Номер 942, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 942, страница 245.

Условие.

942. Сократите дробь:

а) $\frac{8a^2c + 16abc - 4ac^2}{6bc^2 - 12abc - 24b^2c}$;

б) $\frac{30m^2k - 70mnk - 40mk^2}{56n^2k + 32nk^2 - 24mnk}$;

В) $\frac{15a^3bc - 30a^2b^2c + 15ab^3c}{12a^3c^2 - 12ab^2c^2}$;

Г) $\frac{80m^2n^3k^2 - 20m^4nk^2}{16m^3nk^2 - 64m^2n^2k^2 + 64mn^3k^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $\frac{8a^2c + 16abc - 4ac^2}{6bc^2 - 12abc - 24b^2c}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим на множители числитель. Найдем общий множитель для всех членов выражения $8a^2c + 16abc - 4ac^2$. Общий числовой множитель для 8, 16 и -4 равен 4. Общие переменные - $a$ и $c$. Наименьшая степень для $a$ - первая, для $c$ - первая. Таким образом, общий множитель - $4ac$. Вынесем его за скобки:
$8a^2c + 16abc - 4ac^2 = 4ac(2a + 4b - c)$

2. Разложим на множители знаменатель. Найдем общий множитель для всех членов выражения $6bc^2 - 12abc - 24b^2c$. Общий числовой множитель для 6, -12 и -24 равен 6. Общие переменные - $b$ и $c$. Наименьшая степень для $b$ - первая, для $c$ - первая. Таким образом, общий множитель - $6bc$. Вынесем его за скобки:
$6bc^2 - 12abc - 24b^2c = 6bc(c - 2a - 4b)$

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{4ac(2a + 4b - c)}{6bc(c - 2a - 4b)}$

4. Заметим, что выражение в скобках в знаменателе $(c - 2a - 4b)$ является противоположным выражению в скобках в числителе $(2a + 4b - c)$. Вынесем знак минус из скобок в знаменателе:
$c - 2a - 4b = -( -c + 2a + 4b) = -(2a + 4b - c)$
Тогда дробь примет вид:
$\frac{4ac(2a + 4b - c)}{-6bc(2a + 4b - c)}$

5. Сократим общий множитель $(2a + 4b - c)$, а также общие множители $2$ и $c$ в оставшейся части дроби:
$\frac{4a}{-6b} = -\frac{2 \cdot 2 \cdot a}{2 \cdot 3 \cdot b} = -\frac{2a}{3b}$

Ответ: $-\frac{2a}{3b}$

б) $\frac{30m^2k - 70mnk - 40mk^2}{56n^2k + 32nk^2 - 24mnk}$

1. В числителе $30m^2k - 70mnk - 40mk^2$ вынесем за скобки общий множитель $10mk$:
$10mk(3m - 7n - 4k)$

2. В знаменателе $56n^2k + 32nk^2 - 24mnk$ вынесем за скобки общий множитель $8nk$:
$8nk(7n + 4k - 3m)$

3. Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{10mk(3m - 7n - 4k)}{8nk(7n + 4k - 3m)}$

4. Выражение в скобках в знаменателе $(7n + 4k - 3m)$ противоположно выражению в числителе $(3m - 7n - 4k)$. Вынесем минус в знаменателе:
$7n + 4k - 3m = -( -7n - 4k + 3m) = -(3m - 7n - 4k)$
Дробь станет равна:
$\frac{10mk(3m - 7n - 4k)}{-8nk(3m - 7n - 4k)}$

5. Сократим общий множитель $(3m - 7n - 4k)$, а также общие множители $2$ и $k$ в оставшейся части дроби:
$\frac{10m}{-8n} = -\frac{2 \cdot 5 \cdot m}{2 \cdot 4 \cdot n} = -\frac{5m}{4n}$

Ответ: $-\frac{5m}{4n}$

в) $\frac{15a^3bc - 30a^2b^2c + 15ab^3c}{12a^3c^2 - 12ab^2c^2}$

1. В числителе вынесем общий множитель $15abc$ и применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$15a^3bc - 30a^2b^2c + 15ab^3c = 15abc(a^2 - 2ab + b^2) = 15abc(a-b)^2$

2. В знаменателе вынесем общий множитель $12ac^2$ и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$12a^3c^2 - 12ab^2c^2 = 12ac^2(a^2 - b^2) = 12ac^2(a-b)(a+b)$

3. Запишем дробь в новом виде:
$\frac{15abc(a-b)^2}{12ac^2(a-b)(a+b)}$

4. Сократим общие множители. Коэффициенты 15 и 12 сокращаются на 3. Переменные $a$ и $c$ также сокращаются. Множитель $(a-b)$ сокращается:
$\frac{15abc(a-b)^2}{12ac^2(a-b)(a+b)} = \frac{5 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot c \cdot (a-b) \cdot (a-b)}{4 \cdot 3 \cdot a \cdot c \cdot c \cdot (a-b) \cdot (a+b)} = \frac{5b(a-b)}{4c(a+b)}$

Ответ: $\frac{5b(a-b)}{4c(a+b)}$

г) $\frac{80m^2n^3k^2 - 20m^4nk^2}{16m^3nk^2 - 64m^2n^2k^2 + 64mn^3k^2}$

1. В числителе вынесем общий множитель $20m^2nk^2$ и применим формулу разности квадратов:
$80m^2n^3k^2 - 20m^4nk^2 = 20m^2nk^2(4n^2 - m^2) = 20m^2nk^2(2n-m)(2n+m)$

2. В знаменателе вынесем общий множитель $16mnk^2$ и применим формулу квадрата разности:
$16m^3nk^2 - 64m^2n^2k^2 + 64mn^3k^2 = 16mnk^2(m^2 - 4mn + 4n^2) = 16mnk^2(m-2n)^2$

3. Запишем дробь в новом виде:
$\frac{20m^2nk^2(2n-m)(2n+m)}{16mnk^2(m-2n)^2}$

4. Заметим, что $(2n-m) = -(m-2n)$. Подставим это в числитель:
$\frac{20m^2nk^2(-(m-2n))(2n+m)}{16mnk^2(m-2n)^2} = \frac{-20m^2nk^2(m-2n)(m+2n)}{16mnk^2(m-2n)^2}$

5. Сократим общие множители. Коэффициенты 20 и 16 сокращаются на 4. Переменные $m, n, k$ также сокращаются. Множитель $(m-2n)$ сокращается:
$\frac{-5 \cdot 4 \cdot m \cdot m \cdot n \cdot k^2 \cdot (m-2n) \cdot (m+2n)}{4 \cdot 4 \cdot m \cdot n \cdot k^2 \cdot (m-2n) \cdot (m-2n)} = \frac{-5m(m+2n)}{4(m-2n)}$

Ответ: $-\frac{5m(m+2n)}{4(m-2n)}$