Страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

977. а) $(x+1)(x-1) - (x-2)(x+3) = 0;$

б) $(2x-1)(x+2) - (x-5)(2x+1) = 0;$

в) $3(x+1)(x+2) = 9 + (3x-4)(x+2);$

г) $5(2x+3)(x+2) - 2(5x-4)(x-1) = 12.$

а) $(x + 1)(x - 1) - (x - 2)(x + 3) = 0$

Раскроем скобки. Первое произведение $ (x + 1)(x - 1) $ является формулой разности квадратов, а второе произведение $ (x - 2)(x + 3) $ раскроем методом перемножения многочленов.

$(x^2 - 1^2) - (x \cdot x + 3x - 2x - 2 \cdot 3) = 0$

$(x^2 - 1) - (x^2 + x - 6) = 0$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные, так как перед скобкой стоит минус.

$x^2 - 1 - x^2 - x + 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые. $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются.

$-x + 5 = 0$

Перенесем 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$-x = -5$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы найти $x$.

$x = 5$

Ответ: 5

б) $(2x - 1)(x + 2) - (x - 5)(2x + 1) = 0$

Раскроем скобки путем перемножения многочленов.

$(2x \cdot x + 2x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2) - (x \cdot 2x + x \cdot 1 - 5 \cdot 2x - 5 \cdot 1) = 0$

$(2x^2 + 4x - x - 2) - (2x^2 + x - 10x - 5) = 0$

Приведем подобные слагаемые внутри каждой скобки.

$(2x^2 + 3x - 2) - (2x^2 - 9x - 5) = 0$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные.

$2x^2 + 3x - 2 - 2x^2 + 9x + 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые. $2x^2$ и $-2x^2$ взаимно уничтожаются.

$(3x + 9x) + (5 - 2) = 0$

$12x + 3 = 0$

Перенесем 3 в правую часть уравнения.

$12x = -3$

Разделим обе части на 12.

$x = -\frac{3}{12}$

Сократим дробь на 3.

$x = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

в) $3(x + 1)(x + 2) = 9 + (3x - 4)(x + 2)$

Перенесем выражение $(3x - 4)(x + 2)$ из правой части в левую с противоположным знаком.

$3(x + 1)(x + 2) - (3x - 4)(x + 2) = 9$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки.

$(x + 2)(3(x + 1) - (3x - 4)) = 9$

Упростим выражение во второй скобке.

$(x + 2)(3x + 3 - 3x + 4) = 9$

Приведем подобные слагаемые.

$(x + 2)(7) = 9$

$7(x + 2) = 9$

Раскроем скобки.

$7x + 14 = 9$

Перенесем 14 в правую часть.

$7x = 9 - 14$

$7x = -5$

Найдем $x$.

$x = -\frac{5}{7}$

Ответ: $-\frac{5}{7}$

г) $5(2x + 3)(x + 2) - 2(5x - 4)(x - 1) = 12$

Сначала раскроем скобки внутри каждого слагаемого.

$(2x + 3)(x + 2) = 2x^2 + 4x + 3x + 6 = 2x^2 + 7x + 6$

$(5x - 4)(x - 1) = 5x^2 - 5x - 4x + 4 = 5x^2 - 9x + 4$

Подставим эти выражения обратно в уравнение.

$5(2x^2 + 7x + 6) - 2(5x^2 - 9x + 4) = 12$

Теперь умножим полученные многочлены на коэффициенты 5 и -2.

$(10x^2 + 35x + 30) - (10x^2 - 18x + 8) = 12$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой.

$10x^2 + 35x + 30 - 10x^2 + 18x - 8 = 12$

Приведем подобные слагаемые. $10x^2$ и $-10x^2$ взаимно уничтожаются.

$(35x + 18x) + (30 - 8) = 12$

$53x + 22 = 12$

Перенесем 22 в правую часть.

$53x = 12 - 22$

$53x = -10$

Найдем $x$.

