Страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

750. В школьный буфет завезли 300 пирожных и булочек, общая масса которых 20 кг. Масса всех пирожных такая же, как и всех булочек. Определите количество пирожных и булочек в отдельности, если масса пирожного 100 г, а булочки 50 г.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Нахождение массы пирожных и булочек по отдельности

Сперва переведем общую массу из килограммов в граммы, чтобы все единицы измерения были одинаковыми. В одном килограмме 1000 граммов.

$20 \text{ кг} = 20 \times 1000 \text{ г} = 20000 \text{ г}$

В условии сказано, что масса всех пирожных равна массе всех булочек. Это означает, что общая масса в 20000 г делится между ними поровну.

Масса всех пирожных: $20000 \div 2 = 10000 \text{ г}$.

Масса всех булочек: $20000 \div 2 = 10000 \text{ г}$.

2. Определение количества пирожных

Известно, что масса одного пирожного составляет 100 г. Чтобы найти общее количество пирожных, разделим их общую массу на массу одного пирожного:

$10000 \text{ г} \div 100 \text{ г} = 100$ (пирожных).

3. Определение количества булочек

Масса одной булочки составляет 50 г. Чтобы найти общее количество булочек, разделим их общую массу на массу одной булочки:

$10000 \text{ г} \div 50 \text{ г} = 200$ (булочек).

4. Проверка

Для проверки сложим количество пирожных и булочек:

$100 + 200 = 300$

Полученное число (300) совпадает с общим количеством пирожных и булочек, указанным в условии задачи. Следовательно, задача решена верно.

Ответ: в школьный буфет завезли 100 пирожных и 200 булочек.

751. a) $5\%$ одного числа и $4\%$ другого вместе составляют $46$, а $4\%$ первого числа и $5\%$ второго вместе составляют $44$. Найдите эти числа.

б) $20\%$ одного числа и $50\%$ другого вместе составляют $27$, а $50\%$ первого числа и $50\%$ второго вместе составляют $42,3$. Найдите эти числа.

а) Пусть первое искомое число равно $x$, а второе — $y$.

Переведем проценты в десятичные дроби: $5\% = 0.05$ и $4\% = 0.04$.

Согласно условиям задачи, составим систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 0.05x + 0.04y = 46 \\ 0.04x + 0.05y = 44 \end{cases} $

Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$ \begin{cases} 5x + 4y = 4600 \\ 4x + 5y = 4400 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе — на 5, чтобы уравнять коэффициенты при переменной $x$:

$4 \cdot (5x + 4y = 4600) \implies 20x + 16y = 18400$

$5 \cdot (4x + 5y = 4400) \implies 20x + 25y = 22000$

Теперь вычтем из второго преобразованного уравнения первое:

$(20x + 25y) - (20x + 16y) = 22000 - 18400$

$9y = 3600$

$y = \frac{3600}{9} = 400$

Подставим найденное значение $y=400$ в уравнение $5x + 4y = 4600$:

$5x + 4(400) = 4600$

$5x + 1600 = 4600$

$5x = 4600 - 1600$

$5x = 3000$

$x = \frac{3000}{5} = 600$

Таким образом, первое число — 600, второе число — 400.

Ответ: 600 и 400.

б) Пусть первое искомое число равно $x$, а второе — $y$.

Переведем проценты в десятичные дроби: $20\% = 0.2$ и $50\% = 0.5$.

Составим систему уравнений по условиям задачи:

$ \begin{cases} 0.2x + 0.5y = 27 \\ 0.5x + 0.5y = 42.3 \end{cases} $

Решим данную систему. Наиболее простой способ — вычесть первое уравнение из второго, так как коэффициенты при переменной $y$ одинаковы. Это позволит сразу найти значение $x$.

$(0.5x + 0.5y) - (0.2x + 0.5y) = 42.3 - 27$

$0.3x = 15.3$

$x = \frac{15.3}{0.3} = 51$

Подставим найденное значение $x = 51$ в первое уравнение системы ($0.2x + 0.5y = 27$), чтобы найти $y$:

$0.2(51) + 0.5y = 27$

$10.2 + 0.5y = 27$

$0.5y = 27 - 10.2$

$0.5y = 16.8$

$y = \frac{16.8}{0.5} = 33.6$

Таким образом, первое число — 51, второе число — 33.6.

Ответ: 51 и 33.6.

752. В треугольнике большая сторона равна $16 \text{ см}$, а разность двух других сторон равна $0,4 \text{ дм}$. Чему равны стороны треугольника, если его периметр равен $0,38 \text{ м}$?

