Номер 796, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Натуральные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 796, страница 226.

Условие.

796. Допишите к числу 378 справа такие три цифры, чтобы полученное шестизначное число делилось на 6, 7 и 9.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Пусть искомое шестизначное число равно $N$. По условию, оно образуется дописыванием трех цифр справа к числу 378. Обозначим эти три цифры как $x, y, z$. Тогда число $N$ можно представить в виде $\overline{378xyz}$. Аналитически это число можно записать как $N = 378 \cdot 1000 + \overline{xyz}$, где $\overline{xyz}$ — это трехзначное число, равное $100x + 10y + z$.

Число $N$ должно делиться на 6, 7 и 9. Если число делится на несколько чисел, оно должно делиться и на их наименьшее общее кратное (НОК). Найдем НОК для чисел 6, 7 и 9.

Разложим числа на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$7 = 7$ (простое число)
$9 = 3^2$

Тогда НОК(6, 7, 9) будет равно произведению наибольших степеней всех простых множителей, входящих в разложения:
$НОК(6, 7, 9) = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$.

Следовательно, искомое число $N = \overline{378xyz}$ должно делиться на 126. Запишем $N$ в виде суммы: $N = 378000 + \overline{xyz}$.

Проверим, делится ли первое слагаемое, 378000, на 126. Для этого достаточно проверить, делится ли 378 на 126:
$378 \div 126 = 3$
Значит, $378000 \div 126 = 3000$. Число 378000 делится на 126 без остатка.

Так как сумма $378000 + \overline{xyz}$ должна делиться на 126, и первое слагаемое (378000) делится на 126, то и второе слагаемое ($\overline{xyz}$) также должно делиться на 126.

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти все трехзначные числа (от 000 до 999), которые кратны 126. Найдем их, умножая 126 на целые числа, начиная с 0:

• $126 \cdot 0 = 0$. Дописываем цифры 0, 0, 0. Получаем число 378000.
• $126 \cdot 1 = 126$. Дописываем цифры 1, 2, 6. Получаем число 378126.
• $126 \cdot 2 = 252$. Дописываем цифры 2, 5, 2. Получаем число 378252.
• $126 \cdot 3 = 378$. Дописываем цифры 3, 7, 8. Получаем число 378378.
• $126 \cdot 4 = 504$. Дописываем цифры 5, 0, 4. Получаем число 378504.
• $126 \cdot 5 = 630$. Дописываем цифры 6, 3, 0. Получаем число 378630.
• $126 \cdot 6 = 756$. Дописываем цифры 7, 5, 6. Получаем число 378756.
• $126 \cdot 7 = 882$. Дописываем цифры 8, 8, 2. Получаем число 378882.
• $126 \cdot 8 = 1008$. Это уже четырехзначное число, поэтому оно не подходит.

Таким образом, существует 8 вариантов трех цифр, которые можно дописать к числу 378.

Ответ: к числу 378 можно дописать следующие тройки цифр: 000, 126, 252, 378, 504, 630, 756, 882.