$x = -\frac{10}{53}$

Ответ: $-\frac{10}{53}$

978. Из папируса Ахмеса (ок. 2000 г. до н. э.). Решите уравнение:

а) $x + \frac{1}{5}x = 21;$

б) $(x + \frac{2}{3}x) - \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x) = 10;$

в) $x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = 10;$

г) $x + \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x = 37;$

д) $3x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x = 1.$

а) $x + \frac{1}{5}x = 21$

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения:

$x(1 + \frac{1}{5}) = 21$

Сложим числа в скобках, представив 1 как $\frac{5}{5}$:

$x(\frac{5}{5} + \frac{1}{5}) = 21$

$x \cdot \frac{6}{5} = 21$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на дробь, обратную $\frac{6}{5}$, то есть на $\frac{5}{6}$:

$x = 21 \cdot \frac{5}{6}$

$x = \frac{21 \cdot 5}{6} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{35}{2} = 17,5$

Ответ: $17,5$

б) $(x + \frac{2}{3}x) - \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x) = 10$

Заметим, что выражение в скобках $(x + \frac{2}{3}x)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:

$(x + \frac{2}{3}x) \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 10$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$x + \frac{2}{3}x = x(1 + \frac{2}{3}) = x(\frac{3}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{5}{3}x$

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$(\frac{5}{3}x) \cdot \frac{2}{3} = 10$

$\frac{10}{9}x = 10$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{9}{10}$:

$x = 10 \cdot \frac{9}{10}$

$x = 9$

Ответ: $9$

в) $x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = 10$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 10$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 4:

$x(\frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = 10$

$x \cdot \frac{4+2+1}{4} = 10$

$x \cdot \frac{7}{4} = 10$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{4}{7}$:

$x = 10 \cdot \frac{4}{7}$

$x = \frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{40}{7}$

г) $x + \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x = 37$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{7}) = 37$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3, 2 и 7 это $3 \cdot 2 \cdot 7 = 42$:

$x(\frac{42}{42} + \frac{2 \cdot 14}{42} + \frac{1 \cdot 21}{42} + \frac{1 \cdot 6}{42}) = 37$

$x(\frac{42}{42} + \frac{28}{42} + \frac{21}{42} + \frac{6}{42}) = 37$

$x \cdot \frac{42+28+21+6}{42} = 37$

$x \cdot \frac{97}{42} = 37$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{42}{97}$:

$x = 37 \cdot \frac{42}{97}$

$x = \frac{1554}{97}$

Ответ: $\frac{1554}{97}$

д) $3x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x = 1$

Сначала упростим третий член уравнения:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x = \frac{1}{9}x$

Теперь уравнение выглядит так:

$3x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x + \frac{1}{9}x = 1$

Сложим подобные слагаемые:

$3x + \frac{1}{3}x + \frac{2}{9}x = 1$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(3 + \frac{1}{3} + \frac{2}{9}) = 1$

Приведем числа в скобках к общему знаменателю 9:

$x(\frac{3 \cdot 9}{9} + \frac{1 \cdot 3}{9} + \frac{2}{9}) = 1$

$x(\frac{27}{9} + \frac{3}{9} + \frac{2}{9}) = 1$

$x \cdot \frac{27+3+2}{9} = 1$

$x \cdot \frac{32}{9} = 1$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{9}{32}$:

$x = \frac{9}{32}$

Ответ: $\frac{9}{32}$

Решите уравнение, считая, что a, b, c, y — данные числа, а x — неизвестное (979—982):

979. а) $x - a = 0$;

б) $x + a = 1$;

в) $x + a = 2b$;

г) $c + x = a - b$;

д) $x + y = 2$;

е) $y - 3 = a + x$.

а) В уравнении $x - a = 0$ неизвестным является $x$. Чтобы найти его, необходимо изолировать $x$ в одной части уравнения. Для этого перенесем $-a$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный.
$x = 0 + a$
$x = a$
Ответ: $x = a$.

