Страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Сравните значения числовых выражений (787–788):

787. а) $(2^4)^2$ и $2^4 \cdot 2$;

б) $(3^2)^2$ и $3^2 \cdot 2$;

в) $(5^2)^4$ и $5^2 \cdot 4$;

г) $(4^3)^2$ и $4^3 \cdot 2$;

д) $(2 \cdot 5)^2$ и $10^2$;

е) $(2 \cdot 5)^3$ и $10^3$;

ж) $(3 \cdot 4)^3$ и $3^3 \cdot 4^3$;

з) $2^4$ и $4^2$.

а) Сравним $(2^4)^2$ и $2^4 \cdot 2$.

Для первого выражения используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.
Вычислим значение: $2^8 = 256$.

Для второго выражения просто выполним вычисления:
$2^4 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$.

Сравниваем полученные результаты: $256 > 32$.
Следовательно, $(2^4)^2 > 2^4 \cdot 2$.

Ответ: $(2^4)^2 > 2^4 \cdot 2$.

б) Сравним $(3^2)^2$ и $3^2 \cdot 2$.

Преобразуем первое выражение по свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$.
Вычислим значение: $3^4 = 81$.

Вычислим значение второго выражения:
$3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Сравниваем результаты: $81 > 18$.
Значит, $(3^2)^2 > 3^2 \cdot 2$.

Ответ: $(3^2)^2 > 3^2 \cdot 2$.

в) Сравним $(5^2)^4$ и $5^2 \cdot 4$.

Упростим первое выражение, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.
Вычислим его значение: $5^8 = 390625$.

Теперь вычислим значение второго выражения:
$5^2 \cdot 4 = 25 \cdot 4 = 100$.

Сравниваем полученные значения: $390625 > 100$.
Таким образом, $(5^2)^4 > 5^2 \cdot 4$.

Ответ: $(5^2)^4 > 5^2 \cdot 4$.

г) Сравним $(4^3)^2$ и $4^3 \cdot 2$.

Применим свойство возведения степени в степень к первому выражению:
$(4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6$.
Вычислим значение: $4^6 = (4^3)^2 = 64^2 = 4096$.

Вычислим значение второго выражения:
$4^3 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128$.

Сравниваем: $4096 > 128$.
Следовательно, $(4^3)^2 > 4^3 \cdot 2$.

Ответ: $(4^3)^2 > 4^3 \cdot 2$.

д) Сравним $(2 \cdot 5)^2$ и $10^2$.

Рассмотрим первое выражение. Можно сначала выполнить умножение в скобках:
$(2 \cdot 5)^2 = 10^2$.
Видно, что это выражение равно второму выражению.

Можно также использовать свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$(2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$.
Второе выражение: $10^2 = 100$.
Значения равны.

Ответ: $(2 \cdot 5)^2 = 10^2$.

е) Сравним $(2 \cdot 5)^3$ и $10^3$.

Выполним умножение в скобках в первом выражении:
$(2 \cdot 5)^3 = 10^3$.

Полученное выражение идентично второму. Вычислим значения для проверки:
$10^3 = 1000$.
Следовательно, выражения равны.

Ответ: $(2 \cdot 5)^3 = 10^3$.

ж) Сравним $(3 \cdot 4)^3$ и $3^3 \cdot 4^3$.

Для первого выражения можно применить свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$(3 \cdot 4)^3 = 3^3 \cdot 4^3$.
Таким образом, выражения равны по свойству степени.

Проверим это вычислением.
Первое выражение: $(3 \cdot 4)^3 = 12^3 = 1728$.
Второе выражение: $3^3 \cdot 4^3 = 27 \cdot 64 = 1728$.
Результаты совпадают.

Ответ: $(3 \cdot 4)^3 = 3^3 \cdot 4^3$.

з) Сравним $2^4$ и $4^2$.

Вычислим значение первого выражения:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Вычислим значение второго выражения:
$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$.
Также можно представить второе выражение через основание 2: $4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4$.

Оба подхода показывают, что выражения равны.

Ответ: $2^4 = 4^2$.

788. a) $4^8$ и $8^6$;

б) $14^4$ и $2^{16}$;

в) $10^{20}$ и $20^{10}$;

г) $10^{10}$ и $90^{10}$.

а) $4^8$ и $8^6$

Для сравнения чисел $4^8$ и $8^6$, приведем их к одному основанию. Заметим, что оба основания, 4 и 8, являются степенями числа 2: $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Теперь подставим эти значения в исходные выражения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$4^8 = (2^2)^8 = 2^{2 \cdot 8} = 2^{16}$

$8^6 = (2^3)^6 = 2^{3 \cdot 6} = 2^{18}$

Теперь сравним полученные степени: $2^{16}$ и $2^{18}$. Так как основание степени $2 > 1$, то больше то число, у которого показатель степени больше.