Для решения задачи первым делом необходимо привести все данные к единой единице измерения. Удобнее всего будет использовать сантиметры (см).

Переведем все величины в сантиметры:

• Большая сторона: $16$ см.
• Разность двух других сторон: $0,4 \text{ дм} = 0,4 \times 10 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
• Периметр треугольника: $0,38 \text{ м} = 0,38 \times 100 \text{ см} = 38 \text{ см}$.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию, большая сторона равна $16$ см. Пусть $c = 16 \text{ см}$.

Разность двух других сторон, $a$ и $b$, равна $4$ см. Предположим, что $a > b$, тогда можем записать уравнение:

$a - b = 4$

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, и он равен $38$ см:

$P = a + b + c = 38$

Подставим известное значение стороны $c$ в формулу периметра:

$a + b + 16 = 38$

Отсюда найдем сумму сторон $a$ и $b$:

$a + b = 38 - 16$

$a + b = 22$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 22 \\ a - b = 4 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы найти сторону $a$:

$(a + b) + (a - b) = 22 + 4$

$2a = 26$

$a = \frac{26}{2} = 13 \text{ см}$

Теперь, зная $a$, найдем $b$ из первого уравнения $a + b = 22$:

$13 + b = 22$

$b = 22 - 13 = 9 \text{ см}$

Таким образом, стороны треугольника равны $9$ см, $13$ см и $16$ см.

Проверим полученный результат:

• Большая сторона действительно $16$ см.
• Разность двух других сторон: $13 \text{ см} - 9 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
• Периметр: $9 \text{ см} + 13 \text{ см} + 16 \text{ см} = 22 \text{ см} + 16 \text{ см} = 38 \text{ см}$.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны треугольника равны 9 см, 13 см и 16 см.

753. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 0,9 м, большая сторона меньше суммы двух других сторон на 10 см, а утроенная меньшая сторона на 2 см больше суммы двух других сторон.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Пусть $a$ — наименьшая сторона, $b$ — средняя, а $c$ — наибольшая.

Сначала приведем все единицы измерения к сантиметрам, так как в условии используются и метры, и сантиметры. Периметр треугольника $P$ равен 0,9 м.

$P = 0,9 \text{ м} = 0,9 \times 100 \text{ см} = 90 \text{ см}$

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон:
$a + b + c = 90$

2. Большая сторона ($c$) меньше суммы двух других сторон ($a+b$) на 10 см. Это можно записать как:
$c = (a + b) - 10$

3. Утроенная меньшая сторона ($3a$) на 2 см больше суммы двух других сторон ($b+c$). Это можно записать как:
$3a = (b + c) + 2$

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} a + b + c = 90 & (1) \\ c = a + b - 10 & (2) \\ 3a = b + c + 2 & (3) \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение: $a + b + c = 90$. Сумма $a + b$ является частью этого уравнения. Из второго уравнения мы можем выразить $a+b$:
$a + b = c + 10$

Теперь подставим это выражение для $a+b$ в первое уравнение:
$(c + 10) + c = 90$
$2c + 10 = 90$
$2c = 90 - 10$
$2c = 80$
$c = 40$ см.

Итак, мы нашли длину наибольшей стороны. Теперь, зная $c=40$, мы можем найти сумму $a+b$ из первого уравнения:
$a + b + 40 = 90$
$a + b = 50$

Далее подставим значение $c=40$ в третье уравнение:
$3a = b + 40 + 2$
$3a = b + 42$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 50 \\ 3a = b + 42 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 50 - a$. Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:
$3a = (50 - a) + 42$
$3a = 92 - a$
$4a = 92$
$a = \frac{92}{4}$
$a = 23$ см.

Мы нашли наименьшую сторону. Осталось найти среднюю сторону $b$, используя соотношение $a+b=50$:
$23 + b = 50$
$b = 50 - 23$
$b = 27$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 23 см, 27 см и 40 см.

Проведем проверку:
1. Периметр: $23 + 27 + 40 = 90$ см, что равно $0,9$ м. Условие выполняется.
2. Большая сторона ($40$ см) меньше суммы двух других ($23+27=50$ см) на $50 - 40 = 10$ см. Условие выполняется.
3. Утроенная меньшая сторона ($3 \times 23 = 69$ см) больше суммы двух других ($27+40=67$ см) на $69 - 67 = 2$ см. Условие выполняется.

Ответ: стороны треугольника равны 23 см, 27 см и 40 см.