б) В уравнении $x + a = 1$ для нахождения $x$ перенесем слагаемое $a$ из левой части в правую, поменяв его знак.
$x = 1 - a$
Ответ: $x = 1 - a$.

в) В уравнении $x + a = 2b$ изолируем $x$. Для этого вычтем $a$ из обеих частей уравнения, что равносильно переносу $a$ в правую часть с противоположным знаком.
$x = 2b - a$
Ответ: $x = 2b - a$.

г) В уравнении $c + x = a - b$ неизвестное $x$ находится в левой части. Чтобы найти его, перенесем слагаемое $c$ в правую часть, изменив его знак на минус.
$x = a - b - c$
Ответ: $x = a - b - c$.

д) В уравнении $x + y = 2$ поступаем аналогично: переносим известное слагаемое $y$ в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$x = 2 - y$
Ответ: $x = 2 - y$.

е) В уравнении $y - 3 = a + x$ неизвестное $x$ находится в правой части. Чтобы его найти, перенесем слагаемое $a$ из правой части в левую с противоположным знаком.
$y - 3 - a = x$
Для удобства поменяем местами левую и правую части уравнения.
$x = y - 3 - a$
Ответ: $x = y - a - 3$.

980. а) $2x = a$;

б) $ax = 1, a \neq 0$;

в) $bx = c, b \neq 0$;

г) $cx = -y, c \neq 0$;

д) $xy = 0,5, y \neq 0$;

е) $-ax = b, a \neq 0$.

а) В уравнении $2x = a$ переменная x является одним из множителей. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (a) разделить на известный множитель (2).
$x = a : 2$
$x = \frac{a}{2}$
Ответ: $x = \frac{a}{2}$

б) Дано уравнение $ax = 1$ с условием $a \neq 0$. Чтобы выразить x, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент a. Это возможно, так как a не равно нулю.
$\frac{ax}{a} = \frac{1}{a}$
$x = \frac{1}{a}$
Ответ: $x = \frac{1}{a}$

в) В уравнении $bx = c$ с условием $b \neq 0$, чтобы найти x, нужно разделить произведение (c) на известный множитель (b). Деление возможно, поскольку $b \neq 0$.
$x = c : b$
$x = \frac{c}{b}$
Ответ: $x = \frac{c}{b}$

г) Дано уравнение $cx = -y$ с условием $c \neq 0$. Чтобы выразить переменную x, разделим обе части уравнения на коэффициент c. Условие $c \neq 0$ делает эту операцию возможной.
$\frac{cx}{c} = \frac{-y}{c}$
$x = -\frac{y}{c}$
Ответ: $x = -\frac{y}{c}$

д) В уравнении $xy = 0,5$ с условием $y \neq 0$ переменные x и y являются сомножителями. Чтобы выразить x, разделим произведение (0,5) на известный множитель (y). Деление на y допустимо, так как $y \neq 0$.
$x = 0,5 : y$
$x = \frac{0,5}{y}$
Ответ: $x = \frac{0,5}{y}$

е) Дано уравнение $-ax = b$ с условием $a \neq 0$. Чтобы найти x, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при x, то есть на $-a$. Так как $a \neq 0$, то и $-a \neq 0$, поэтому деление возможно.
$\frac{-ax}{-a} = \frac{b}{-a}$
$x = -\frac{b}{a}$
Ответ: $x = -\frac{b}{a}$

981. a) $6(x - a) = 7(x + b)$;

б) $5(x + b) = 3(a - x)$;

в) $a(b + x) = 3a - (x - a)b, a + b \ne 0$;

г) $2a - (a + b)x = (a - b)x, a \ne 0$;

д) $c - (c + a)x = (a - c)x - (b + ax), a \ne 0$;

e) $ax - b(a - x) = c(b - x) - b(c - x), a + c \ne 0$.