Поскольку $18 > 16$, то $2^{18} > 2^{16}$.

Следовательно, $8^6 > 4^8$.

Ответ: $4^8 < 8^6$.

б) $144^4$ и $2^{16}$

Чтобы сравнить $144^4$ и $2^{16}$, приведем их к одному показателю степени. Показатели степеней — 4 и 16. Можно представить $2^{16}$ как степень с показателем 4.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$2^{16} = 2^{4 \cdot 4} = (2^4)^4$

Вычислим основание новой степени: $2^4 = 16$.

Таким образом, $2^{16} = 16^4$.

Теперь сравним $144^4$ и $16^4$. Так как показатели степеней одинаковы и положительны, нужно сравнить основания.

Поскольку $144 > 16$, то $144^4 > 16^4$.

Следовательно, $144^4 > 2^{16}$.

Ответ: $144^4 > 2^{16}$.

в) $10^{20}$ и $20^{10}$

Для сравнения чисел $10^{20}$ и $20^{10}$ приведем их к общему показателю степени. Показатели степеней 20 и 10, их наибольший общий делитель равен 10.

Представим $10^{20}$ в виде степени с показателем 10, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$10^{20} = 10^{2 \cdot 10} = (10^2)^{10}$

Вычислим основание новой степени: $10^2 = 100$.

Таким образом, $10^{20} = 100^{10}$.

Теперь сравним $100^{10}$ и $20^{10}$. Так как показатели степеней равны, сравниваем основания.

Поскольку $100 > 20$, то $100^{10} > 20^{10}$.

Следовательно, $10^{20} > 20^{10}$.

Ответ: $10^{20} > 20^{10}$.

г) $10^{10}$ и $90^{10}$

В данном случае необходимо сравнить числа $10^{10}$ и $90^{10}$.

Заметим, что показатели степеней у этих чисел одинаковы и равны 10.

Если у двух степеней одинаковые положительные показатели, то больше та степень, у которой больше основание.

Сравним основания: $10$ и $90$.

Поскольку $10 < 90$, то и $10^{10} < 90^{10}$.

Ответ: $10^{10} < 90^{10}$.

789. Справедливы ли равенства (n и k — натуральные числа):

а) $ (a^k)^n = (a^n)^k; $

б) $ n^k = k^n? $

а)

Проверим справедливость равенства $(a^k)^n = (a^n)^k$, используя свойство возведения степени в степень. По определению, $(x^m)^p = x^{m \cdot p}$.
Рассмотрим левую часть равенства: $(a^k)^n$. Применяя свойство возведения степени в степень, мы умножаем показатели $k$ и $n$:
$(a^k)^n = a^{k \cdot n}$
Теперь рассмотрим правую часть равенства: $(a^n)^k$. Аналогично, умножаем показатели $n$ и $k$:
$(a^n)^k = a^{n \cdot k}$
Так как для натуральных чисел $n$ и $k$ действует переместительный (коммутативный) закон умножения, то есть $k \cdot n = n \cdot k$, то и результаты, полученные для левой и правой частей, равны:
$a^{k \cdot n} = a^{n \cdot k}$
Следовательно, исходное равенство справедливо для любых натуральных $n$ и $k$.
Ответ: Да, равенство справедливо.

б)

Проверим справедливость равенства $n^k = k^n$. Данное равенство не является тождеством, то есть оно выполняется не для всех пар натуральных чисел $n$ и $k$. Чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один контрпример, где равенство не выполняется.
Возьмем в качестве примера натуральные числа $n=2$ и $k=3$.
Подставим эти значения в левую часть равенства:
$n^k = 2^3 = 8$
Подставим эти же значения в правую часть равенства:
$k^n = 3^2 = 9$
Так как $8 \neq 9$, то равенство $n^k = k^n$ для данной пары чисел не справедливо.
Стоит отметить, что существуют частные случаи, когда это равенство выполняется. Например, при $n=k$ ($3^3 = 3^3$) или для уникальной пары различных чисел $n=2, k=4$ ($2^4 = 16$ и $4^2 = 16$). Однако, поскольку равенство выполняется не для всех натуральных чисел, в общем случае оно не является справедливым.
Ответ: Нет, в общем случае равенство не справедливо.

790. 1) Между какими степенями числа 2 расположено число: а) 6; б) 13; в) 67; г) 255; д) 1025?

2) Между какими степенями числа 10 расположено число: а) 32; б) 167; в) 3576; г) 12 784; д) 1 000 034?

1)

Чтобы определить, между какими степенями числа 2 находится заданное число, нужно найти две последовательные целые степени двойки, одна из которых меньше заданного числа, а другая — больше.

