Номер 759, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 759, страница 214.

Условие.

759. a) Алёша и Боря вместе весят 82 кг, Алёша и Вова весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят вместе Алёша, Боря и Вова?

б) Старинная задача. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго — 85 р.; сложившись без третьего — 80 р.; сложившись без четвёртого — 75 р. Сколько у кого денег?

в) Старинная задача. Отец имеет семь сыновей. Сумма лет первого и четвёртого сына равна 9 годам, первого и шестого — 8 годам, второго и пятого — 8 годам, второго и третьего — 9 годам, третьего и шестого — 6 годам, четвёртого и седьмого — 4 годам, а седьмого и пятого — также 4 годам. Сколько лет каждому?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Обозначим вес Алёши как $А$, вес Бори как $Б$, и вес Вовы как $В$. Из условия задачи мы можем составить систему из трех уравнений:

1) $А + Б = 82$ кг
2) $А + В = 83$ кг
3) $Б + В = 85$ кг

Чтобы найти общий вес всех троих ($А + Б + В$), сложим все три уравнения:

$(А + Б) + (А + В) + (Б + В) = 82 + 83 + 85$

Сгруппируем переменные:

$2А + 2Б + 2В = 250$

Вынесем 2 за скобки:

$2(А + Б + В) = 250$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти суммарный вес:

$А + Б + В = \frac{250}{2}$

$А + Б + В = 125$ кг

Ответ: Вместе Алёша, Боря и Вова весят 125 кг.

б)

Обозначим количество денег у четырех купцов как $К_1, К_2, К_3$ и $К_4$. Составим систему уравнений по условию задачи:

1) $К_2 + К_3 + К_4 = 90$ (сумма без первого купца)
2) $К_1 + К_3 + К_4 = 85$ (сумма без второго купца)
3) $К_1 + К_2 + К_4 = 80$ (сумма без третьего купца)
4) $К_1 + К_2 + К_3 = 75$ (сумма без четвертого купца)

Пусть $S$ — общая сумма денег всех четырех купцов, то есть $S = К_1 + К_2 + К_3 + К_4$. Тогда каждое уравнение можно переписать так:

1) $S - К_1 = 90$
2) $S - К_2 = 85$
3) $S - К_3 = 80$
4) $S - К_4 = 75$

Сложим эти четыре новых уравнения:

$(S - К_1) + (S - К_2) + (S - К_3) + (S - К_4) = 90 + 85 + 80 + 75$

$4S - (К_1 + К_2 + К_3 + К_4) = 330$

Поскольку $(К_1 + К_2 + К_3 + К_4) = S$, получаем:

$4S - S = 330$

$3S = 330$

$S = \frac{330}{3} = 110$ рублей.

Теперь, зная общую сумму $S=110$ р., найдем, сколько денег у каждого купца:

$К_1 = S - 90 = 110 - 90 = 20$ р.
$К_2 = S - 85 = 110 - 85 = 25$ р.
$К_3 = S - 80 = 110 - 80 = 30$ р.
$К_4 = S - 75 = 110 - 75 = 35$ р.

Ответ: У первого купца 20 рублей, у второго — 25 рублей, у третьего — 30 рублей, у четвертого — 35 рублей.

в)

Обозначим возраст семи сыновей как $С_1, С_2, С_3, С_4, С_5, С_6, С_7$. Составим систему уравнений на основе условия:

1) $С_1 + С_4 = 9$
2) $С_1 + С_6 = 8$
3) $С_2 + С_5 = 8$
4) $С_2 + С_3 = 9$
5) $С_3 + С_6 = 6$
6) $С_4 + С_7 = 4$
7) $С_5 + С_7 = 4$

Из уравнений (6) и (7) видно, что $С_4 + С_7 = 4$ и $С_5 + С_7 = 4$. Это означает, что $С_4 = С_5$.

Теперь будем последовательно находить возрасты, используя метод подстановки.

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):
$(С_1 + С_4) - (С_1 + С_6) = 9 - 8$
$С_4 - С_6 = 1$, откуда $С_4 = С_6 + 1$.

Вычтем уравнение (5) из уравнения (4):
$(С_2 + С_3) - (С_3 + С_6) = 9 - 6$
$С_2 - С_6 = 3$, откуда $С_2 = С_6 + 3$.

Мы знаем, что $С_4 = С_5$. Подставим $С_4 = С_6 + 1$ и $С_2 = С_6 + 3$ в уравнение (3) $С_2 + С_5 = 8$:
$(С_6 + 3) + (С_6 + 1) = 8$
$2С_6 + 4 = 8$
$2С_6 = 4$
$С_6 = 2$ года.

Теперь, зная возраст шестого сына, найдем возрасты остальных:

$С_4 = С_6 + 1 = 2 + 1 = 3$ года.
$С_5 = С_4 = 3$ года.
$С_2 = С_6 + 3 = 2 + 3 = 5$ лет.
Из уравнения (1): $С_1 = 9 - С_4 = 9 - 3 = 6$ лет.
Из уравнения (4): $С_3 = 9 - С_2 = 9 - 5 = 4$ года.
Из уравнения (6): $С_7 = 4 - С_4 = 4 - 3 = 1$ год.

Итак, возрасты сыновей:

Первый сын ($С_1$): 6 лет
Второй сын ($С_2$): 5 лет
Третий сын ($С_3$): 4 года
Четвертый сын ($С_4$): 3 года
Пятый сын ($С_5$): 3 года
Шестой сын ($С_6$): 2 года
Седьмой сын ($С_7$): 1 год

Ответ: Первому сыну 6 лет, второму — 5 лет, третьему — 4 года, четвертому — 3 года, пятому — 3 года, шестому — 2 года, седьмому — 1 год.