Номер 941, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 941, страница 245.

Условие.

941. a)

$\frac{\left( \frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53 \right) : (152,5^2 - 27,5^2)}{\left( 36,5^2 - 17,5^2 \right) : \left( \frac{57^3 + 33^3}{90} - 57 \cdot 33 \right)};$

б) $\frac{\left( 94,5^2 - 30,5^2 \right) : \left( \frac{69^3 + 29^3}{98} - 69 \cdot 29 \right)}{\left( 133,5^2 - 58,5^2 \right) : \left( \frac{79^3 - 41^3}{38} + 79 \cdot 41 \right)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Решим данное выражение по действиям. Все выражение представляет собой большую дробь. Сначала вычислим значение ее числителя, а затем знаменателя.

1. Вычислим числитель: $ \left(\frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53\right) : (152,5^2 - 27,5^2) $.

а) Упростим первое выражение в скобках $ \frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53 $. Для этого применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $:

$ \frac{97^3 - 53^3}{44} = \frac{(97 - 53)(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)}{44} = \frac{44(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)}{44} = 97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2 $.

Теперь подставим это обратно в выражение в скобках:

$ (97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2) + 97 \cdot 53 = 97^2 + 2 \cdot 97 \cdot 53 + 53^2 $.

Полученное выражение является полным квадратом суммы по формуле $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ 97^2 + 2 \cdot 97 \cdot 53 + 53^2 = (97 + 53)^2 = 150^2 $.

б) Упростим второе выражение в скобках $ 152,5^2 - 27,5^2 $. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $:

$ 152,5^2 - 27,5^2 = (152,5 - 27,5)(152,5 + 27,5) = 125 \cdot 180 $.

в) Выполним деление результатов из пунктов (а) и (б):

$ 150^2 : (125 \cdot 180) = \frac{150 \cdot 150}{125 \cdot 180} = \frac{22500}{22500} = 1 $.

Итак, числитель всей дроби равен 1.

2. Вычислим знаменатель: $ (36,5^2 - 17,5^2) : \left(\frac{57^3 + 33^3}{90} - 57 \cdot 33\right) $.

а) Упростим первое выражение $ 36,5^2 - 17,5^2 $ по формуле разности квадратов:

$ 36,5^2 - 17,5^2 = (36,5 - 17,5)(36,5 + 17,5) = 19 \cdot 54 $.

б) Упростим второе выражение в скобках $ \frac{57^3 + 33^3}{90} - 57 \cdot 33 $. Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $:

$ \frac{57^3 + 33^3}{90} = \frac{(57 + 33)(57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2)}{90} = \frac{90(57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2)}{90} = 57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2 $.

Подставим обратно в выражение в скобках:

$ (57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2) - 57 \cdot 33 = 57^2 - 2 \cdot 57 \cdot 33 + 33^2 $.

Это формула квадрата разности $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ 57^2 - 2 \cdot 57 \cdot 33 + 33^2 = (57 - 33)^2 = 24^2 $.

в) Выполним деление:

$ (19 \cdot 54) : 24^2 = \frac{19 \cdot 54}{24 \cdot 24} = \frac{19 \cdot (9 \cdot 6)}{4 \cdot 6 \cdot 24} = \frac{19 \cdot 9}{4 \cdot 24} = \frac{19 \cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 8 \cdot 3} = \frac{19 \cdot 3}{32} = \frac{57}{32} $.

Итак, знаменатель всей дроби равен $ \frac{57}{32} $.

3. Найдем значение исходного выражения, разделив числитель на знаменатель:

$ 1 : \frac{57}{32} = 1 \cdot \frac{32}{57} = \frac{32}{57} $.

Ответ: $ \frac{32}{57} $.

---

б)

Решим данное выражение аналогично предыдущему пункту, вычислив числитель и знаменатель большой дроби.

1. Вычислим числитель: $ (94,5^2 - 30,5^2) : \left(\frac{69^3 + 29^3}{98} - 69 \cdot 29\right) $.

а) Упростим первое выражение $ 94,5^2 - 30,5^2 $ по формуле разности квадратов:

$ 94,5^2 - 30,5^2 = (94,5 - 30,5)(94,5 + 30,5) = 64 \cdot 125 $.

б) Упростим второе выражение в скобках $ \frac{69^3 + 29^3}{98} - 69 \cdot 29 $. Применим формулу суммы кубов:

$ \frac{69^3 + 29^3}{98} = \frac{(69 + 29)(69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2)}{98} = \frac{98(69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2)}{98} = 69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2 $.

Подставим обратно и получим:

$ (69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2) - 69 \cdot 29 = 69^2 - 2 \cdot 69 \cdot 29 + 29^2 $.

Это формула квадрата разности:

$ 69^2 - 2 \cdot 69 \cdot 29 + 29^2 = (69 - 29)^2 = 40^2 $.

в) Выполним деление:

$ (64 \cdot 125) : 40^2 = \frac{64 \cdot 125}{40 \cdot 40} = \frac{8000}{1600} = 5 $.

Итак, числитель всей дроби равен 5.

2. Вычислим знаменатель: $ (133,5^2 - 58,5^2) : \left(\frac{79^3 - 41^3}{38} + 79 \cdot 41\right) $.

а) Упростим первое выражение $ 133,5^2 - 58,5^2 $ по формуле разности квадратов:

$ 133,5^2 - 58,5^2 = (133,5 - 58,5)(133,5 + 58,5) = 75 \cdot 192 $.

б) Упростим второе выражение в скобках $ \frac{79^3 - 41^3}{38} + 79 \cdot 41 $. Применим формулу разности кубов:

$ \frac{79^3 - 41^3}{38} = \frac{(79 - 41)(79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2)}{38} = \frac{38(79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2)}{38} = 79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2 $.

Подставим обратно и получим:

$ (79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2) + 79 \cdot 41 = 79^2 + 2 \cdot 79 \cdot 41 + 41^2 $.

Это формула квадрата суммы:

$ 79^2 + 2 \cdot 79 \cdot 41 + 41^2 = (79 + 41)^2 = 120^2 $.

в) Выполним деление:

$ (75 \cdot 192) : 120^2 = \frac{75 \cdot 192}{120 \cdot 120} = \frac{14400}{14400} = 1 $.

Итак, знаменатель всей дроби равен 1.

3. Найдем значение исходного выражения, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{5}{1} = 5 $.

Ответ: $ 5 $.