Номер 788, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Натуральные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 788, страница 226.

Условие.

788. a) $4^8$ и $8^6$;

б) $14^4$ и $2^{16}$;

в) $10^{20}$ и $20^{10}$;

г) $10^{10}$ и $90^{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $4^8$ и $8^6$

Для сравнения чисел $4^8$ и $8^6$, приведем их к одному основанию. Заметим, что оба основания, 4 и 8, являются степенями числа 2: $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Теперь подставим эти значения в исходные выражения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$4^8 = (2^2)^8 = 2^{2 \cdot 8} = 2^{16}$

$8^6 = (2^3)^6 = 2^{3 \cdot 6} = 2^{18}$

Теперь сравним полученные степени: $2^{16}$ и $2^{18}$. Так как основание степени $2 > 1$, то больше то число, у которого показатель степени больше.

Поскольку $18 > 16$, то $2^{18} > 2^{16}$.

Следовательно, $8^6 > 4^8$.

Ответ: $4^8 < 8^6$.

б) $144^4$ и $2^{16}$

Чтобы сравнить $144^4$ и $2^{16}$, приведем их к одному показателю степени. Показатели степеней — 4 и 16. Можно представить $2^{16}$ как степень с показателем 4.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$2^{16} = 2^{4 \cdot 4} = (2^4)^4$

Вычислим основание новой степени: $2^4 = 16$.

Таким образом, $2^{16} = 16^4$.

Теперь сравним $144^4$ и $16^4$. Так как показатели степеней одинаковы и положительны, нужно сравнить основания.

Поскольку $144 > 16$, то $144^4 > 16^4$.

Следовательно, $144^4 > 2^{16}$.

Ответ: $144^4 > 2^{16}$.

в) $10^{20}$ и $20^{10}$

Для сравнения чисел $10^{20}$ и $20^{10}$ приведем их к общему показателю степени. Показатели степеней 20 и 10, их наибольший общий делитель равен 10.

Представим $10^{20}$ в виде степени с показателем 10, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$10^{20} = 10^{2 \cdot 10} = (10^2)^{10}$

Вычислим основание новой степени: $10^2 = 100$.

Таким образом, $10^{20} = 100^{10}$.

Теперь сравним $100^{10}$ и $20^{10}$. Так как показатели степеней равны, сравниваем основания.

Поскольку $100 > 20$, то $100^{10} > 20^{10}$.

Следовательно, $10^{20} > 20^{10}$.

Ответ: $10^{20} > 20^{10}$.

г) $10^{10}$ и $90^{10}$

В данном случае необходимо сравнить числа $10^{10}$ и $90^{10}$.

Заметим, что показатели степеней у этих чисел одинаковы и равны 10.

Если у двух степеней одинаковые положительные показатели, то больше та степень, у которой больше основание.

Сравним основания: $10$ и $90$.

Поскольку $10 < 90$, то и $10^{10} < 90^{10}$.

Ответ: $10^{10} < 90^{10}$.