Страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

763. Решите линейное диофантово уравнение:

а) $3x + 5y = 10;$

б) $2x - 5y = 15;$

в) $2x + 3y = 5;$

г) $7x - 5y = 2;$

д) $2x + 7y = 14;$

е) $3x + 5y = 60.$

а) $3x + 5y = 10$

Линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$ имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$ делит свободный член $c$.

В данном уравнении $a = 3$, $b = 5$, $c = 10$. Найдём НОД(3, 5). Так как 3 и 5 — взаимно простые числа, их наибольший общий делитель равен 1.
НОД(3, 5) = 1.

Поскольку $c = 10$ делится на $1$ без остатка, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение $(x_0, y_0)$ методом подбора. Предположим, $x=0$. Тогда уравнение примет вид $5y = 10$, откуда $y = 2$. Таким образом, пара $(x_0, y_0) = (0, 2)$ является частным решением. Проверим: $3 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 10$.

Общее решение диофантова уравнения находится по формулам:
$x = x_0 + \frac{b}{d} n$
$y = y_0 - \frac{a}{d} n$
где $d = \text{НОД}(a, b)$, а $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Подставим наши значения: $x_0 = 0$, $y_0 = 2$, $a=3$, $b=5$, $d=1$.
$x = 0 + \frac{5}{1} n = 5n$
$y = 2 - \frac{3}{1} n = 2 - 3n$

Ответ: $x = 5n$, $y = 2 - 3n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $2x - 5y = 15$

Проверим условие разрешимости. В этом уравнении $a = 2$, $b = -5$, $c = 15$.
НОД(2, -5) = НОД(2, 5) = 1.

Так как $c = 15$ делится на $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение $(x_0, y_0)$. Выразим $2x = 15 + 5y = 5(3+y)$. Отсюда видно, что правая часть делится на 5, значит и $2x$ должно делиться на 5. Поскольку 2 и 5 взаимно просты, $x$ должен быть кратен 5. Пусть $x_0 = 10$. Тогда $2 \cdot 10 - 5y_0 = 15$, что дает $20 - 5y_0 = 15$, $5y_0 = 5$, $y_0 = 1$. Частное решение: $(10, 1)$.

Общее решение имеет вид:
$x = x_0 + \frac{b}{d} n = 10 + \frac{-5}{1} n = 10 - 5n$
$y = y_0 - \frac{a}{d} n = 1 - \frac{2}{1} n = 1 - 2n$
где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 10 - 5n$, $y = 1 - 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $2x + 3y = 5$

Проверим условие разрешимости. Здесь $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$.
НОД(2, 3) = 1.

Так как $c = 5$ делится на $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение $(x_0, y_0)$ подбором. Если $x_0 = 1$, то $2 \cdot 1 + 3y_0 = 5$, откуда $3y_0 = 3$ и $y_0 = 1$. Таким образом, частное решение: $(1, 1)$. Проверка: $2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5$.

Найдём общее решение по формулам, где $d=1$:
$x = x_0 + \frac{b}{d} n = 1 + \frac{3}{1} n = 1 + 3n$
$y = y_0 - \frac{a}{d} n = 1 - \frac{2}{1} n = 1 - 2n$
где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 1 + 3n$, $y = 1 - 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $7x - 5y = 2$

Проверим условие разрешимости. Здесь $a = 7$, $b = -5$, $c = 2$.
НОД(7, -5) = НОД(7, 5) = 1.

Так как $c = 2$ делится на $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение $(x_0, y_0)$ подбором. Если $x_0 = 1$, то $7 \cdot 1 - 5y_0 = 2$, откуда $7 - 5y_0 = 2$, $5y_0 = 5$, $y_0 = 1$. Частное решение: $(1, 1)$. Проверка: $7 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = 2$.

Найдём общее решение. Заменив $n$ на $-n$, можно записать формулы в виде $x = x_0 - \frac{b}{d} n$, $y = y_0 + \frac{a}{d} n$.
$x = 1 - \frac{-5}{1} n = 1 + 5n$
$y = 1 + \frac{7}{1} n = 1 + 7n$
где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 1 + 5n$, $y = 1 + 7n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

д) $2x + 7y = 14$

Проверим условие разрешимости. Здесь $a = 2$, $b = 7$, $c = 14$.
НОД(2, 7) = 1.

