Номер 798, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Натуральные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 798, страница 226.

Условие.

798. Сравните значения числовых выражений:

а) $5^{10} \cdot 5^{10}$ и $(3 \cdot 5)^{10}$;

б) $8^{40}$ и $72^{20}$;

в) $21^4$ и $28^3$;

г) $63^{30}$ и $9^{60}$;

д) $9^4$ и $27^3$;

е) $8^9$ и $4^{14}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $5^{10} \cdot 5^{10}$ и $(3 \cdot 5)^{10}$

Для сравнения преобразуем оба выражения.
Первое выражение: используя свойство степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем $5^{10} \cdot 5^{10} = 5^{10+10} = 5^{20}$.
Второе выражение: используя свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем $(3 \cdot 5)^{10} = 3^{10} \cdot 5^{10}$.
Теперь сравним $5^{20}$ и $3^{10} \cdot 5^{10}$. Разделим оба выражения на $5^{10}$ (положительное число, знак неравенства не изменится).
Сравниваем $5^{20-10}$ и $3^{10}$, то есть $5^{10}$ и $3^{10}$.
Так как основания $5 > 3$, а показатели степени одинаковы и равны 10, то $5^{10} > 3^{10}$.
Следовательно, $5^{10} \cdot 5^{10} > (3 \cdot 5)^{10}$.
Ответ: $5^{10} \cdot 5^{10} > (3 \cdot 5)^{10}$.

б) $8^{40}$ и $72^{20}$

Приведем выражения к одному показателю степени. Заметим, что $40 = 2 \cdot 20$.
Преобразуем первое выражение: $8^{40} = 8^{2 \cdot 20} = (8^2)^{20} = 64^{20}$.
Теперь сравним $64^{20}$ и $72^{20}$.
Так как показатели степени одинаковы (20), сравниваем основания.
Поскольку $64 < 72$, то $64^{20} < 72^{20}$.
Следовательно, $8^{40} < 72^{20}$.
Ответ: $8^{40} < 72^{20}$.

в) $21^4$ и $28^3$

Разложим основания на простые множители. $21 = 3 \cdot 7$, $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.
Первое выражение: $21^4 = (3 \cdot 7)^4 = 3^4 \cdot 7^4$.
Второе выражение: $28^3 = (2^2 \cdot 7)^3 = (2^2)^3 \cdot 7^3 = 2^6 \cdot 7^3$.
Сравним $3^4 \cdot 7^4$ и $2^6 \cdot 7^3$. Разделим оба выражения на общий множитель $7^3$.
Сравниваем $3^4 \cdot 7$ и $2^6$.
Вычисляем значения: $3^4 \cdot 7 = 81 \cdot 7 = 567$.
$2^6 = 64$.
Так как $567 > 64$, то и $3^4 \cdot 7^4 > 2^6 \cdot 7^3$.
Следовательно, $21^4 > 28^3$.
Ответ: $21^4 > 28^3$.

г) $63^{30}$ и $9^{60}$

Приведем выражения к одному показателю степени. Заметим, что $60 = 2 \cdot 30$.
Преобразуем второе выражение: $9^{60} = 9^{2 \cdot 30} = (9^2)^{30} = 81^{30}$.
Теперь сравним $63^{30}$ и $81^{30}$.
Так как показатели степени одинаковы (30), сравниваем основания.
Поскольку $63 < 81$, то $63^{30} < 81^{30}$.
Следовательно, $63^{30} < 9^{60}$.
Ответ: $63^{30} < 9^{60}$.

д) $9^4$ и $27^3$

Приведем выражения к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
Первое выражение: $9^4 = (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$.
Второе выражение: $27^3 = (3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$.
Теперь сравним $3^8$ и $3^9$.
Так как основание $3 > 1$, то чем больше показатель степени, тем больше значение выражения.
Поскольку $8 < 9$, то $3^8 < 3^9$.
Следовательно, $9^4 < 27^3$.
Ответ: $9^4 < 27^3$.

е) $8^9$ и $4^{14}$

Приведем выражения к одному основанию. Заметим, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.
Первое выражение: $8^9 = (2^3)^9 = 2^{3 \cdot 9} = 2^{27}$.
Второе выражение: $4^{14} = (2^2)^{14} = 2^{2 \cdot 14} = 2^{28}$.
Теперь сравним $2^{27}$ и $2^{28}$.
Так как основание $2 > 1$, то чем больше показатель степени, тем больше значение выражения.
Поскольку $27 < 28$, то $2^{27} < 2^{28}$.
Следовательно, $8^9 < 4^{14}$.
Ответ: $8^9 < 4^{14}$.