а) $6(x - a) = 7(x + b)$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки в обеих частях:

$6x - 6a = 7x + 7b$

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие переменную x, в левой части уравнения, а остальные слагаемые (свободные члены) — в правой:

$6x - 7x = 6a + 7b$

Приведем подобные слагаемые:

$-x = 6a + 7b$

Чтобы найти x, умножим обе части уравнения на -1:

$x = -(6a + 7b)$

$x = -6a - 7b$

Ответ: $x = -6a - 7b$

б) $5(x + b) = 3(a - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5x + 5b = 3a - 3x$

Перенесем слагаемые с x в левую часть, а остальные — в правую:

$5x + 3x = 3a - 5b$

Приведем подобные слагаемые:

$8x = 3a - 5b$

Разделим обе части на 8, чтобы выразить x:

$x = \frac{3a - 5b}{8}$

Ответ: $x = \frac{3a - 5b}{8}$

в) $a(b + x) = 3a - (x - a)b$, при условии $a + b \neq 0$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ab + ax = 3a - xb + ab$

Перенесем слагаемые с x в левую часть, а свободные члены — в правую. Заметим, что ab есть в обеих частях, поэтому оно сокращается:

$ax + xb = 3a + ab - ab$

$ax + bx = 3a$

Вынесем x за скобки в левой части:

$x(a + b) = 3a$

Поскольку по условию $a + b \neq 0$, мы можем разделить обе части на $(a+b)$:

$x = \frac{3a}{a + b}$

Ответ: $x = \frac{3a}{a + b}$

г) $2a - (a + b)x = (a - b)x$, при условии $a \neq 0$

Перенесем все слагаемые с x в правую часть уравнения:

$2a = (a - b)x + (a + b)x$

Вынесем x за скобки в правой части:

$2a = x((a - b) + (a + b))$

Упростим выражение в скобках:

$2a = x(a - b + a + b)$

$2a = x(2a)$

Поскольку по условию $a \neq 0$, то и $2a \neq 0$. Разделим обе части на $2a$:

$x = \frac{2a}{2a}$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$

д) $c - (c + a)x = (a - c)x - (b + ax)$, при условии $a \neq 0$

Сначала раскроем скобки в правой части:

$c - (c + a)x = (a - c)x - b - ax$

Сгруппируем все слагаемые с x в правой части, а свободные члены — в левой:

$c + b = (a - c)x + (c + a)x - ax$

Вынесем x за скобки в правой части:

$c + b = x((a - c) + (c + a) - a)$

Упростим выражение в скобках:

$c + b = x(a - c + c + a - a)$

$c + b = x(a)$

$ax = b + c$

Так как по условию $a \neq 0$, разделим обе части на a:

$x = \frac{b + c}{a}$

Ответ: $x = \frac{b + c}{a}$

е) $ax - b(a - x) = c(b - x) - b(c - x)$, при условии $a + c \neq 0$

Раскроем все скобки в уравнении:

$ax - ab + bx = cb - cx - (bc - bx)$

$ax - ab + bx = cb - cx - bc + bx$

Слагаемое bx присутствует в обеих частях уравнения, поэтому его можно сократить. Также $cb - bc = 0$.

$ax - ab = -cx$

Перенесем слагаемое с x в левую часть, а свободный член — в правую:

$ax + cx = ab$

Вынесем x за скобки:

$x(a + c) = ab$

По условию $a + c \neq 0$, поэтому мы можем разделить обе части на $(a+c)$:

$x = \frac{ab}{a + c}$

Ответ: $x = \frac{ab}{a + c}$

982. а) $(x + a) + (2x - 3a) = a$;

Б) $(2b - 3x) + (x - 5b) = 4x + 6b$;

В) $(2x - c) - (5c - x) = 3c$;

Г) $3x - (a - 2x) = 7x - (x + 3a)$.

