Номер 753, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 753, страница 214.

Условие.

753. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 0,9 м, большая сторона меньше суммы двух других сторон на 10 см, а утроенная меньшая сторона на 2 см больше суммы двух других сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Пусть $a$ — наименьшая сторона, $b$ — средняя, а $c$ — наибольшая.

Сначала приведем все единицы измерения к сантиметрам, так как в условии используются и метры, и сантиметры. Периметр треугольника $P$ равен 0,9 м.

$P = 0,9 \text{ м} = 0,9 \times 100 \text{ см} = 90 \text{ см}$

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон:
$a + b + c = 90$

2. Большая сторона ($c$) меньше суммы двух других сторон ($a+b$) на 10 см. Это можно записать как:
$c = (a + b) - 10$

3. Утроенная меньшая сторона ($3a$) на 2 см больше суммы двух других сторон ($b+c$). Это можно записать как:
$3a = (b + c) + 2$

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} a + b + c = 90 & (1) \\ c = a + b - 10 & (2) \\ 3a = b + c + 2 & (3) \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение: $a + b + c = 90$. Сумма $a + b$ является частью этого уравнения. Из второго уравнения мы можем выразить $a+b$:
$a + b = c + 10$

Теперь подставим это выражение для $a+b$ в первое уравнение:
$(c + 10) + c = 90$
$2c + 10 = 90$
$2c = 90 - 10$
$2c = 80$
$c = 40$ см.

Итак, мы нашли длину наибольшей стороны. Теперь, зная $c=40$, мы можем найти сумму $a+b$ из первого уравнения:
$a + b + 40 = 90$
$a + b = 50$

Далее подставим значение $c=40$ в третье уравнение:
$3a = b + 40 + 2$
$3a = b + 42$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 50 \\ 3a = b + 42 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 50 - a$. Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:
$3a = (50 - a) + 42$
$3a = 92 - a$
$4a = 92$
$a = \frac{92}{4}$
$a = 23$ см.

Мы нашли наименьшую сторону. Осталось найти среднюю сторону $b$, используя соотношение $a+b=50$:
$23 + b = 50$
$b = 50 - 23$
$b = 27$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 23 см, 27 см и 40 см.

Проведем проверку:
1. Периметр: $23 + 27 + 40 = 90$ см, что равно $0,9$ м. Условие выполняется.
2. Большая сторона ($40$ см) меньше суммы двух других ($23+27=50$ см) на $50 - 40 = 10$ см. Условие выполняется.
3. Утроенная меньшая сторона ($3 \times 23 = 69$ см) больше суммы двух других ($27+40=67$ см) на $69 - 67 = 2$ см. Условие выполняется.

Ответ: стороны треугольника равны 23 см, 27 см и 40 см.