Номер 983, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные уравнения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 983, страница 251.

Условие.

983. Решите уравнение, считая, что a, b, k, m, n, p, q, y — данные числа, а x — неизвестное:

а) $ax = 3 + b;$

б) $2px = q;$

в) $kx + y = 0;$

г) $2yx - q = 3;$

д) $2m - nx = 1;$

е) $3a^2b - 6abx = ab.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Решим уравнение $ax = 3 + b$ относительно $x$.

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при нем, то есть на $a$. Необходимо рассмотреть случаи, когда $a$ равно нулю и когда не равно.

Если $a \ne 0$, то, разделив обе части на $a$, получаем:

$x = \frac{3 + b}{a}$

Если $a = 0$, то исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3 + b$, или $0 = 3 + b$.

• При $b = -3$, равенство $0 = 3 + (-3)$ становится верным тождеством $0=0$. В этом случае уравнение имеет бесконечно много решений, то есть $x$ — любое число.
• При $b \ne -3$, равенство $0 = 3 + b$ является ложным, и уравнение не имеет решений (корней нет).

Ответ: если $a \ne 0$, то $x = \frac{3 + b}{a}$; если $a = 0$ и $b = -3$, то $x$ — любое число; если $a = 0$ и $b \ne -3$, то корней нет.

б) Решим уравнение $2px = q$ относительно $x$.

Коэффициент при $x$ равен $2p$. Решение зависит от того, равен ли этот коэффициент нулю.

Если $2p \ne 0$ (то есть $p \ne 0$), разделим обе части на $2p$:

$x = \frac{q}{2p}$

Если $2p = 0$ (то есть $p = 0$), уравнение принимает вид $0 \cdot x = q$, или $0 = q$.

• При $q = 0$, получаем верное тождество $0=0$. Решением является любое число $x$.
• При $q \ne 0$, равенство $0=q$ ложно, и уравнение не имеет решений.

Ответ: если $p \ne 0$, то $x = \frac{q}{2p}$; если $p = 0$ и $q = 0$, то $x$ — любое число; если $p = 0$ и $q \ne 0$, то корней нет.

в) Решим уравнение $kx + y = 0$ относительно $x$.

Сначала изолируем слагаемое с $x$, перенеся $y$ в правую часть:

$kx = -y$

Теперь рассмотрим случаи в зависимости от коэффициента $k$.

Если $k \ne 0$, разделим обе части на $k$:

$x = \frac{-y}{k}$ или $x = -\frac{y}{k}$

Если $k = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -y$, или $0 = -y$, что равносильно $y=0$.

• При $y = 0$, получаем верное тождество $0=0$. Решением является любое число $x$.
• При $y \ne 0$, равенство $0=-y$ ложно, и уравнение не имеет решений.

Ответ: если $k \ne 0$, то $x = -\frac{y}{k}$; если $k = 0$ и $y = 0$, то $x$ — любое число; если $k = 0$ и $y \ne 0$, то корней нет.

г) Решим уравнение $2yx - q = 3$ относительно $x$.

Перенесем $q$ в правую часть уравнения:

$2yx = 3 + q$

Коэффициент при $x$ равен $2y$. Рассмотрим случаи в зависимости от этого коэффициента.

Если $2y \ne 0$ (то есть $y \ne 0$), разделим обе части на $2y$:

$x = \frac{3 + q}{2y}$

Если $2y = 0$ (то есть $y = 0$), уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3 + q$, или $0 = 3 + q$.

• При $q = -3$, получаем верное тождество $0 = 3 + (-3)$, то есть $0=0$. Решением является любое число $x$.
• При $q \ne -3$, равенство ложно, и уравнение не имеет решений.

Ответ: если $y \ne 0$, то $x = \frac{3 + q}{2y}$; если $y = 0$ и $q = -3$, то $x$ — любое число; если $y = 0$ и $q \ne -3$, то корней нет.

д) Решим уравнение $2m - nx = 1$ относительно $x$.

Сначала изолируем слагаемое с $x$:

$-nx = 1 - 2m$

Умножим обе части на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед $nx$:

$nx = -(1 - 2m)$

$nx = 2m - 1$

Коэффициент при $x$ равен $n$.

Если $n \ne 0$, разделим обе части на $n$:

$x = \frac{2m - 1}{n}$

Если $n = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 2m - 1$, или $0 = 2m - 1$.

• При $2m - 1 = 0$ (то есть $m = \frac{1}{2}$), получаем верное тождество $0=0$. Решением является любое число $x$.
• При $2m - 1 \ne 0$ (то есть $m \ne \frac{1}{2}$), равенство ложно, и уравнение не имеет решений.

Ответ: если $n \ne 0$, то $x = \frac{2m - 1}{n}$; если $n = 0$ и $m = \frac{1}{2}$, то $x$ — любое число; если $n = 0$ и $m \ne \frac{1}{2}$, то корней нет.

е) Решим уравнение $3a^2b - 6abx = ab$ относительно $x$.

Изолируем слагаемое с $x$:

$-6abx = ab - 3a^2b$

Умножим обе части на $-1$:

$6abx = 3a^2b - ab$

Коэффициент при $x$ равен $6ab$.

Если $6ab \ne 0$ (то есть $a \ne 0$ и $b \ne 0$), разделим обе части на $6ab$:

$x = \frac{3a^2b - ab}{6ab}$

Вынесем общий множитель $ab$ в числителе и сократим дробь:

$x = \frac{ab(3a - 1)}{6ab} = \frac{3a - 1}{6}$

Если $6ab = 0$, это означает, что либо $a=0$, либо $b=0$.

• Если $a = 0$, исходное уравнение становится $3 \cdot 0^2 \cdot b - 6 \cdot 0 \cdot b \cdot x = 0 \cdot b$, что дает $0 - 0 = 0$, или $0=0$. Это верно для любого $x$.
• Если $b = 0$, исходное уравнение становится $3a^2 \cdot 0 - 6a \cdot 0 \cdot x = a \cdot 0$, что также дает $0=0$. Это верно для любого $x$.

Таким образом, если хотя бы один из параметров $a$ или $b$ равен нулю, решением является любое число.

Ответ: если $a \ne 0$ и $b \ne 0$, то $x = \frac{3a - 1}{6}$; если $a = 0$ или $b = 0$, то $x$ — любое число.