а) Для числа 6. Рассмотрим ближайшие к нему степени числа 2: $2^2 = 4$ и $2^3 = 8$. Поскольку выполняется неравенство $4 < 6 < 8$, это означает, что число 6 расположено между второй и третьей степенями числа 2. В виде неравенства это записывается как $2^2 < 6 < 2^3$. Ответ: между $2^2$ и $2^3$.

б) Для числа 13. Ближайшие степени числа 2: $2^3 = 8$ и $2^4 = 16$. Так как $8 < 13 < 16$, то число 13 находится между третьей и четвертой степенями числа 2, что соответствует неравенству $2^3 < 13 < 2^4$. Ответ: между $2^3$ и $2^4$.

в) Для числа 67. Ближайшие степени числа 2: $2^6 = 64$ и $2^7 = 128$. Так как $64 < 67 < 128$, то число 67 находится между шестой и седьмой степенями числа 2, что соответствует неравенству $2^6 < 67 < 2^7$. Ответ: между $2^6$ и $2^7$.

г) Для числа 255. Ближайшие степени числа 2: $2^7 = 128$ и $2^8 = 256$. Так как $128 < 255 < 256$, то число 255 находится между седьмой и восьмой степенями числа 2, что соответствует неравенству $2^7 < 255 < 2^8$. Ответ: между $2^7$ и $2^8$.

д) Для числа 1025. Ближайшие степени числа 2: $2^{10} = 1024$ и $2^{11} = 2048$. Так как $1024 < 1025 < 2048$, то число 1025 находится между десятой и одиннадцатой степенями числа 2, что соответствует неравенству $2^{10} < 1025 < 2^{11}$. Ответ: между $2^{10}$ и $2^{11}$.

2)

Аналогично, чтобы определить, между какими степенями числа 10 находится заданное число, нужно найти две последовательные целые степени десятки, которые "ограничивают" это число.

а) Для числа 32. Ближайшие степени числа 10: $10^1 = 10$ и $10^2 = 100$. Так как $10 < 32 < 100$, то число 32 находится между первой и второй степенями числа 10, что соответствует неравенству $10^1 < 32 < 10^2$. Ответ: между $10^1$ и $10^2$.

б) Для числа 167. Ближайшие степени числа 10: $10^2 = 100$ и $10^3 = 1000$. Так как $100 < 167 < 1000$, то число 167 находится между второй и третьей степенями числа 10, что соответствует неравенству $10^2 < 167 < 10^3$. Ответ: между $10^2$ и $10^3$.

в) Для числа 3576. Ближайшие степени числа 10: $10^3 = 1000$ и $10^4 = 10000$. Так как $1000 < 3576 < 10000$, то число 3576 находится между третьей и четвертой степенями числа 10, что соответствует неравенству $10^3 < 3576 < 10^4$. Ответ: между $10^3$ и $10^4$.

г) Для числа 12 784. Ближайшие степени числа 10: $10^4 = 10000$ и $10^5 = 100000$. Так как $10000 < 12784 < 100000$, то число 12 784 находится между четвертой и пятой степенями числа 10, что соответствует неравенству $10^4 < 12784 < 10^5$. Ответ: между $10^4$ и $10^5$.

д) Для числа 1 000 034. Ближайшие степени числа 10: $10^6 = 1000000$ и $10^7 = 10000000$. Так как $1000000 < 1000034 < 10000000$, то число 1 000 034 находится между шестой и седьмой степенями числа 10, что соответствует неравенству $10^6 < 1000034 < 10^7$. Ответ: между $10^6$ и $10^7$.

791. Числа 6, 18, 30, 42 представьте в виде суммы степеней числа 2.

Чтобы представить число в виде суммы степеней двойки, нужно найти его разложение по степеням основания 2. Это можно сделать, последовательно находя наибольшую степень двойки, которая меньше или равна числу, вычитая ее и повторяя этот процесс с остатком, пока он не станет равен нулю.

6
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 6, это $4 = 2^2$.
Остаток: $6 - 4 = 2$.
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 2, это $2 = 2^1$.
Остаток: $2 - 2 = 0$.
Таким образом, $6 = 4 + 2$.
Ответ: $6 = 2^2 + 2^1$

18
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 18, это $16 = 2^4$.
Остаток: $18 - 16 = 2$.
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 2, это $2 = 2^1$.
Остаток: $2 - 2 = 0$.
Таким образом, $18 = 16 + 2$.
Ответ: $18 = 2^4 + 2^1$

30
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 30, это $16 = 2^4$.
Остаток: $30 - 16 = 14$.
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 14, это $8 = 2^3$.
Остаток: $14 - 8 = 6$.
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 6, это $4 = 2^2$.
Остаток: $6 - 4 = 2$.
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 2, это $2 = 2^1$.
Остаток: $2 - 2 = 0$.
Таким образом, $30 = 16 + 8 + 4 + 2$.
Ответ: $30 = 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1$

