Номер 795, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Натуральные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 795, страница 226.

Условие.

795. a) Какой цифрой не может оканчиваться квадрат натурального числа?

б) В каких случаях квадрат натурального числа является чётным числом?

в) Какими цифрами оканчиваются кубы последовательных натуральных чисел? В какой последовательности повторяются эти цифры?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Последняя цифра квадрата натурального числа ($n^2$) зависит только от последней цифры самого числа ($n$). Чтобы определить все возможные последние цифры квадрата, достаточно возвести в квадрат все цифры от 0 до 9 и посмотреть на последнюю цифру результата. Вычисления показывают: $0^2=0$, $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$ (оканчивается на 6), $5^2=25$ (оканчивается на 5), $6^2=36$ (оканчивается на 6), $7^2=49$ (оканчивается на 9), $8^2=64$ (оканчивается на 4), $9^2=81$ (оканчивается на 1). Таким образом, множество возможных последних цифр для квадрата натурального числа — {0, 1, 4, 5, 6, 9}. Сравнивая это множество со всеми возможными цифрами {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, мы видим, что цифры 2, 3, 7 и 8 не могут быть последней цифрой квадрата натурального числа.
Ответ: Квадрат натурального числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8.

б) Квадрат натурального числа является чётным числом тогда и только тогда, когда само число является чётным. Чтобы это доказать, рассмотрим два случая. Случай 1: число $n$ — чётное. Его можно записать как $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда его квадрат $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \cdot (2k^2)$. Поскольку $n^2$ является произведением двойки и целого числа $2k^2$, оно чётное. Случай 2: число $n$ — нечётное. Его можно записать как $n = 2k-1$, где $k$ — натуральное число. Тогда его квадрат $n^2 = (2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1 = 2(2k^2 - 2k) + 1$. Это выражение имеет вид $2m+1$ (где $m=2k^2 - 2k$), что по определению является нечётным числом. Следовательно, квадрат натурального числа чётен только тогда, когда само число чётно.
Ответ: Квадрат натурального числа является чётным числом, если само это натуральное число является чётным.

в) Последняя цифра куба натурального числа ($n^3$) зависит только от последней цифры самого числа $n$. Чтобы найти все возможные последние цифры и их последовательность, рассмотрим кубы чисел от 1 до 10: $1^3=1$, $2^3=8$, $3^3=27$ (последняя цифра 7), $4^3=64$ (последняя цифра 4), $5^3=125$ (последняя цифра 5), $6^3=216$ (последняя цифра 6), $7^3=343$ (последняя цифра 3), $8^3=512$ (последняя цифра 2), $9^3=729$ (последняя цифра 9), $10^3=1000$ (последняя цифра 0). Из этого следует, что куб натурального числа может оканчиваться на любую цифру от 0 до 9. Поскольку последняя цифра натуральных чисел повторяется с периодом 10 (например, у чисел 1, 11, 21 и т.д. последняя цифра 1), то и последовательность последних цифр их кубов будет периодически повторяться с периодом 10. Эта последовательность, полученная из кубов чисел от 1 до 10, выглядит так: 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0.
Ответ: Кубы последовательных натуральных чисел оканчиваются всеми цифрами от 0 до 9. Эти цифры повторяются в последовательности 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0.