а) Решим уравнение $(x + a) + (2x - 3a) = a$.
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Поскольку перед обеими скобками стоит знак плюс (или он отсутствует, что эквивалентно плюсу), мы можем просто убрать их:
$x + a + 2x - 3a = a$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с переменной $x$ и члены с параметром $a$.
$(x + 2x) + (a - 3a) = a$
$3x - 2a = a$
Чтобы изолировать слагаемое с $x$, перенесем $-2a$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:
$3x = a + 2a$
$3x = 3a$
Наконец, разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{3a}{3}$
$x = a$
Ответ: $x = a$.

б) Решим уравнение $(2b - 3x) + (x - 5b) = 4x + 6b$.
Раскроем скобки в левой части:
$2b - 3x + x - 5b = 4x + 6b$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(-3x + x) + (2b - 5b) = 4x + 6b$
$-2x - 3b = 4x + 6b$
Теперь соберем все слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а все слагаемые с $b$ — в другой. Перенесем $-2x$ вправо, а $6b$ — влево, меняя их знаки:
$-3b - 6b = 4x + 2x$
$-9b = 6x$
Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на 6:
$x = \frac{-9b}{6}$
Сократим полученную дробь на 3:
$x = -\frac{3}{2}b$
Ответ: $x = -\frac{3}{2}b$.

в) Решим уравнение $(2x - c) - (5c - x) = 3c$.
Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки внутри нее меняются на противоположные:
$2x - c - 5c + x = 3c$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:
$(2x + x) + (-c - 5c) = 3c$
$3x - 6c = 3c$
Перенесем слагаемое $-6c$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$3x = 3c + 6c$
$3x = 9c$
Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{9c}{3}$
$x = 3c$
Ответ: $x = 3c$.

г) Решим уравнение $3x - (a - 2x) = 7x - (x + 3a)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Так как перед обеими скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные:
$3x - a + 2x = 7x - x - 3a$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения по отдельности:
$(3x + 2x) - a = (7x - x) - 3a$
$5x - a = 6x - 3a$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону (например, вправо), а остальные слагаемые — в другую (влево):
$-a + 3a = 6x - 5x$
Приведем подобные слагаемые:
$2a = x$
Ответ: $x = 2a$.

983. Решите уравнение, считая, что a, b, k, m, n, p, q, y — данные числа, а x — неизвестное:

а) $ax = 3 + b;$

б) $2px = q;$

в) $kx + y = 0;$

г) $2yx - q = 3;$

д) $2m - nx = 1;$

е) $3a^2b - 6abx = ab.$

а) Решим уравнение $ax = 3 + b$ относительно $x$.

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при нем, то есть на $a$. Необходимо рассмотреть случаи, когда $a$ равно нулю и когда не равно.

Если $a \ne 0$, то, разделив обе части на $a$, получаем:

$x = \frac{3 + b}{a}$

Если $a = 0$, то исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3 + b$, или $0 = 3 + b$.

• При $b = -3$, равенство $0 = 3 + (-3)$ становится верным тождеством $0=0$. В этом случае уравнение имеет бесконечно много решений, то есть $x$ — любое число.
• При $b \ne -3$, равенство $0 = 3 + b$ является ложным, и уравнение не имеет решений (корней нет).

Ответ: если $a \ne 0$, то $x = \frac{3 + b}{a}$; если $a = 0$ и $b = -3$, то $x$ — любое число; если $a = 0$ и $b \ne -3$, то корней нет.

б) Решим уравнение $2px = q$ относительно $x$.

Коэффициент при $x$ равен $2p$. Решение зависит от того, равен ли этот коэффициент нулю.

Если $2p \ne 0$ (то есть $p \ne 0$), разделим обе части на $2p$:

$x = \frac{q}{2p}$

Если $2p = 0$ (то есть $p = 0$), уравнение принимает вид $0 \cdot x = q$, или $0 = q$.

• При $q = 0$, получаем верное тождество $0=0$. Решением является любое число $x$.
• При $q \ne 0$, равенство $0=q$ ложно, и уравнение не имеет решений.

