Номер 940, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 940, страница 245.

Условие.

940. a) $ \frac{(12,4^2 - 4 \cdot 2^2) \cdot 0,49}{0,5^3 - 0,3^3} $;

б) $ \frac{0,8^3 + 0,3^3}{(7,5^2 - 3,1^2) \cdot 0,049} $;

в) $ \frac{14^2 - 15^2 + 6^2}{12^2 - 13^2 + 15^2} $;

г) $ \frac{19^2 - 2 \cdot 19 \cdot 18 + 18^2}{0,7^3 - 0,9^3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

a) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы сокращенного умножения.
В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(12,4^2 - 4,2^2) \cdot 0,49 = (12,4 - 4,2)(12,4 + 4,2) \cdot 0,49 = 8,2 \cdot 16,6 \cdot 0,49$.
В знаменателе применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$0,5^3 - 0,3^3 = (0,5 - 0,3)(0,5^2 + 0,5 \cdot 0,3 + 0,3^2) = 0,2 \cdot (0,25 + 0,15 + 0,09) = 0,2 \cdot 0,49$.
Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь и выполним вычисления:
$\frac{8,2 \cdot 16,6 \cdot 0,49}{0,2 \cdot 0,49} = \frac{8,2 \cdot 16,6}{0,2} = 41 \cdot 16,6 = 680,6$.
Ответ: $680,6$.

б) Упростим числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения.
В числителе применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$0,8^3 + 0,3^3 = (0,8 + 0,3)(0,8^2 - 0,8 \cdot 0,3 + 0,3^2) = 1,1 \cdot (0,64 - 0,24 + 0,09) = 1,1 \cdot 0,49$.
В знаменателе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(7,5^2 - 3,1^2) \cdot 0,049 = (7,5 - 3,1)(7,5 + 3,1) \cdot 0,049 = 4,4 \cdot 10,6 \cdot 0,049$.
Подставим полученные значения в дробь:
$\frac{1,1 \cdot 0,49}{4,4 \cdot 10,6 \cdot 0,049}$.
Заметим, что $0,49 = 10 \cdot 0,049$, и сократим общие множители:
$\frac{1,1 \cdot 10 \cdot 0,049}{4,4 \cdot 10,6 \cdot 0,049} = \frac{1,1 \cdot 10}{4,4 \cdot 10,6} = \frac{11}{4,4 \cdot 10,6}$.
Сократим дробь $\frac{11}{4,4}$, разделив числитель и знаменатель на 1,1: $\frac{11}{4,4} = \frac{10}{4}$.
$\frac{10}{4 \cdot 10,6} = \frac{5}{2 \cdot 10,6} = \frac{5}{21,2} = \frac{50}{212} = \frac{25}{106}$.
Ответ: $\frac{25}{106}$.

в) Для решения этого примера вычислим значения квадратов чисел и выполним арифметические действия.
Вычислим числитель:
$14^2 - 15^2 + 6^2 = 196 - 225 + 36 = -29 + 36 = 7$.
Для удобства можно было использовать формулу разности квадратов:
$(14-15)(14+15) + 36 = (-1) \cdot 29 + 36 = 7$.
Вычислим знаменатель:
$12^2 - 13^2 + 15^2 = 144 - 169 + 225 = -25 + 225 = 200$.
Аналогично, с использованием формулы разности квадратов:
$(12-13)(12+13) + 225 = (-1) \cdot 25 + 225 = 200$.
В результате получаем дробь:
$\frac{7}{200}$.
Эту дробь можно представить в виде десятичной: $\frac{7}{200} = \frac{3,5}{100} = 0,035$.
Ответ: $\frac{7}{200}$ (или $0,035$).

г) Упростим числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения.
Числитель представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$19^2 - 2 \cdot 19 \cdot 18 + 18^2 = (19 - 18)^2 = 1^2 = 1$.
В знаменателе применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$0,7^3 - 0,9^3 = (0,7 - 0,9)(0,7^2 + 0,7 \cdot 0,9 + 0,9^2) = -0,2 \cdot (0,49 + 0,63 + 0,81) = -0,2 \cdot 1,93 = -0,386$.
Подставим полученные значения в дробь:
$\frac{1}{-0,386} = -\frac{1}{0,386} = -\frac{1000}{386}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$-\frac{1000}{386} = -\frac{500}{193}$.
Ответ: $-\frac{500}{193}$.