Так как $c = 14$ делится на $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение. Заметим, что правая часть $14$ делится на коэффициент $b=7$. Если $x_0 = 0$, то $7y_0 = 14$, откуда $y_0 = 2$. Частное решение: $(0, 2)$. Проверка: $2 \cdot 0 + 7 \cdot 2 = 14$.

Найдём общее решение, используя $d=1, x_0=0, y_0=2$:
$x = x_0 + \frac{b}{d} n = 0 + \frac{7}{1} n = 7n$
$y = y_0 - \frac{a}{d} n = 2 - \frac{2}{1} n = 2 - 2n$
где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 7n$, $y = 2 - 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

е) $3x + 5y = 60$

Проверим условие разрешимости. Здесь $a = 3$, $b = 5$, $c = 60$.
НОД(3, 5) = 1.

Так как $c = 60$ делится на $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение. Правая часть $60$ делится на коэффициент $a=3$. Если $y_0 = 0$, то $3x_0 = 60$, откуда $x_0 = 20$. Частное решение: $(20, 0)$. Проверка: $3 \cdot 20 + 5 \cdot 0 = 60$.

Найдём общее решение, используя $d=1, x_0=20, y_0=0$:
$x = x_0 + \frac{b}{d} n = 20 + \frac{5}{1} n = 20 + 5n$
$y = y_0 - \frac{a}{d} n = 0 - \frac{3}{1} n = -3n$
где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 20 + 5n$, $y = -3n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

764. Объясните, почему уравнение:

а) $2x + 6y = 11$;

б) $3x - 9y = 10$;

в) $7x - 21y = 12

не имеет решений в целых числах.

Общий принцип для решения подобных задач заключается в следующем: для того чтобы линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$ имело решения в целых числах, необходимо и достаточно, чтобы правая часть $c$ делилась нацело на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$. Проверим каждое уравнение на соответствие этому условию.

а) $2x + 6y = 11$

Рассмотрим левую часть уравнения: $2x + 6y$. Общий множитель для коэффициентов 2 и 6 равен 2. Вынесем его за скобки: $2(x + 3y)$.

Поскольку $x$ и $y$ по условию должны быть целыми числами, то их комбинация $(x + 3y)$ также будет являться целым числом. Это означает, что вся левая часть уравнения, $2(x + 3y)$, при любых целых $x$ и $y$ всегда будет четным числом (так как она является произведением 2 и целого числа).

Правая часть уравнения равна 11. Это нечетное число.

Равенство между четным и нечетным числом невозможно. Следовательно, данное уравнение не может иметь решений в целых числах.

Ответ: левая часть уравнения, $2(x+3y)$, всегда является четным числом при целых $x$ и $y$, а правая часть, 11, — нечетное число, поэтому равенство невозможно.

б) $3x - 9y = 10$

Рассмотрим левую часть уравнения: $3x - 9y$. Наибольший общий делитель коэффициентов 3 и 9 равен 3. Вынесем его за скобки: $3(x - 3y)$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, выражение в скобках $(x - 3y)$ также является целым числом. Таким образом, левая часть уравнения, $3(x - 3y)$, при любых целых $x$ и $y$ всегда будет числом, кратным 3.

Правая часть уравнения равна 10. Число 10 не делится нацело на 3 (признак делимости на 3: сумма цифр $1+0=1$ не делится на 3).

Так как левая часть всегда делится на 3, а правая — нет, равенство невозможно. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: левая часть уравнения, $3(x-3y)$, всегда кратна 3 при целых $x$ и $y$, а правая часть, 10, на 3 не делится, поэтому равенство невозможно.

в) $7x - 21y = 12$

Рассмотрим левую часть уравнения: $7x - 21y$. Наибольший общий делитель коэффициентов 7 и 21 равен 7. Вынесем его за скобки: $7(x - 3y)$.

Так как $x$ и $y$ — целые числа, выражение $(x - 3y)$ также является целым числом. Следовательно, левая часть уравнения, $7(x - 3y)$, при любых целых $x$ и $y$ всегда будет числом, кратным 7.

Правая часть уравнения равна 12. Число 12 не делится нацело на 7 ($12 = 1 \cdot 7 + 5$).

Поскольку левая часть всегда кратна 7, а правая — нет, равенство невозможно. Таким образом, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: левая часть уравнения, $7(x-3y)$, всегда кратна 7 при целых $x$ и $y$, а правая часть, 12, на 7 не делится, поэтому равенство невозможно.

765. Старинная задача.

