Номер 787, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Натуральные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 787, страница 226.

Условие.

Сравните значения числовых выражений (787–788):

787. а) $(2^4)^2$ и $2^4 \cdot 2$;

б) $(3^2)^2$ и $3^2 \cdot 2$;

в) $(5^2)^4$ и $5^2 \cdot 4$;

г) $(4^3)^2$ и $4^3 \cdot 2$;

д) $(2 \cdot 5)^2$ и $10^2$;

е) $(2 \cdot 5)^3$ и $10^3$;

ж) $(3 \cdot 4)^3$ и $3^3 \cdot 4^3$;

з) $2^4$ и $4^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Сравним $(2^4)^2$ и $2^4 \cdot 2$.

Для первого выражения используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.
Вычислим значение: $2^8 = 256$.

Для второго выражения просто выполним вычисления:
$2^4 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$.

Сравниваем полученные результаты: $256 > 32$.
Следовательно, $(2^4)^2 > 2^4 \cdot 2$.

Ответ: $(2^4)^2 > 2^4 \cdot 2$.

б) Сравним $(3^2)^2$ и $3^2 \cdot 2$.

Преобразуем первое выражение по свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$.
Вычислим значение: $3^4 = 81$.

Вычислим значение второго выражения:
$3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Сравниваем результаты: $81 > 18$.
Значит, $(3^2)^2 > 3^2 \cdot 2$.

Ответ: $(3^2)^2 > 3^2 \cdot 2$.

в) Сравним $(5^2)^4$ и $5^2 \cdot 4$.

Упростим первое выражение, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.
Вычислим его значение: $5^8 = 390625$.

Теперь вычислим значение второго выражения:
$5^2 \cdot 4 = 25 \cdot 4 = 100$.

Сравниваем полученные значения: $390625 > 100$.
Таким образом, $(5^2)^4 > 5^2 \cdot 4$.

Ответ: $(5^2)^4 > 5^2 \cdot 4$.

г) Сравним $(4^3)^2$ и $4^3 \cdot 2$.

Применим свойство возведения степени в степень к первому выражению:
$(4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6$.
Вычислим значение: $4^6 = (4^3)^2 = 64^2 = 4096$.

Вычислим значение второго выражения:
$4^3 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128$.

Сравниваем: $4096 > 128$.
Следовательно, $(4^3)^2 > 4^3 \cdot 2$.

Ответ: $(4^3)^2 > 4^3 \cdot 2$.

д) Сравним $(2 \cdot 5)^2$ и $10^2$.

Рассмотрим первое выражение. Можно сначала выполнить умножение в скобках:
$(2 \cdot 5)^2 = 10^2$.
Видно, что это выражение равно второму выражению.

Можно также использовать свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$(2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$.
Второе выражение: $10^2 = 100$.
Значения равны.

Ответ: $(2 \cdot 5)^2 = 10^2$.

е) Сравним $(2 \cdot 5)^3$ и $10^3$.

Выполним умножение в скобках в первом выражении:
$(2 \cdot 5)^3 = 10^3$.

Полученное выражение идентично второму. Вычислим значения для проверки:
$10^3 = 1000$.
Следовательно, выражения равны.

Ответ: $(2 \cdot 5)^3 = 10^3$.

ж) Сравним $(3 \cdot 4)^3$ и $3^3 \cdot 4^3$.

Для первого выражения можно применить свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$(3 \cdot 4)^3 = 3^3 \cdot 4^3$.
Таким образом, выражения равны по свойству степени.

Проверим это вычислением.
Первое выражение: $(3 \cdot 4)^3 = 12^3 = 1728$.
Второе выражение: $3^3 \cdot 4^3 = 27 \cdot 64 = 1728$.
Результаты совпадают.

Ответ: $(3 \cdot 4)^3 = 3^3 \cdot 4^3$.

з) Сравним $2^4$ и $4^2$.

Вычислим значение первого выражения:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Вычислим значение второго выражения:
$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$.
Также можно представить второе выражение через основание 2: $4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4$.

Оба подхода показывают, что выражения равны.

Ответ: $2^4 = 4^2$.