Номер 938, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 938, страница 244.

Условие.

938. a) $\frac{1}{2} + \frac{53^2 - 27^2}{31^2 - 25} - \frac{53^2 - 27^2}{58^2 - 22^2}$;

б) $\frac{77^3 - 69^3}{70^2 - 62^2} - \frac{77^3 + 41^3}{125^2 - 49} - \frac{1}{2}$;

в) $\frac{65^2 - 32^2 - 97 \cdot 11}{61^2 - 36^2} + \frac{56^2 - 26^2}{66^2 - 16^2}$;

г) $\frac{109^2 + 160 \cdot 32 - 51^2}{139^2 - 11^2} + \frac{42^2 - 36}{84^2 - 12^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Сначала упростим дроби в выражении.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{53^2 - 27^2}{31^2 - 25}$.
Преобразуем числитель: $53^2 - 27^2 = (53-27)(53+27) = 26 \cdot 80$.
Преобразуем знаменатель: $31^2 - 25 = 31^2 - 5^2 = (31-5)(31+5) = 26 \cdot 36$.
Таким образом, первая дробь равна $\frac{26 \cdot 80}{26 \cdot 36} = \frac{80}{36}$. Сократив на 4, получаем $\frac{20}{9}$.

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{53^2 - 27^2}{58^2 - 22^2}$.
Числитель такой же, как и у первой дроби: $26 \cdot 80$.
Преобразуем знаменатель: $58^2 - 22^2 = (58-22)(58+22) = 36 \cdot 80$.
Таким образом, вторая дробь равна $\frac{26 \cdot 80}{36 \cdot 80} = \frac{26}{36}$. Сократив на 2, получаем $\frac{13}{18}$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{1}{2} + \frac{20}{9} - \frac{13}{18}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} + \frac{20 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{13}{18} = \frac{9}{18} + \frac{40}{18} - \frac{13}{18} = \frac{9 + 40 - 13}{18} = \frac{49 - 13}{18} = \frac{36}{18} = 2$.

Ответ: 2

б)

Для решения этого примера воспользуемся формулами разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{77^3 - 69^3}{70^2 - 62^2}$.
Числитель: $77^3 - 69^3 = (77-69)(77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2) = 8(77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2)$.
Знаменатель: $70^2 - 62^2 = (70-62)(70+62) = 8 \cdot 132$.
Первая дробь: $\frac{8(77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2)}{8 \cdot 132} = \frac{77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2}{132}$.

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{77^3 + 41^3}{125^2 - 49}$.
Числитель: $77^3 + 41^3 = (77+41)(77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2) = 118(77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2)$.
Знаменатель: $125^2 - 49 = 125^2 - 7^2 = (125-7)(125+7) = 118 \cdot 132$.
Вторая дробь: $\frac{118(77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2)}{118 \cdot 132} = \frac{77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2}{132}$.

Подставим упрощенные дроби в выражение:

$\frac{77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2}{132} - \frac{77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2}{132} - \frac{1}{2}$

Выполним вычитание дробей с общим знаменателем 132:

$\frac{(77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2) - (77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2)}{132} - \frac{1}{2} = \frac{77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2 - 77^2 + 77 \cdot 41 - 41^2}{132} - \frac{1}{2}$

Упростим числитель, группируя слагаемые:

$(77 \cdot 69 + 77 \cdot 41) + (69^2 - 41^2) = 77(69+41) + (69-41)(69+41) = 77 \cdot 110 + 28 \cdot 110 = (77+28) \cdot 110 = 105 \cdot 110$.

Получаем дробь: $\frac{105 \cdot 110}{132}$. Упростим её: $\frac{105 \cdot 110}{12 \cdot 11} = \frac{105 \cdot 10}{12} = \frac{1050}{12} = \frac{175}{2}$.

Завершим вычисление:

$\frac{175}{2} - \frac{1}{2} = \frac{174}{2} = 87$.

Ответ: 87

в)

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Упростим первую дробь: $\frac{65^2 - 32^2 - 97 \cdot 11}{61^2 - 36^2}$.
Числитель: $65^2 - 32^2 - 97 \cdot 11 = (65-32)(65+32) - 97 \cdot 11 = 33 \cdot 97 - 97 \cdot 11 = 97(33-11) = 97 \cdot 22$.
Знаменатель: $61^2 - 36^2 = (61-36)(61+36) = 25 \cdot 97$.
Первая дробь: $\frac{97 \cdot 22}{25 \cdot 97} = \frac{22}{25}$.

Упростим вторую дробь: $\frac{56^2 - 26^2}{66^2 - 16^2}$.
Числитель: $56^2 - 26^2 = (56-26)(56+26) = 30 \cdot 82$.
Знаменатель: $66^2 - 16^2 = (66-16)(66+16) = 50 \cdot 82$.
Вторая дробь: $\frac{30 \cdot 82}{50 \cdot 82} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$.

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{22}{25} + \frac{3}{5} = \frac{22}{25} + \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{22}{25} + \frac{15}{25} = \frac{22+15}{25} = \frac{37}{25}$.

Ответ: $\frac{37}{25}$

г)

Для решения снова применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{109^2 + 160 \cdot 32 - 51^2}{139^2 - 11^2}$.
Сгруппируем члены в числителе: $(109^2 - 51^2) + 160 \cdot 32 = (109-51)(109+51) + 160 \cdot 32 = 58 \cdot 160 + 160 \cdot 32$.
Вынесем общий множитель 160: $160(58+32) = 160 \cdot 90$.
Знаменатель: $139^2 - 11^2 = (139-11)(139+11) = 128 \cdot 150$.
Первая дробь: $\frac{160 \cdot 90}{128 \cdot 150}$. Сократим ее, разложив числа на множители: $\frac{(16 \cdot 10) \cdot 90}{(16 \cdot 8) \cdot 150} = \frac{10 \cdot 90}{8 \cdot 150} = \frac{900}{1200} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{42^2 - 36}{84^2 - 12^2}$.
Числитель: $42^2 - 36 = 42^2 - 6^2 = (42-6)(42+6) = 36 \cdot 48$.
Знаменатель: $84^2 - 12^2 = (84-12)(84+12) = 72 \cdot 96$.
Вторая дробь: $\frac{36 \cdot 48}{72 \cdot 96} = \frac{36}{72} \cdot \frac{48}{96} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Сложим полученные дроби:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: 1