У покупателя и продавца есть купюры по 5 р. и 50 р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку стоимостью:

a) 112 р.;

б) 30 р.?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, какие суммы можно составить, используя купюры номиналом 5 и 50 рублей. Процесс оплаты включает передачу денег от покупателя продавцу и, возможно, получение сдачи от продавца покупателю. И покупатель, и продавец используют только купюры по 5 и 50 рублей.

Пусть покупатель передает продавцу $x_1$ купюр по 5 рублей и $y_1$ купюр по 50 рублей. Сумма, которую он передал, равна $5x_1 + 50y_1$. Продавец, в свою очередь, может дать сдачу. Пусть он дает $x_2$ купюр по 5 рублей и $y_2$ купюр по 50 рублей. Сумма сдачи равна $5x_2 + 50y_2$.

Стоимость покупки, которую в итоге оплатил покупатель, равна разнице между суммой, которую он дал, и суммой полученной сдачи:

Стоимость $= (5x_1 + 50y_1) - (5x_2 + 50y_2) = 5(x_1 - x_2) + 50(y_1 - y_2)$

Обозначим $X = x_1 - x_2$ и $Y = y_1 - y_2$. $X$ и $Y$ — это целые числа, которые показывают чистое количество 5-рублевых и 50-рублевых купюр, перешедших от покупателя к продавцу. Тогда формула для стоимости покупки выглядит так:

Стоимость $= 5X + 50Y = 5(X + 10Y)$

Из этой формулы видно, что любая сумма, которую можно заплатить таким образом, должна быть кратна 5, так как она является произведением числа 5 и целого числа $(X + 10Y)$.

а) 112 р.

Проверим, можно ли заплатить 112 рублей. Для этого необходимо выяснить, делится ли число 112 на 5. Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5. Последняя цифра в числе 112 — это 2. Следовательно, 112 не делится на 5 ($112 = 5 \cdot 22 + 2$).

Так как стоимость покупки 112 р. не кратна 5, то не существует таких целых чисел $X$ и $Y$, для которых выполнялось бы равенство $112 = 5(X + 10Y)$. Значит, заплатить 112 рублей невозможно.

Ответ: нет, не сможет.

б) 30 р.

Проверим, можно ли заплатить 30 рублей. Для этого выясним, делится ли число 30 на 5. Последняя цифра в числе 30 — это 0. Следовательно, 30 делится на 5 без остатка ($30 = 5 \cdot 6$).

Значит, заплатить 30 рублей возможно. Нам нужно найти такие целые числа $X$ и $Y$, чтобы $30 = 5X + 50Y$. Разделим обе части уравнения на 5:

$6 = X + 10Y$

Мы можем найти несколько вариантов решения. Например, если $Y=0$, то $X=6$. Это соответствует ситуации, когда покупатель передает продавцу 6 купюр по 5 рублей ($6 \cdot 5 = 30$ р.) и не получает сдачи. Другой вариант: если $Y=1$, то $X = 6 - 10 = -4$. Это соответствует ситуации, когда покупатель платит одной купюрой в 50 рублей, а продавец дает ему сдачу 4 купюры по 5 рублей ($4 \cdot 5 = 20$ р.). Итоговая оплата: $50 - 20 = 30$ р.

Поскольку существует хотя бы один способ оплаты, то заплатить 30 рублей возможно.

Ответ: да, сможет.

766. Объясните, почему уравнение:

а) $x + y = 5,5$;

б) $3x - 2y = 1,1$;

в) $6x + 9y = 2$;

г) $2x + 4y = -1

не имеет решений в целых числах.

Рассмотрим уравнение $x + y = 5,5$. По условию, $x$ и $y$ должны быть целыми числами. Сумма двух любых целых чисел всегда является целым числом. Однако в правой части уравнения стоит число $5,5$, которое не является целым. Поскольку целое число (значение выражения $x+y$) не может быть равно нецелому числу ($5,5$), у этого уравнения нет решений в целых числах.

Ответ: Сумма двух целых чисел ($x$ и $y$) всегда является целым числом, а $5,5$ — нецелое число.

Рассмотрим уравнение $3x - 2y = 1,1$. Если $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $3x$ и $2y$ также будут целыми числами (как произведение целых чисел). Разность двух целых чисел ($3x - 2y$) всегда дает в результате целое число. В правой части уравнения стоит число $1,1$, которое не является целым. Таким образом, мы приходим к противоречию: целое число не может равняться нецелому. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: Выражение в левой части ($3x - 2y$) при целых $x$ и $y$ всегда является целым числом, а правая часть ($1,1$) — нецелое число.