42
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 42, это $32 = 2^5$.
Остаток: $42 - 32 = 10$.
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 10, это $8 = 2^3$.
Остаток: $10 - 8 = 2$.
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 2, это $2 = 2^1$.
Остаток: $2 - 2 = 0$.
Таким образом, $42 = 32 + 8 + 2$.
Ответ: $42 = 2^5 + 2^3 + 2^1$

792. Разложите число на простые множители:

а) 254;

б) 1276;

в) 1654;

г) 2048;

д) 144;

е) $21^6$;

ж) 1256;

з) 2544.

а) Чтобы разложить число 254 на простые множители, будем последовательно делить его на простые числа, начиная с наименьшего.

Число 254 четное, значит, оно делится на 2:

$254 : 2 = 127$

Теперь нужно разложить число 127. Проверим, является ли оно простым. Будем проверять его делимость на простые числа (3, 5, 7, 11...). Так как $\sqrt{127} \approx 11.2$, достаточно проверить делимость на простые числа до 11.

$127$ не делится на 3 (сумма цифр $1+2+7=10$).

$127$ не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).

$127 : 7 = 18$ (остаток 1).

$127 : 11 = 11$ (остаток 6).

Следовательно, 127 является простым числом.

Разложение числа 254 на простые множители: $254 = 2 \cdot 127$.

Ответ: $254 = 2 \cdot 127$.

б) Разложим число 1276 на простые множители.

Число 1276 четное, делим на 2:

$1276 : 2 = 638$

Полученное число 638 также четное, снова делим на 2:

$638 : 2 = 319$

Проверим делимость числа 319 на простые числа. Оно не делится на 3 (сумма цифр 13) и 5. Проверим делимость на 7: $319 : 7 = 45$ (ост. 4). Проверим делимость на 11:

$319 : 11 = 29$

Число 29 является простым.

Таким образом, разложение числа 1276: $1276 = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 29 = 2^2 \cdot 11 \cdot 29$.

Ответ: $1276 = 2^2 \cdot 11 \cdot 29$.

в) Разложим число 1654 на простые множители.

Число 1654 четное, делим на 2:

$1654 : 2 = 827$

Теперь разложим число 827. Проверим его делимость на простые числа. $\sqrt{827} \approx 28.7$, поэтому будем проверять делимость на простые числа до 23. Последовательная проверка показывает, что 827 не делится на 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

Следовательно, 827 — простое число.

Разложение числа 1654: $1654 = 2 \cdot 827$.

Ответ: $1654 = 2 \cdot 827$.

г) Разложим число 2048 на простые множители.

Число 2048 является степенью двойки. Будем последовательно делить его на 2:

$2048 : 2 = 1024$

$1024 : 2 = 512$

$512 : 2 = 256$

$256 : 2 = 128$

$128 : 2 = 64$

$64 : 2 = 32$

$32 : 2 = 16$

$16 : 2 = 8$

$8 : 2 = 4$

$4 : 2 = 2$

$2 : 2 = 1$

Мы разделили на 2 одиннадцать раз. Таким образом, $2048 = 2^{11}$.

Ответ: $2048 = 2^{11}$.

д) Разложим число 144 на простые множители.

Число 144 четное, делим на 2:

$144 : 2 = 72$

$72 : 2 = 36$

$36 : 2 = 18$

$18 : 2 = 9$

Число 9 не делится на 2. Следующее простое число — 3. $9 : 3 = 3$.

Число 3 является простым.

Следовательно, разложение числа 144: $144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^2$.

Ответ: $144 = 2^4 \cdot 3^2$.

е) Требуется разложить на простые множители число $216^6$.

Сначала разложим на простые множители основание степени — число 216.

$216 : 2 = 108$

$108 : 2 = 54$

$54 : 2 = 27$

$27 : 3 = 9$

$9 : 3 = 3$

Таким образом, $216 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^3$.

Теперь возведем полученное разложение в 6-ю степень, используя свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$216^6 = (2^3 \cdot 3^3)^6 = (2^3)^6 \cdot (3^3)^6 = 2^{3 \cdot 6} \cdot 3^{3 \cdot 6} = 2^{18} \cdot 3^{18}$.

Ответ: $216^6 = 2^{18} \cdot 3^{18}$.

ж) Разложим число 1256 на простые множители.

Число 1256 четное, делим на 2:

$1256 : 2 = 628$

$628 : 2 = 314$

$314 : 2 = 157$

Теперь нужно разложить число 157. Проверим, является ли оно простым. $\sqrt{157} \approx 12.5$, поэтому достаточно проверить делимость на простые числа до 11 (2, 3, 5, 7, 11). Проверка показывает, что 157 не делится ни на одно из этих чисел.

