,6y = 1,1$
$0,6y = 0,6$
$y = 1$
Ответ: $(1; 1)$

д) $ \begin{cases} 5,1x - 3,8y = 13 \\ 1,7x - 0,8y = 9 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $x$ стали равными:
$3(1,7x - 0,8y) = 3(9) \Rightarrow 5,1x - 2,4y = 27$
Вычтем из полученного уравнения первое уравнение системы:
$(5,1x - 2,4y) - (5,1x - 3,8y) = 27 - 13$
$1,4y = 14$
$y = 10$
Подставим значение $y$ во второе исходное уравнение:
$1,7x - 0,8(10) = 9$
$1,7x - 8 = 9$
$1,7x = 17$
$x = 10$
Ответ: $(10; 10)$

е) $ \begin{cases} 4,8x + 2,5y = 23 \\ 1,2x - 0,5y = 17 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$5(1,2x - 0,5y) = 5(17) \Rightarrow 6x - 2,5y = 85$
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(4,8x + 2,5y) + (6x - 2,5y) = 23 + 85$
$10,8x = 108$
$x = 10$
Подставим значение $x$ во второе исходное уравнение:
$1,2(10) - 0,5y = 17$
$12 - 0,5y = 17$
$-0,5y = 5$
$y = -10$
Ответ: $(10; -10)$

ж) $ \begin{cases} x + y + z = 6 \quad (1) \\ 2x + y - z = 4 \quad (2) \\ 3x - y + z = 6 \quad (3) \end{cases} $
Сложим уравнения (2) и (3):
$(2x + y - z) + (3x - y + z) = 4 + 6 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$
Сложим уравнения (1) и (2):
$(x + y + z) + (2x + y - z) = 6 + 4 \Rightarrow 3x + 2y = 10$
Подставим $x=2$:
$3(2) + 2y = 10 \Rightarrow 6 + 2y = 10 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$
Подставим значения $x$ и $y$ в уравнение (1):
$2 + 2 + z = 6 \Rightarrow 4 + z = 6 \Rightarrow z = 2$
Ответ: $(2; 2; 2)$

з) $ \begin{cases} x - y - z = -2 \quad (1) \\ x + 2y - 3z = 1 \quad (2) \\ 3x - 2y + z = -5 \quad (3) \end{cases} $
Сложим уравнения (2) и (3):
$(x + 2y - 3z) + (3x - 2y + z) = 1 - 5 \Rightarrow 4x - 2z = -4 \Rightarrow 2x - z = -2 \Rightarrow z = 2x + 2$
Умножим уравнение (1) на 2 и сложим с уравнением (3):
$2(x - y - z) + (3x - 2y + z) = 2(-2) - 5 \Rightarrow (2x - 2y - 2z) + (3x - 2y + z) = -4 - 5 \Rightarrow 5x - 4y - z = -9$
Подставим $z = 2x+2$ в полученное уравнение:
$5x - 4y - (2x + 2) = -9 \Rightarrow 3x - 4y - 2 = -9 \Rightarrow 3x - 4y = -7$
Теперь подставим $z=2x+2$ в уравнение (2):
$x + 2y - 3(2x + 2) = 1 \Rightarrow x + 2y - 6x - 6 = 1 \Rightarrow -5x + 2y = 7$
Получили систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} 3x - 4y = -7 \\ -5x + 2y = 7 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 2: $-10x + 4y = 14$.
Сложим его с первым: $(3x - 4y) + (-10x + 4y) = -7 + 14 \Rightarrow -7x = 7 \Rightarrow x = -1$.
Найдем $y$: $2y = 7 + 5x = 7 + 5(-1) = 2 \Rightarrow y = 1$.
Найдем $z$: $z = 2x + 2 = 2(-1) + 2 = 0$.
Ответ: $(-1; 1; 0)$

и) $ \begin{cases} 3x - 5y = -1 \quad (1) \\ 5x - 3z = 12 \quad (2) \\ 2y - 5z = -1 \quad (3) \end{cases} $
Выразим переменные из каждого уравнения через другие:
Из (1): $x = \frac{5y - 1}{3}$
Из (3): $z = \frac{2y + 1}{5}$
Подставим эти выражения для $x$ и $z$ в уравнение (2):
$5\left(\frac{5y - 1}{3}\right) - 3\left(\frac{2y + 1}{5}\right) = 12$
Умножим все уравнение на 15, чтобы избавиться от дробей:
$15 \cdot 5\left(\frac{5y - 1}{3}\right) - 15 \cdot 3\left(\frac{2y + 1}{5}\right) = 15 \cdot 12$
$25(5y - 1) - 9(2y + 1) = 180$
$125y - 25 - 18y - 9 = 180$
$107y - 34 = 180$
$107y = 214$
$y = 2$
Теперь найдем $x$ и $z$:
$x = \frac{5(2) - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$z = \frac{2(2) + 1}{5} = \frac{5}{5} = 1$
Ответ: $(3; 2; 1)$