Рассмотрим уравнение $6x + 9y = 2$. Заметим, что коэффициенты при переменных $x$ и $y$ (числа $6$ и $9$) имеют общий делитель — число $3$. Вынесем его за скобки в левой части уравнения: $3(2x + 3y) = 2$.
Так как $x$ и $y$ — целые числа, то и значение выражения в скобках $2x + 3y$ будет целым числом. Обозначим это целое число как $k$, то есть $k = 2x + 3y$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Тогда уравнение принимает вид $3k = 2$. Из этого уравнения следует, что $k = \frac{2}{3}$.
Это противоречит тому, что $k$ должно быть целым числом. Значит, не существует таких целых $x$ и $y$, которые удовлетворяли бы исходному уравнению.

Ответ: Левая часть уравнения ($6x + 9y$) при любых целых $x$ и $y$ делится нацело на $3$, а правая часть ($2$) на $3$ не делится.

Рассмотрим уравнение $2x + 4y = -1$. В левой части уравнения оба слагаемых, $2x$ и $4y$, являются чётными числами при любых целых $x$ и $y$. Сумма двух чётных чисел также всегда является чётным числом. Таким образом, вся левая часть уравнения, $2x + 4y$, является чётным числом.
В правой части уравнения стоит число $-1$, которое является нечётным. Равенство между чётным и нечётным числом невозможно. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.
Другой способ рассуждения: вынесем общий множитель $2$ за скобки в левой части: $2(x + 2y) = -1$. Если $x$ и $y$ — целые числа, то $x + 2y$ — тоже целое число. Пусть $k = x+2y$. Тогда $2k = -1$, откуда $k = -\frac{1}{2}$. Это нецелое число, что приводит к противоречию.

Ответ: Левая часть уравнения ($2x + 4y$) при любых целых $x$ и $y$ является чётным числом, а правая часть ($-1$) — нечётным.

767. В комнате стоят стулья и табуретки. У каждого стула 4 ножки, а у каждой табуретки 3 ножки. Если на всех стульях и табуретках сидят люди, то всего «ног» 39. Сколько в комнате стульев и сколько табуреток?

Решение:

Пусть $x$ — это количество стульев, а $y$ — количество табуреток в комнате.

Согласно условию, у каждого стула 4 ножки. Следовательно, общее количество ножек у всех стульев составляет $4x$.

У каждой табуретки 3 ножки. Таким образом, общее количество ножек у всех табуреток равно $3y$.

В задаче сказано, что на всех стульях и табуретках сидят люди. Это означает, что количество людей в комнате равно общему количеству предметов мебели, то есть $x + y$. У каждого человека по 2 ноги, поэтому общее количество ног у всех людей составляет $2 \cdot (x + y)$.

Общее количество всех «ног» в комнате (ножки стульев, ножки табуреток и ноги людей) равно 39. Мы можем составить уравнение, сложив все «ноги»:

$4x + 3y + 2(x+y) = 39$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$4x + 3y + 2x + 2y = 39$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$(4x + 2x) + (3y + 2y) = 39$

$6x + 5y = 39$

Поскольку $x$ и $y$ представляют собой количество предметов, они должны быть целыми и неотрицательными числами. Решим это уравнение в целых числах. Для этого выразим одну переменную через другую, например, $y$ через $x$:

$5y = 39 - 6x$

$y = \frac{39 - 6x}{5}$

Чтобы значение $y$ было целым, числитель $(39 - 6x)$ должен делиться на 5 без остатка. Кроме того, количество табуреток $y$ не может быть отрицательным, поэтому $39 - 6x \ge 0$, что означает $6x \le 39$, или $x \le 6.5$. Следовательно, нам нужно проверить все целые значения $x$ от 0 до 6.

- При $x = 0$: $y = (39 - 0) / 5 = 7.8$ (не целое).

- При $x = 1$: $y = (39 - 6) / 5 = 33 / 5 = 6.6$ (не целое).

- При $x = 2$: $y = (39 - 12) / 5 = 27 / 5 = 5.4$ (не целое).

- При $x = 3$: $y = (39 - 18) / 5 = 21 / 5 = 4.2$ (не целое).

- При $x = 4$: $y = (39 - 24) / 5 = 15 / 5 = 3$. Это целое число, следовательно, это подходящее решение.

- При $x = 5$: $y = (39 - 30) / 5 = 9 / 5 = 1.8$ (не целое).