Число 157 является простым.

Следовательно, разложение числа 1256: $1256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 157 = 2^3 \cdot 157$.

Ответ: $1256 = 2^3 \cdot 157$.

з) Разложим число 2544 на простые множители.

Число 2544 четное, делим его последовательно на 2:

$2544 : 2 = 1272$

$1272 : 2 = 636$

$636 : 2 = 318$

$318 : 2 = 159$

Теперь разложим число 159. Оно нечетное. Проверим делимость на 3. Сумма цифр $1+5+9=15$, что делится на 3.

$159 : 3 = 53$

Число 53 является простым, так как не делится на 2, 3, 5, 7 (проверка до $\sqrt{53} \approx 7.2$).

Таким образом, разложение числа 2544: $2544 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 53 = 2^4 \cdot 3 \cdot 53$.

Ответ: $2544 = 2^4 \cdot 3 \cdot 53$.

793. Существуют ли чётные простые числа?

Да, чётные простые числа существуют. Чтобы прийти к этому выводу, необходимо рассмотреть определения чётного и простого числа.

Простое число — это натуральное число, которое больше единицы и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Например, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее.

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Все чётные числа можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число.

Теперь необходимо найти число, которое удовлетворяет обоим этим условиям.

Рассмотрим самое маленькое натуральное чётное число — 2.
1. Является ли оно чётным? Да, по определению, так как $2 \div 2 = 1$.
2. Является ли оно простым? Да, так как его делителями являются только числа 1 и 2. Оно имеет ровно два делителя, что соответствует определению простого числа.

Следовательно, число 2 является чётным простым числом.

Теперь рассмотрим любое другое чётное число, которое больше 2 (например: 4, 6, 8, 10, ...). Каждое из этих чисел по определению делится на 2. Это означает, что любое чётное число $N > 2$ будет иметь как минимум три делителя: 1, 2 и само число $N$. Поскольку у него есть делитель (число 2), который не равен ни 1, ни самому числу $N$, оно не может быть простым. Все чётные числа больше 2 являются составными.

Таким образом, существует только одно чётное простое число, и это число 2.

Ответ: Да, существует. Это число 2.

794. Чтобы узнать, является ли число простым, его делят на простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, . . . . На каком простом числе можно прекращать испытание для числа:

а) 781;

б) 1023;

в) 1783;

г) 2587?

Чтобы определить, является ли число $n$ простым, достаточно проверить его делимость на все простые числа, не превосходящие квадратный корень из этого числа ($\sqrt{n}$). Если число $n$ составное, то оно обязательно будет иметь хотя бы один простой делитель, который меньше или равен $\sqrt{n}$. Поэтому, чтобы найти последнее простое число, на котором можно прекратить проверку, нужно вычислить $\sqrt{n}$ и найти наибольшее простое число, которое не больше полученного значения.

а) 781
Вычислим квадратный корень из 781: $27^2 = 729$ $28^2 = 784$ Так как $729 < 781 < 784$, то $\sqrt{781}$ находится между 27 и 28. Нам нужно найти наибольшее простое число, которое меньше 28. Перечислим простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... Наибольшее простое число, не превосходящее 28, — это 23.
Ответ: 23.

б) 1023
Вычислим квадратный корень из 1023: $31^2 = 961$ $32^2 = 1024$ Так как $961 < 1023 < 1024$, то $\sqrt{1023}$ находится между 31 и 32. Наибольшее простое число, не превосходящее 32, — это 31.
Ответ: 31.

в) 1783
Вычислим квадратный корень из 1783: $42^2 = 1764$ $43^2 = 1849$ Так как $1764 < 1783 < 1849$, то $\sqrt{1783}$ находится между 42 и 43. Наибольшее простое число, не превосходящее 43, — это 41 (следующее простое число 43, что уже больше $\sqrt{1783}$).
Ответ: 41.

г) 2587
Вычислим квадратный корень из 2587: $50^2 = 2500$ $51^2 = 2601$ Так как $2500 < 2587 < 2601$, то $\sqrt{2587}$ находится между 50 и 51. Наибольшее простое число, не превосходящее 51, — это 47.
Ответ: 47.

795. a) Какой цифрой не может оканчиваться квадрат натурального числа?

б) В каких случаях квадрат натурального числа является чётным числом?

в) Какими цифрами оканчиваются кубы последовательных натуральных чисел? В какой последовательности повторяются эти цифры?

