Номер 756, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 756, страница 214.

Условие.

756. В трёх сосудах 54 л воды. Если из первого перелить во второй 4 л, то в обоих сосудах будет воды поровну, а если из третьего сосуда перелить во второй 17 л, то во втором окажется в четыре раза больше воды, чем в третьем. Сколько воды в каждом сосуде?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальное количество воды в первом сосуде (в литрах), $y$ — во втором сосуде, а $z$ — в третьем.

Основываясь на условиях задачи, составим систему уравнений.

1. Общее количество воды в трех сосудах составляет 54 л:
$x + y + z = 54$

2. Если из первого сосуда перелить во второй 4 л, то в них станет воды поровну. Это означает, что в первом сосуде останется $(x - 4)$ л, а во втором станет $(y + 4)$ л. Составим уравнение:
$x - 4 = y + 4$
Из этого уравнения выразим $x$:
$x = y + 8$

3. Если из третьего сосуда перелить во второй 17 л, то во втором окажется в четыре раза больше воды, чем в третьем. После переливания во втором сосуде станет $(y + 17)$ л, а в третьем останется $(z - 17)$ л. Составим уравнение:
$y + 17 = 4 \cdot (z - 17)$
Упростим это уравнение и выразим $y$ через $z$:
$y + 17 = 4z - 68$
$y = 4z - 68 - 17$
$y = 4z - 85$

Таким образом, мы получили систему из трех уравнений:
1) $x + y + z = 54$
2) $x = y + 8$
3) $y = 4z - 85$

Решим эту систему методом подстановки. Сначала подставим выражение для $y$ из уравнения (3) в уравнение (2), чтобы выразить $x$ также через $z$:
$x = (4z - 85) + 8$
$x = 4z - 77$

Теперь подставим полученные выражения для $x$ и $y$ в первое уравнение системы:
$(4z - 77) + (4z - 85) + z = 54$

Решим это уравнение относительно $z$:
$4z - 77 + 4z - 85 + z = 54$
$9z - 162 = 54$
$9z = 54 + 162$
$9z = 216$
$z = \frac{216}{9}$
$z = 24$
Следовательно, в третьем сосуде было 24 л воды.

Теперь, зная $z$, найдем $y$, используя уравнение (3):
$y = 4 \cdot 24 - 85$
$y = 96 - 85$
$y = 11$
Таким образом, во втором сосуде было 11 л воды.

Наконец, найдем $x$, используя уравнение (2):
$x = 11 + 8$
$x = 19$
В первом сосуде было 19 л воды.

Ответ: в первом сосуде было 19 л воды, во втором — 11 л, а в третьем — 24 л.