- При $x = 6$: $y = (39 - 36) / 5 = 3 / 5 = 0.6$ (не целое).

Единственная пара целых неотрицательных чисел, являющаяся решением уравнения, — это $x=4$ и $y=3$.

Выполним проверку:
Ножки 4 стульев: $4 \cdot 4 = 16$.
Ножки 3 табуреток: $3 \cdot 3 = 9$.
Количество людей: $4 + 3 = 7$. Ноги 7 человек: $7 \cdot 2 = 14$.
Общее количество «ног»: $16 + 9 + 14 = 39$.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: в комнате 4 стула и 3 табуретки.

768. Купили 40 птиц за 40 монет. За каждых трёх воробьёв платили 1 монету, за каждых двух горлиц платили 1 монету, а за каждого голубя — 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

Решение:

Пусть $x$ — количество купленных воробьёв, $y$ — количество горлиц, а $z$ — количество голубей.

Из условия задачи мы можем составить два основных уравнения.

1. Уравнение общего количества птиц: всего купили 40 птиц.

$x + y + z = 40$

2. Уравнение общей стоимости: вся покупка обошлась в 40 монет. Цены на птиц следующие:

• Воробей: 1 монета за 3 штуки, то есть $\frac{1}{3}$ монеты за одного.
• Горлица: 1 монета за 2 штуки, то есть $\frac{1}{2}$ монеты за одну.
• Голубь: 2 монеты за одного.

Уравнение стоимости:

$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + 2z = 40$

Также важно учесть, что количество птиц может быть только целым и неотрицательным числом. Более того, из условия о цене следует, что количество воробьёв $x$ должно быть кратно 3, а количество горлиц $y$ — кратно 2.

Получаем систему уравнений для нахождения целых неотрицательных решений:

$\begin{cases} x + y + z = 40 & (1) \\ \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + 2z = 40 & (2) \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

$2x + 3y + 12z = 240 \quad (3)$

Теперь решим систему из уравнений (1) и (3). Умножим уравнение (1) на 12:

$12x + 12y + 12z = 480 \quad (4)$

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

$(12x + 12y + 12z) - (2x + 3y + 12z) = 480 - 240$

$10x + 9y = 240$

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными. Будем искать его целые неотрицательные решения, учитывая, что $x$ кратно 3, а $y$ кратно 2.

Из уравнения $10x = 240 - 9y$ видно, что правая часть $(240 - 9y)$ должна делиться на 10. Так как 240 делится на 10, то и $9y$ должно делиться на 10. Поскольку числа 9 и 10 взаимно простые, это означает, что $y$ должен быть кратен 10.

Итак, $y$ должен быть неотрицательным числом, кратным 10. Также $y$ должен удовлетворять условию $240 - 9y \ge 0$ (поскольку $10x \ge 0$).

$9y \le 240 \implies y \le \frac{240}{9} \implies y \le 26\frac{2}{3}$

Следовательно, возможные значения для $y$: 0, 10, 20.

Рассмотрим каждый из этих случаев:

1. Если $y = 20$:

$10x = 240 - 9(20) = 240 - 180 = 60 \implies x = 6$.

Находим $z$ из первого уравнения: $z = 40 - x - y = 40 - 6 - 20 = 14$.

Проверяем условия: $x=6$ (кратно 3), $y=20$ (кратно 2). Все верно. Получаем первое возможное решение: 6 воробьёв, 20 горлиц, 14 голубей.

2. Если $y = 10$:

$10x = 240 - 9(10) = 240 - 90 = 150 \implies x = 15$.

Находим $z$: $z = 40 - x - y = 40 - 15 - 10 = 15$.

Проверяем условия: $x=15$ (кратно 3), $y=10$ (кратно 2). Все верно. Получаем второе возможное решение: 15 воробьёв, 10 горлиц, 15 голубей.

3. Если $y = 0$:

$10x = 240 - 9(0) = 240 \implies x = 24$.

Находим $z$: $z = 40 - x - y = 40 - 24 - 0 = 16$.

Проверяем условия: $x=24$ (кратно 3), $y=0$ (кратно 2). Все верно. Получаем третье возможное решение: 24 воробья, 0 горлиц, 16 голубей.

Таким образом, задача имеет три различных решения.

Ответ: Существует три варианта покупки:
1) 6 воробьёв, 20 горлиц и 14 голубей;
2) 15 воробьёв, 10 горлиц и 15 голубей;
3) 24 воробья, 0 горлиц и 16 голубей.