Ответ: если $p \ne 0$, то $x = \frac{q}{2p}$; если $p = 0$ и $q = 0$, то $x$ — любое число; если $p = 0$ и $q \ne 0$, то корней нет.

в) Решим уравнение $kx + y = 0$ относительно $x$.

Сначала изолируем слагаемое с $x$, перенеся $y$ в правую часть:

$kx = -y$

Теперь рассмотрим случаи в зависимости от коэффициента $k$.

Если $k \ne 0$, разделим обе части на $k$:

$x = \frac{-y}{k}$ или $x = -\frac{y}{k}$

Если $k = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -y$, или $0 = -y$, что равносильно $y=0$.

• При $y = 0$, получаем верное тождество $0=0$. Решением является любое число $x$.
• При $y \ne 0$, равенство $0=-y$ ложно, и уравнение не имеет решений.

Ответ: если $k \ne 0$, то $x = -\frac{y}{k}$; если $k = 0$ и $y = 0$, то $x$ — любое число; если $k = 0$ и $y \ne 0$, то корней нет.

г) Решим уравнение $2yx - q = 3$ относительно $x$.

Перенесем $q$ в правую часть уравнения:

$2yx = 3 + q$

Коэффициент при $x$ равен $2y$. Рассмотрим случаи в зависимости от этого коэффициента.

Если $2y \ne 0$ (то есть $y \ne 0$), разделим обе части на $2y$:

$x = \frac{3 + q}{2y}$

Если $2y = 0$ (то есть $y = 0$), уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3 + q$, или $0 = 3 + q$.

• При $q = -3$, получаем верное тождество $0 = 3 + (-3)$, то есть $0=0$. Решением является любое число $x$.
• При $q \ne -3$, равенство ложно, и уравнение не имеет решений.

Ответ: если $y \ne 0$, то $x = \frac{3 + q}{2y}$; если $y = 0$ и $q = -3$, то $x$ — любое число; если $y = 0$ и $q \ne -3$, то корней нет.

д) Решим уравнение $2m - nx = 1$ относительно $x$.

Сначала изолируем слагаемое с $x$:

$-nx = 1 - 2m$

Умножим обе части на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед $nx$:

$nx = -(1 - 2m)$

$nx = 2m - 1$

Коэффициент при $x$ равен $n$.

Если $n \ne 0$, разделим обе части на $n$:

$x = \frac{2m - 1}{n}$

Если $n = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 2m - 1$, или $0 = 2m - 1$.

• При $2m - 1 = 0$ (то есть $m = \frac{1}{2}$), получаем верное тождество $0=0$. Решением является любое число $x$.
• При $2m - 1 \ne 0$ (то есть $m \ne \frac{1}{2}$), равенство ложно, и уравнение не имеет решений.

Ответ: если $n \ne 0$, то $x = \frac{2m - 1}{n}$; если $n = 0$ и $m = \frac{1}{2}$, то $x$ — любое число; если $n = 0$ и $m \ne \frac{1}{2}$, то корней нет.

е) Решим уравнение $3a^2b - 6abx = ab$ относительно $x$.

Изолируем слагаемое с $x$:

$-6abx = ab - 3a^2b$

Умножим обе части на $-1$:

$6abx = 3a^2b - ab$

Коэффициент при $x$ равен $6ab$.

Если $6ab \ne 0$ (то есть $a \ne 0$ и $b \ne 0$), разделим обе части на $6ab$:

$x = \frac{3a^2b - ab}{6ab}$

Вынесем общий множитель $ab$ в числителе и сократим дробь:

$x = \frac{ab(3a - 1)}{6ab} = \frac{3a - 1}{6}$

Если $6ab = 0$, это означает, что либо $a=0$, либо $b=0$.

• Если $a = 0$, исходное уравнение становится $3 \cdot 0^2 \cdot b - 6 \cdot 0 \cdot b \cdot x = 0 \cdot b$, что дает $0 - 0 = 0$, или $0=0$. Это верно для любого $x$.
• Если $b = 0$, исходное уравнение становится $3a^2 \cdot 0 - 6a \cdot 0 \cdot x = a \cdot 0$, что также дает $0=0$. Это верно для любого $x$.

