Номер 797, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Натуральные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 797, страница 226.

Условие.

797. Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2 остаток 1, на 3 остаток 2, на 4 остаток 3, на 5 остаток 4, на 6 остаток 5, на 7 остаток 6, на 8 остаток 7, на 9 остаток 8, на 10 остаток 9.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Пусть искомое натуральное число — это $N$. Согласно условию задачи, $N$ дает остаток $d-1$ при делении на $d$ для всех делителей $d$ из набора $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

Запишем эти условия в виде сравнений по модулю:

$N \equiv 1 \pmod{2}$
$N \equiv 2 \pmod{3}$
$N \equiv 3 \pmod{4}$
...
$N \equiv 9 \pmod{10}$

Каждое из этих сравнений можно переписать. Например, $N \equiv d-1 \pmod{d}$. Если прибавить 1 к обеим частям сравнения, получим: $N + 1 \equiv d-1+1 \pmod{d}$ $N + 1 \equiv d \pmod{d}$ $N + 1 \equiv 0 \pmod{d}$

Это означает, что число $N+1$ делится нацело на каждое из чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Таким образом, $N+1$ является их общим кратным.

Поскольку мы ищем наименьшее натуральное число $N$, то $N+1$ должно быть наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел.

Найдем НОК(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). Для этого разложим числа на простые множители:

$2 = 2$
$3 = 3$
$4 = 2^2$
$5 = 5$
$6 = 2 \cdot 3$
$7 = 7$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$

Для вычисления НОК берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:

НОК$(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$

Вычислим это значение: $НОК = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 72 \cdot 35 = 2520$.

Мы нашли, что наименьшее значение для $N+1$ равно 2520. $N + 1 = 2520$

Теперь найдем само число $N$: $N = 2520 - 1 = 2519$

Ответ: 2519