а) Последняя цифра квадрата натурального числа ($n^2$) зависит только от последней цифры самого числа ($n$). Чтобы определить все возможные последние цифры квадрата, достаточно возвести в квадрат все цифры от 0 до 9 и посмотреть на последнюю цифру результата. Вычисления показывают: $0^2=0$, $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$ (оканчивается на 6), $5^2=25$ (оканчивается на 5), $6^2=36$ (оканчивается на 6), $7^2=49$ (оканчивается на 9), $8^2=64$ (оканчивается на 4), $9^2=81$ (оканчивается на 1). Таким образом, множество возможных последних цифр для квадрата натурального числа — {0, 1, 4, 5, 6, 9}. Сравнивая это множество со всеми возможными цифрами {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, мы видим, что цифры 2, 3, 7 и 8 не могут быть последней цифрой квадрата натурального числа.
Ответ: Квадрат натурального числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8.

б) Квадрат натурального числа является чётным числом тогда и только тогда, когда само число является чётным. Чтобы это доказать, рассмотрим два случая. Случай 1: число $n$ — чётное. Его можно записать как $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда его квадрат $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \cdot (2k^2)$. Поскольку $n^2$ является произведением двойки и целого числа $2k^2$, оно чётное. Случай 2: число $n$ — нечётное. Его можно записать как $n = 2k-1$, где $k$ — натуральное число. Тогда его квадрат $n^2 = (2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1 = 2(2k^2 - 2k) + 1$. Это выражение имеет вид $2m+1$ (где $m=2k^2 - 2k$), что по определению является нечётным числом. Следовательно, квадрат натурального числа чётен только тогда, когда само число чётно.
Ответ: Квадрат натурального числа является чётным числом, если само это натуральное число является чётным.

в) Последняя цифра куба натурального числа ($n^3$) зависит только от последней цифры самого числа $n$. Чтобы найти все возможные последние цифры и их последовательность, рассмотрим кубы чисел от 1 до 10: $1^3=1$, $2^3=8$, $3^3=27$ (последняя цифра 7), $4^3=64$ (последняя цифра 4), $5^3=125$ (последняя цифра 5), $6^3=216$ (последняя цифра 6), $7^3=343$ (последняя цифра 3), $8^3=512$ (последняя цифра 2), $9^3=729$ (последняя цифра 9), $10^3=1000$ (последняя цифра 0). Из этого следует, что куб натурального числа может оканчиваться на любую цифру от 0 до 9. Поскольку последняя цифра натуральных чисел повторяется с периодом 10 (например, у чисел 1, 11, 21 и т.д. последняя цифра 1), то и последовательность последних цифр их кубов будет периодически повторяться с периодом 10. Эта последовательность, полученная из кубов чисел от 1 до 10, выглядит так: 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0.
Ответ: Кубы последовательных натуральных чисел оканчиваются всеми цифрами от 0 до 9. Эти цифры повторяются в последовательности 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0.

796. Допишите к числу 378 справа такие три цифры, чтобы полученное шестизначное число делилось на 6, 7 и 9.

Пусть искомое шестизначное число равно $N$. По условию, оно образуется дописыванием трех цифр справа к числу 378. Обозначим эти три цифры как $x, y, z$. Тогда число $N$ можно представить в виде $\overline{378xyz}$. Аналитически это число можно записать как $N = 378 \cdot 1000 + \overline{xyz}$, где $\overline{xyz}$ — это трехзначное число, равное $100x + 10y + z$.

Число $N$ должно делиться на 6, 7 и 9. Если число делится на несколько чисел, оно должно делиться и на их наименьшее общее кратное (НОК). Найдем НОК для чисел 6, 7 и 9.

Разложим числа на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$7 = 7$ (простое число)
$9 = 3^2$

Тогда НОК(6, 7, 9) будет равно произведению наибольших степеней всех простых множителей, входящих в разложения:
$НОК(6, 7, 9) = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$.

Следовательно, искомое число $N = \overline{378xyz}$ должно делиться на 126. Запишем $N$ в виде суммы: $N = 378000 + \overline{xyz}$.

Проверим, делится ли первое слагаемое, 378000, на 126. Для этого достаточно проверить, делится ли 378 на 126:
$378 \div 126 = 3$
Значит, $378000 \div 126 = 3000$. Число 378000 делится на 126 без остатка.

Так как сумма $378000 + \overline{xyz}$ должна делиться на 126, и первое слагаемое (378000) делится на 126, то и второе слагаемое ($\overline{xyz}$) также должно делиться на 126.