Таким образом, если хотя бы один из параметров $a$ или $b$ равен нулю, решением является любое число.

Ответ: если $a \ne 0$ и $b \ne 0$, то $x = \frac{3a - 1}{6}$; если $a = 0$ или $b = 0$, то $x$ — любое число.

984. Из «Арифметики» Диофанта (III в.). Решите уравнение

$(b + x)a = \frac{(a + b)x + (a + x)b}{2}$

где $x$ — неизвестное, $a$ и $b$ — известные числа.

Определите, при каком условии:

a) уравнение имеет единственный корень;

б) уравнение не имеет корней;

в) корнем уравнения является любое число $x$.

Для решения данного уравнения и анализа его корней в зависимости от параметров $a$ и $b$ преобразуем его к более простому виду.
Исходное уравнение:$(b + x)a = \frac{(a + b)x + (a + x)b}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:$2a(b + x) = (a + b)x + (a + x)b$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:$2ab + 2ax = ax + bx + ab + bx$

Приведем подобные слагаемые в правой части:$2ab + 2ax = ax + 2bx + ab$

Сгруппируем все слагаемые с неизвестным $x$ в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:$2ax - ax - 2bx = ab - 2ab$

Упростим обе части:$ax - 2bx = -ab$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:$x(a - 2b) = -ab$

Полученное уравнение является линейным уравнением вида $Kx = C$, где коэффициент $K = a - 2b$ и свободный член $C = -ab$. Количество решений такого уравнения зависит от значений $K$ и $C$. Рассмотрим три возможных случая.

а) уравнение имеет единственный корень;
Линейное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при неизвестном не равен нулю, то есть $K \neq 0$.
В нашем случае это означает, что $a - 2b \neq 0$, или $a \neq 2b$.
При выполнении этого условия корень уравнения можно найти по формуле $x = \frac{C}{K}$:$x = \frac{-ab}{a - 2b}$ или $x = \frac{ab}{2b - a}$.
Ответ: Уравнение имеет единственный корень при условии $a \neq 2b$.

б) уравнение не имеет корней;
Линейное уравнение не имеет корней, если коэффициент при неизвестном равен нулю ($K = 0$), а свободный член не равен нулю ($C \neq 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = C$ (где $C \neq 0$), что является неверным равенством.
Условие $K=0$ дает нам $a - 2b = 0$, то есть $a = 2b$.
Условие $C \neq 0$ дает нам $-ab \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Если $a=2b$ и при этом $b \neq 0$, то и $a$ также не будет равно нулю. Таким образом, оба условия ($K=0$ и $C \neq 0$) выполняются одновременно, если $a = 2b$ и $b \neq 0$.
Ответ: Уравнение не имеет корней при условии $a = 2b$ и $b \neq 0$.

в) корнем уравнения является любое число x.
Корнем уравнения является любое число $x$, если уравнение сводится к тождеству $0 \cdot x = 0$. Это происходит, когда и коэффициент при неизвестном, и свободный член равны нулю, то есть $K = 0$ и $C = 0$.
Условие $K=0$ дает нам $a - 2b = 0$, то есть $a = 2b$.
Условие $C=0$ дает нам $-ab = 0$, что означает $a=0$ или $b=0$.
Чтобы оба условия выполнялись одновременно, нужно, чтобы $a=2b$ и при этом $a=0$ или $b=0$.
Если $b=0$, то из $a=2b$ следует, что $a=0$.
Если $a=0$, то из $a=2b$ следует, что $0=2b$, откуда $b=0$.
Таким образом, оба условия выполняются только в одном случае: когда $a=0$ и $b=0$.
Ответ: Корнем уравнения является любое число $x$ при условии $a = 0$ и $b = 0$.