Номер 789, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Натуральные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 789, страница 226.

Условие.

789. Справедливы ли равенства (n и k — натуральные числа):

а) $ (a^k)^n = (a^n)^k; $

б) $ n^k = k^n? $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Проверим справедливость равенства $(a^k)^n = (a^n)^k$, используя свойство возведения степени в степень. По определению, $(x^m)^p = x^{m \cdot p}$.
Рассмотрим левую часть равенства: $(a^k)^n$. Применяя свойство возведения степени в степень, мы умножаем показатели $k$ и $n$:
$(a^k)^n = a^{k \cdot n}$
Теперь рассмотрим правую часть равенства: $(a^n)^k$. Аналогично, умножаем показатели $n$ и $k$:
$(a^n)^k = a^{n \cdot k}$
Так как для натуральных чисел $n$ и $k$ действует переместительный (коммутативный) закон умножения, то есть $k \cdot n = n \cdot k$, то и результаты, полученные для левой и правой частей, равны:
$a^{k \cdot n} = a^{n \cdot k}$
Следовательно, исходное равенство справедливо для любых натуральных $n$ и $k$.
Ответ: Да, равенство справедливо.

б)

Проверим справедливость равенства $n^k = k^n$. Данное равенство не является тождеством, то есть оно выполняется не для всех пар натуральных чисел $n$ и $k$. Чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один контрпример, где равенство не выполняется.
Возьмем в качестве примера натуральные числа $n=2$ и $k=3$.
Подставим эти значения в левую часть равенства:
$n^k = 2^3 = 8$
Подставим эти же значения в правую часть равенства:
$k^n = 3^2 = 9$
Так как $8 \neq 9$, то равенство $n^k = k^n$ для данной пары чисел не справедливо.
Стоит отметить, что существуют частные случаи, когда это равенство выполняется. Например, при $n=k$ ($3^3 = 3^3$) или для уникальной пары различных чисел $n=2, k=4$ ($2^4 = 16$ и $4^2 = 16$). Однако, поскольку равенство выполняется не для всех натуральных чисел, в общем случае оно не является справедливым.
Ответ: Нет, в общем случае равенство не справедливо.