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти все трехзначные числа (от 000 до 999), которые кратны 126. Найдем их, умножая 126 на целые числа, начиная с 0:

• $126 \cdot 0 = 0$. Дописываем цифры 0, 0, 0. Получаем число 378000.
• $126 \cdot 1 = 126$. Дописываем цифры 1, 2, 6. Получаем число 378126.
• $126 \cdot 2 = 252$. Дописываем цифры 2, 5, 2. Получаем число 378252.
• $126 \cdot 3 = 378$. Дописываем цифры 3, 7, 8. Получаем число 378378.
• $126 \cdot 4 = 504$. Дописываем цифры 5, 0, 4. Получаем число 378504.
• $126 \cdot 5 = 630$. Дописываем цифры 6, 3, 0. Получаем число 378630.
• $126 \cdot 6 = 756$. Дописываем цифры 7, 5, 6. Получаем число 378756.
• $126 \cdot 7 = 882$. Дописываем цифры 8, 8, 2. Получаем число 378882.
• $126 \cdot 8 = 1008$. Это уже четырехзначное число, поэтому оно не подходит.

Таким образом, существует 8 вариантов трех цифр, которые можно дописать к числу 378.

Ответ: к числу 378 можно дописать следующие тройки цифр: 000, 126, 252, 378, 504, 630, 756, 882.

797. Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2 остаток 1, на 3 остаток 2, на 4 остаток 3, на 5 остаток 4, на 6 остаток 5, на 7 остаток 6, на 8 остаток 7, на 9 остаток 8, на 10 остаток 9.

Пусть искомое натуральное число — это $N$. Согласно условию задачи, $N$ дает остаток $d-1$ при делении на $d$ для всех делителей $d$ из набора $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

Запишем эти условия в виде сравнений по модулю:

$N \equiv 1 \pmod{2}$
$N \equiv 2 \pmod{3}$
$N \equiv 3 \pmod{4}$
...
$N \equiv 9 \pmod{10}$

Каждое из этих сравнений можно переписать. Например, $N \equiv d-1 \pmod{d}$. Если прибавить 1 к обеим частям сравнения, получим: $N + 1 \equiv d-1+1 \pmod{d}$ $N + 1 \equiv d \pmod{d}$ $N + 1 \equiv 0 \pmod{d}$

Это означает, что число $N+1$ делится нацело на каждое из чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Таким образом, $N+1$ является их общим кратным.

Поскольку мы ищем наименьшее натуральное число $N$, то $N+1$ должно быть наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел.

Найдем НОК(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). Для этого разложим числа на простые множители:

$2 = 2$
$3 = 3$
$4 = 2^2$
$5 = 5$
$6 = 2 \cdot 3$
$7 = 7$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$

Для вычисления НОК берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:

НОК$(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$

Вычислим это значение: $НОК = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 72 \cdot 35 = 2520$.

Мы нашли, что наименьшее значение для $N+1$ равно 2520. $N + 1 = 2520$

Теперь найдем само число $N$: $N = 2520 - 1 = 2519$

Ответ: 2519

798. Сравните значения числовых выражений:

а) $5^{10} \cdot 5^{10}$ и $(3 \cdot 5)^{10}$;

б) $8^{40}$ и $72^{20}$;

в) $21^4$ и $28^3$;

г) $63^{30}$ и $9^{60}$;

д) $9^4$ и $27^3$;

е) $8^9$ и $4^{14}$.

а) $5^{10} \cdot 5^{10}$ и $(3 \cdot 5)^{10}$

Для сравнения преобразуем оба выражения.
Первое выражение: используя свойство степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем $5^{10} \cdot 5^{10} = 5^{10+10} = 5^{20}$.
Второе выражение: используя свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем $(3 \cdot 5)^{10} = 3^{10} \cdot 5^{10}$.
Теперь сравним $5^{20}$ и $3^{10} \cdot 5^{10}$. Разделим оба выражения на $5^{10}$ (положительное число, знак неравенства не изменится).
Сравниваем $5^{20-10}$ и $3^{10}$, то есть $5^{10}$ и $3^{10}$.
Так как основания $5 > 3$, а показатели степени одинаковы и равны 10, то $5^{10} > 3^{10}$.
Следовательно, $5^{10} \cdot 5^{10} > (3 \cdot 5)^{10}$.
Ответ: $5^{10} \cdot 5^{10} > (3 \cdot 5)^{10}$.

б) $8^{40}$ и $72^{20}$

Приведем выражения к одному показателю степени. Заметим, что $40 = 2 \cdot 20$.
Преобразуем первое выражение: $8^{40} = 8^{2 \cdot 20} = (8^2)^{20} = 64^{20}$.
Теперь сравним $64^{20}$ и $72^{20}$.
Так как показатели степени одинаковы (20), сравниваем основания.
Поскольку $64 < 72$, то $64^{20} < 72^{20}$.
Следовательно, $8^{40} < 72^{20}$.
Ответ: $8^{40} < 72^{20}$.

