Номер 799, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Натуральные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 799, страница 226.

Условие.

799. Вычислите:

a) $25^4 \cdot 4^5$;

б) $5^6 \cdot 2^7$;

в) $125^2 \cdot 8^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $25^4 \cdot 4^5$

Для удобства вычислений приведем степени к одному показателю. Для этого разложим множитель с большим показателем $4^5$ на два множителя: $4^5 = 4^{4+1} = 4^4 \cdot 4^1$.

Выражение примет вид:

$25^4 \cdot 4^4 \cdot 4$

Теперь воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$(25 \cdot 4)^4 \cdot 4 = 100^4 \cdot 4$

Далее, представим $100$ как $10^2$ и воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(10^2)^4 \cdot 4 = 10^{2 \cdot 4} \cdot 4 = 10^8 \cdot 4$

Вычислим конечное значение:

$10^8 \cdot 4 = 100~000~000 \cdot 4 = 400~000~000$

Ответ: $400~000~000$.

б) $5^6 \cdot 2^7$

Чтобы использовать свойство умножения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, представим множитель с большим показателем степени в виде произведения. Разложим $2^7$ как $2^6 \cdot 2^1$.

Выражение примет вид:

$5^6 \cdot 2^6 \cdot 2^1$

Сгруппируем множители с одинаковым показателем степени:

$(5 \cdot 2)^6 \cdot 2 = 10^6 \cdot 2$

Вычислим итоговое значение:

$10^6 \cdot 2 = 1~000~000 \cdot 2 = 2~000~000$

Ответ: $2~000~000$.

в) $125^2 \cdot 8^2$

В данном примере показатели степеней одинаковы. Воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$125^2 \cdot 8^2 = (125 \cdot 8)^2$

Сначала вычислим произведение в скобках:

$125 \cdot 8 = 1000$

Теперь возведем результат в квадрат:

$1000^2 = 1~000~000$

Альтернативный способ:

Представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $125 = 5^3$ и $8 = 2^3$.

$(5^3)^2 \cdot (2^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} \cdot 2^{3 \cdot 2} = 5^6 \cdot 2^6 = (5 \cdot 2)^6 = 10^6 = 1~000~000$

Ответ: $1~000~000$.