Номер 893, страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 893, страница 240.

Условие.

893. Каким свойством обладает число, заданное выражением (n — натуральное число):

а) $2n$;

б) $2n+1$;

в) $2n-1$;

г) $3n$;

д) $3n+1$;

е) $3n-1$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) 2n

Рассмотрим выражение $2n$, где $n$ — натуральное число. Натуральные числа — это целые положительные числа $1, 2, 3, \ldots$

Подставим несколько первых натуральных чисел вместо $n$:

• При $n=1$, число равно $2 \cdot 1 = 2$.
• При $n=2$, число равно $2 \cdot 2 = 4$.
• При $n=3$, число равно $2 \cdot 3 = 6$.

Любое число, которое можно представить в виде произведения $2 \cdot n$, где $n$ — целое число, по определению делится на 2 без остатка. Такие числа называются четными. Таким образом, выражение $2n$ для любого натурального $n$ задает положительное четное число.

Ответ: число, заданное выражением $2n$, является четным.

б) 2n + 1

Рассмотрим выражение $2n + 1$, где $n$ — натуральное число.

Подставим несколько значений $n$:

• При $n=1$, число равно $2 \cdot 1 + 1 = 3$.
• При $n=2$, число равно $2 \cdot 2 + 1 = 5$.
• При $n=3$, число равно $2 \cdot 3 + 1 = 7$.

Мы знаем, что $2n$ — это всегда четное число. Если к четному числу прибавить 1, результат всегда будет нечетным числом, то есть числом, которое при делении на 2 дает в остатке 1. Таким образом, выражение $2n+1$ для любого натурального $n$ задает нечетное число.

Ответ: число, заданное выражением $2n+1$, является нечетным.

в) 2n - 1

Рассмотрим выражение $2n - 1$, где $n$ — натуральное число.

Подставим несколько значений $n$:

• При $n=1$, число равно $2 \cdot 1 - 1 = 1$.
• При $n=2$, число равно $2 \cdot 2 - 1 = 3$.
• При $n=3$, число равно $2 \cdot 3 - 1 = 5$.

Выражение $2n$ задает четное число. Если из четного числа вычесть 1, результат также всегда будет нечетным. Выражение $2n-1$ для натуральных $n$ задает все положительные нечетные числа.

Ответ: число, заданное выражением $2n-1$, является нечетным.

г) 3n

Рассмотрим выражение $3n$, где $n$ — натуральное число.

Подставим несколько значений $n$:

• При $n=1$, число равно $3 \cdot 1 = 3$.
• При $n=2$, число равно $3 \cdot 2 = 6$.
• При $n=3$, число равно $3 \cdot 3 = 9$.

Любое число, которое можно представить в виде произведения $3 \cdot n$, где $n$ — целое число, по определению делится на 3 без остатка. Такие числа называют кратными 3. Таким образом, выражение $3n$ для любого натурального $n$ задает число, кратное 3.

Ответ: число, заданное выражением $3n$, кратно 3 (делится на 3 без остатка).

д) 3n + 1

Рассмотрим выражение $3n + 1$, где $n$ — натуральное число.

Подставим несколько значений $n$:

• При $n=1$, число равно $3 \cdot 1 + 1 = 4$. При делении 4 на 3 получаем 1 в остатке.
• При $n=2$, число равно $3 \cdot 2 + 1 = 7$. При делении 7 на 3 получаем 1 в остатке.
• При $n=3$, число равно $3 \cdot 3 + 1 = 10$. При делении 10 на 3 получаем 1 в остатке.

Выражение $3n$ задает число, которое делится на 3 нацело. Если к такому числу прибавить 1, то при делении нового числа на 3 остаток всегда будет равен 1. Это следует из определения деления с остатком: $a = bq + r$, где $r$ — остаток. В нашем случае $a = 3n + 1$, делитель $b=3$, частное $q=n$, а остаток $r=1$.

Ответ: число, заданное выражением $3n+1$, при делении на 3 дает в остатке 1.

е) 3n - 1

Рассмотрим выражение $3n - 1$, где $n$ — натуральное число.

Подставим несколько значений $n$:

• При $n=1$, число равно $3 \cdot 1 - 1 = 2$. При делении 2 на 3 получаем 2 в остатке.
• При $n=2$, число равно $3 \cdot 2 - 1 = 5$. При делении 5 на 3 получаем 2 в остатке.
• При $n=3$, число равно $3 \cdot 3 - 1 = 8$. При делении 8 на 3 получаем 2 в остатке.

Чтобы доказать это свойство в общем виде, представим выражение $3n - 1$ в стандартной форме деления с остатком на 3. Мы можем переписать его так: $3n - 1 = 3n - 3 + 2 = 3(n-1) + 2$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $(n-1)$ является целым неотрицательным числом ($n-1 \ge 0$). Выражение $3(n-1) + 2$ имеет форму $3q + r$, где $q=n-1$ и $r=2$. Следовательно, при делении числа вида $3n - 1$ на 3 остаток всегда будет равен 2.

Ответ: число, заданное выражением $3n-1$, при делении на 3 дает в остатке 2.