в) $21^4$ и $28^3$

Разложим основания на простые множители. $21 = 3 \cdot 7$, $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.
Первое выражение: $21^4 = (3 \cdot 7)^4 = 3^4 \cdot 7^4$.
Второе выражение: $28^3 = (2^2 \cdot 7)^3 = (2^2)^3 \cdot 7^3 = 2^6 \cdot 7^3$.
Сравним $3^4 \cdot 7^4$ и $2^6 \cdot 7^3$. Разделим оба выражения на общий множитель $7^3$.
Сравниваем $3^4 \cdot 7$ и $2^6$.
Вычисляем значения: $3^4 \cdot 7 = 81 \cdot 7 = 567$.
$2^6 = 64$.
Так как $567 > 64$, то и $3^4 \cdot 7^4 > 2^6 \cdot 7^3$.
Следовательно, $21^4 > 28^3$.
Ответ: $21^4 > 28^3$.

г) $63^{30}$ и $9^{60}$

Приведем выражения к одному показателю степени. Заметим, что $60 = 2 \cdot 30$.
Преобразуем второе выражение: $9^{60} = 9^{2 \cdot 30} = (9^2)^{30} = 81^{30}$.
Теперь сравним $63^{30}$ и $81^{30}$.
Так как показатели степени одинаковы (30), сравниваем основания.
Поскольку $63 < 81$, то $63^{30} < 81^{30}$.
Следовательно, $63^{30} < 9^{60}$.
Ответ: $63^{30} < 9^{60}$.

д) $9^4$ и $27^3$

Приведем выражения к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
Первое выражение: $9^4 = (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$.
Второе выражение: $27^3 = (3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$.
Теперь сравним $3^8$ и $3^9$.
Так как основание $3 > 1$, то чем больше показатель степени, тем больше значение выражения.
Поскольку $8 < 9$, то $3^8 < 3^9$.
Следовательно, $9^4 < 27^3$.
Ответ: $9^4 < 27^3$.

е) $8^9$ и $4^{14}$

Приведем выражения к одному основанию. Заметим, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.
Первое выражение: $8^9 = (2^3)^9 = 2^{3 \cdot 9} = 2^{27}$.
Второе выражение: $4^{14} = (2^2)^{14} = 2^{2 \cdot 14} = 2^{28}$.
Теперь сравним $2^{27}$ и $2^{28}$.
Так как основание $2 > 1$, то чем больше показатель степени, тем больше значение выражения.
Поскольку $27 < 28$, то $2^{27} < 2^{28}$.
Следовательно, $8^9 < 4^{14}$.
Ответ: $8^9 < 4^{14}$.

799. Вычислите:

a) $25^4 \cdot 4^5$;

б) $5^6 \cdot 2^7$;

в) $125^2 \cdot 8^2$.

а) $25^4 \cdot 4^5$

Для удобства вычислений приведем степени к одному показателю. Для этого разложим множитель с большим показателем $4^5$ на два множителя: $4^5 = 4^{4+1} = 4^4 \cdot 4^1$.

Выражение примет вид:

$25^4 \cdot 4^4 \cdot 4$

Теперь воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$(25 \cdot 4)^4 \cdot 4 = 100^4 \cdot 4$

Далее, представим $100$ как $10^2$ и воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(10^2)^4 \cdot 4 = 10^{2 \cdot 4} \cdot 4 = 10^8 \cdot 4$

Вычислим конечное значение:

$10^8 \cdot 4 = 100~000~000 \cdot 4 = 400~000~000$

Ответ: $400~000~000$.

б) $5^6 \cdot 2^7$

Чтобы использовать свойство умножения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, представим множитель с большим показателем степени в виде произведения. Разложим $2^7$ как $2^6 \cdot 2^1$.

Выражение примет вид:

$5^6 \cdot 2^6 \cdot 2^1$

Сгруппируем множители с одинаковым показателем степени:

$(5 \cdot 2)^6 \cdot 2 = 10^6 \cdot 2$

Вычислим итоговое значение:

$10^6 \cdot 2 = 1~000~000 \cdot 2 = 2~000~000$

Ответ: $2~000~000$.

в) $125^2 \cdot 8^2$

В данном примере показатели степеней одинаковы. Воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$125^2 \cdot 8^2 = (125 \cdot 8)^2$

Сначала вычислим произведение в скобках:

$125 \cdot 8 = 1000$

Теперь возведем результат в квадрат:

$1000^2 = 1~000~000$

Альтернативный способ:

Представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $125 = 5^3$ и $8 = 2^3$.

$(5^3)^2 \cdot (2^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} \cdot 2^{3 \cdot 2} = 5^6 \cdot 2^6 = (5 \cdot 2)^6 = 10^6 = 1~000~000$

Ответ: $1~000~000$.