Номер 792, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Натуральные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 792, страница 226.

Условие.

792. Разложите число на простые множители:

а) 254;

б) 1276;

в) 1654;

г) 2048;

д) 144;

е) $21^6$;

ж) 1256;

з) 2544.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы разложить число 254 на простые множители, будем последовательно делить его на простые числа, начиная с наименьшего.

Число 254 четное, значит, оно делится на 2:

$254 : 2 = 127$

Теперь нужно разложить число 127. Проверим, является ли оно простым. Будем проверять его делимость на простые числа (3, 5, 7, 11...). Так как $\sqrt{127} \approx 11.2$, достаточно проверить делимость на простые числа до 11.

$127$ не делится на 3 (сумма цифр $1+2+7=10$).

$127$ не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).

$127 : 7 = 18$ (остаток 1).

$127 : 11 = 11$ (остаток 6).

Следовательно, 127 является простым числом.

Разложение числа 254 на простые множители: $254 = 2 \cdot 127$.

Ответ: $254 = 2 \cdot 127$.

б) Разложим число 1276 на простые множители.

Число 1276 четное, делим на 2:

$1276 : 2 = 638$

Полученное число 638 также четное, снова делим на 2:

$638 : 2 = 319$

Проверим делимость числа 319 на простые числа. Оно не делится на 3 (сумма цифр 13) и 5. Проверим делимость на 7: $319 : 7 = 45$ (ост. 4). Проверим делимость на 11:

$319 : 11 = 29$

Число 29 является простым.

Таким образом, разложение числа 1276: $1276 = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 29 = 2^2 \cdot 11 \cdot 29$.

Ответ: $1276 = 2^2 \cdot 11 \cdot 29$.

в) Разложим число 1654 на простые множители.

Число 1654 четное, делим на 2:

$1654 : 2 = 827$

Теперь разложим число 827. Проверим его делимость на простые числа. $\sqrt{827} \approx 28.7$, поэтому будем проверять делимость на простые числа до 23. Последовательная проверка показывает, что 827 не делится на 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

Следовательно, 827 — простое число.

Разложение числа 1654: $1654 = 2 \cdot 827$.

Ответ: $1654 = 2 \cdot 827$.

г) Разложим число 2048 на простые множители.

Число 2048 является степенью двойки. Будем последовательно делить его на 2:

$2048 : 2 = 1024$

$1024 : 2 = 512$

$512 : 2 = 256$

$256 : 2 = 128$

$128 : 2 = 64$

$64 : 2 = 32$

$32 : 2 = 16$

$16 : 2 = 8$

$8 : 2 = 4$

$4 : 2 = 2$

$2 : 2 = 1$

Мы разделили на 2 одиннадцать раз. Таким образом, $2048 = 2^{11}$.

Ответ: $2048 = 2^{11}$.

д) Разложим число 144 на простые множители.

Число 144 четное, делим на 2:

$144 : 2 = 72$

$72 : 2 = 36$

$36 : 2 = 18$

$18 : 2 = 9$

Число 9 не делится на 2. Следующее простое число — 3. $9 : 3 = 3$.

Число 3 является простым.

Следовательно, разложение числа 144: $144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^2$.

Ответ: $144 = 2^4 \cdot 3^2$.

е) Требуется разложить на простые множители число $216^6$.

Сначала разложим на простые множители основание степени — число 216.

$216 : 2 = 108$

$108 : 2 = 54$

$54 : 2 = 27$

$27 : 3 = 9$

$9 : 3 = 3$

Таким образом, $216 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^3$.

Теперь возведем полученное разложение в 6-ю степень, используя свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$216^6 = (2^3 \cdot 3^3)^6 = (2^3)^6 \cdot (3^3)^6 = 2^{3 \cdot 6} \cdot 3^{3 \cdot 6} = 2^{18} \cdot 3^{18}$.

Ответ: $216^6 = 2^{18} \cdot 3^{18}$.

ж) Разложим число 1256 на простые множители.

Число 1256 четное, делим на 2:

$1256 : 2 = 628$

$628 : 2 = 314$

$314 : 2 = 157$

Теперь нужно разложить число 157. Проверим, является ли оно простым. $\sqrt{157} \approx 12.5$, поэтому достаточно проверить делимость на простые числа до 11 (2, 3, 5, 7, 11). Проверка показывает, что 157 не делится ни на одно из этих чисел.

Число 157 является простым.

Следовательно, разложение числа 1256: $1256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 157 = 2^3 \cdot 157$.

Ответ: $1256 = 2^3 \cdot 157$.

з) Разложим число 2544 на простые множители.

Число 2544 четное, делим его последовательно на 2:

$2544 : 2 = 1272$

$1272 : 2 = 636$

$636 : 2 = 318$

$318 : 2 = 159$

Теперь разложим число 159. Оно нечетное. Проверим делимость на 3. Сумма цифр $1+5+9=15$, что делится на 3.

$159 : 3 = 53$

Число 53 является простым, так как не делится на 2, 3, 5, 7 (проверка до $\sqrt{53} \approx 7.2$).

Таким образом, разложение числа 2544: $2544 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 53 = 2^4 \cdot 3 \cdot 53$.

Ответ: $2544 = 2^4 \cdot 3 \cdot 53$.