Номер 763, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения к главе 3. Глава 3. Линейные уравнения - номер 763, страница 219.

Условие.

763. Решите линейное диофантово уравнение:

а) $3x + 5y = 10;$

б) $2x - 5y = 15;$

в) $2x + 3y = 5;$

г) $7x - 5y = 2;$

д) $2x + 7y = 14;$

е) $3x + 5y = 60.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $3x + 5y = 10$

Линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$ имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$ делит свободный член $c$.

В данном уравнении $a = 3$, $b = 5$, $c = 10$. Найдём НОД(3, 5). Так как 3 и 5 — взаимно простые числа, их наибольший общий делитель равен 1.
НОД(3, 5) = 1.

Поскольку $c = 10$ делится на $1$ без остатка, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение $(x_0, y_0)$ методом подбора. Предположим, $x=0$. Тогда уравнение примет вид $5y = 10$, откуда $y = 2$. Таким образом, пара $(x_0, y_0) = (0, 2)$ является частным решением. Проверим: $3 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 10$.

Общее решение диофантова уравнения находится по формулам:
$x = x_0 + \frac{b}{d} n$
$y = y_0 - \frac{a}{d} n$
где $d = \text{НОД}(a, b)$, а $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Подставим наши значения: $x_0 = 0$, $y_0 = 2$, $a=3$, $b=5$, $d=1$.
$x = 0 + \frac{5}{1} n = 5n$
$y = 2 - \frac{3}{1} n = 2 - 3n$

Ответ: $x = 5n$, $y = 2 - 3n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $2x - 5y = 15$

Проверим условие разрешимости. В этом уравнении $a = 2$, $b = -5$, $c = 15$.
НОД(2, -5) = НОД(2, 5) = 1.

Так как $c = 15$ делится на $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение $(x_0, y_0)$. Выразим $2x = 15 + 5y = 5(3+y)$. Отсюда видно, что правая часть делится на 5, значит и $2x$ должно делиться на 5. Поскольку 2 и 5 взаимно просты, $x$ должен быть кратен 5. Пусть $x_0 = 10$. Тогда $2 \cdot 10 - 5y_0 = 15$, что дает $20 - 5y_0 = 15$, $5y_0 = 5$, $y_0 = 1$. Частное решение: $(10, 1)$.

Общее решение имеет вид:
$x = x_0 + \frac{b}{d} n = 10 + \frac{-5}{1} n = 10 - 5n$
$y = y_0 - \frac{a}{d} n = 1 - \frac{2}{1} n = 1 - 2n$
где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 10 - 5n$, $y = 1 - 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $2x + 3y = 5$

Проверим условие разрешимости. Здесь $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$.
НОД(2, 3) = 1.

Так как $c = 5$ делится на $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение $(x_0, y_0)$ подбором. Если $x_0 = 1$, то $2 \cdot 1 + 3y_0 = 5$, откуда $3y_0 = 3$ и $y_0 = 1$. Таким образом, частное решение: $(1, 1)$. Проверка: $2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5$.

Найдём общее решение по формулам, где $d=1$:
$x = x_0 + \frac{b}{d} n = 1 + \frac{3}{1} n = 1 + 3n$
$y = y_0 - \frac{a}{d} n = 1 - \frac{2}{1} n = 1 - 2n$
где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 1 + 3n$, $y = 1 - 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $7x - 5y = 2$

Проверим условие разрешимости. Здесь $a = 7$, $b = -5$, $c = 2$.
НОД(7, -5) = НОД(7, 5) = 1.

Так как $c = 2$ делится на $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение $(x_0, y_0)$ подбором. Если $x_0 = 1$, то $7 \cdot 1 - 5y_0 = 2$, откуда $7 - 5y_0 = 2$, $5y_0 = 5$, $y_0 = 1$. Частное решение: $(1, 1)$. Проверка: $7 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = 2$.

Найдём общее решение. Заменив $n$ на $-n$, можно записать формулы в виде $x = x_0 - \frac{b}{d} n$, $y = y_0 + \frac{a}{d} n$.
$x = 1 - \frac{-5}{1} n = 1 + 5n$
$y = 1 + \frac{7}{1} n = 1 + 7n$
где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 1 + 5n$, $y = 1 + 7n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

д) $2x + 7y = 14$

Проверим условие разрешимости. Здесь $a = 2$, $b = 7$, $c = 14$.
НОД(2, 7) = 1.

Так как $c = 14$ делится на $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение. Заметим, что правая часть $14$ делится на коэффициент $b=7$. Если $x_0 = 0$, то $7y_0 = 14$, откуда $y_0 = 2$. Частное решение: $(0, 2)$. Проверка: $2 \cdot 0 + 7 \cdot 2 = 14$.

Найдём общее решение, используя $d=1, x_0=0, y_0=2$:
$x = x_0 + \frac{b}{d} n = 0 + \frac{7}{1} n = 7n$
$y = y_0 - \frac{a}{d} n = 2 - \frac{2}{1} n = 2 - 2n$
где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 7n$, $y = 2 - 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

е) $3x + 5y = 60$

Проверим условие разрешимости. Здесь $a = 3$, $b = 5$, $c = 60$.
НОД(3, 5) = 1.

Так как $c = 60$ делится на $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

Найдём частное решение. Правая часть $60$ делится на коэффициент $a=3$. Если $y_0 = 0$, то $3x_0 = 60$, откуда $x_0 = 20$. Частное решение: $(20, 0)$. Проверка: $3 \cdot 20 + 5 \cdot 0 = 60$.

Найдём общее решение, используя $d=1, x_0=20, y_0=0$:
$x = x_0 + \frac{b}{d} n = 20 + \frac{5}{1} n = 20 + 5n$
$y = y_0 - \frac{a}{d} n = 0 - \frac{3}{1} n = -3n$
где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 20 + 5n$, $y = -3n$, где $n \in \mathbb{Z}$.