754. Периметр треугольника 16 дм. Большая сторона превышает меньшую на 25 см, а удвоенная средняя (по длине) сторона меньше суммы двух других сторон на 1 см. Найдите стороны треугольника.

Для решения задачи обозначим стороны треугольника как a, b и c, где a – меньшая сторона, b – средняя по длине, а c – большая сторона.

Сначала необходимо привести все единицы измерения к общему виду. В задаче используются дециметры (дм) и сантиметры (см). Переведем периметр в сантиметры, зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Периметр $P = 16 \text{ дм} = 16 \times 10 \text{ см} = 160 \text{ см}$.

Теперь составим систему уравнений на основе условий задачи:
1. Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон:
$a + b + c = 160$
2. Большая сторона превышает меньшую на 25 см:
$c = a + 25$
3. Удвоенная средняя (по длине) сторона меньше суммы двух других сторон на 1 см:
$2b = (a + c) - 1$

Теперь решим полученную систему уравнений методом подстановки. Подставим выражение для c из второго уравнения в первое и третье уравнения.

Подстановка в первое уравнение:
$a + b + (a + 25) = 160$
$2a + b + 25 = 160$
$2a + b = 135$

Подстановка в третье уравнение:
$2b = a + (a + 25) - 1$
$2b = 2a + 24$
$b = a + 12$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными a и b:
$\begin{cases} 2a + b = 135 \\ b = a + 12 \end{cases}$

Подставим выражение для b из второго уравнения этой новой системы в первое:
$2a + (a + 12) = 135$
$3a + 12 = 135$
$3a = 135 - 12$
$3a = 123$
$a = \frac{123}{3}$
$a = 41$

Мы нашли длину меньшей стороны: $a = 41$ см. Теперь можем найти длины двух других сторон.
Находим среднюю сторону b:
$b = a + 12 = 41 + 12 = 53$ см.
Находим большую сторону c:
$c = a + 25 = 41 + 25 = 66$ см.

Проведем проверку найденных значений:
- Периметр: $41 + 53 + 66 = 160$ см, что равно $16$ дм.
- Разница между большей и меньшей стороной: $66 - 41 = 25$ см.
- Удвоенная средняя сторона: $2 \times 53 = 106$ см. Сумма двух других сторон: $41 + 66 = 107$ см. Удвоенная средняя сторона действительно на $1$ см меньше ($107 - 106 = 1$).
Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны треугольника равны 41 см, 53 см и 66 см.

755. Сумма цифр двузначного числа равна 6. Если цифры этого числа переставить, то получится число, составляющее $\frac{4}{7}$ первоначального. Найдите это двузначное число.

Пусть искомое двузначное число можно записать как $10x + y$, где $x$ — цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. При этом $x$ и $y$ — целые числа, $1 \le x \le 9$, $0 \le y \le 9$.

Из первого условия задачи известно, что сумма цифр числа равна 6. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 6$

Если переставить цифры этого числа, то получится новое число, которое можно записать как $10y + x$.

Из второго условия известно, что новое число составляет $\frac{4}{7}$ от первоначального. Запишем второе уравнение:

$10y + x = \frac{4}{7} (10x + y)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 6 \\ 10y + x = \frac{4}{7}(10x + y) \end{cases}$

Для решения системы упростим второе уравнение. Умножим обе его части на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$7 \cdot (10y + x) = 4 \cdot (10x + y)$

$70y + 7x = 40x + 4y$

Перенесем члены с переменной $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ — в правую:

$70y - 4y = 40x - 7x$

$66y = 33x$

Разделим обе части на 33:

$2y = x$

Теперь мы можем подставить выражение $x = 2y$ в первое уравнение системы ($x + y = 6$):

$(2y) + y = 6$

$3y = 6$

$y = \frac{6}{3}$

$y = 2$

Зная $y$, найдем $x$ из соотношения $x = 2y$:

$x = 2 \cdot 2$

$x = 4$

Итак, цифра десятков $x=4$, а цифра единиц $y=2$. Следовательно, первоначальное число — 42.

Проверим:

1. Сумма цифр: $4 + 2 = 6$. (Верно)

2. Число с переставленными цифрами — 24. Найдем отношение нового числа к первоначальному: $\frac{24}{42} = \frac{6 \cdot 4}{6 \cdot 7} = \frac{4}{7}$. (Верно)

Ответ: 42.

756. В трёх сосудах 54 л воды. Если из первого перелить во второй 4 л, то в обоих сосудах будет воды поровну, а если из третьего сосуда перелить во второй 17 л, то во втором окажется в четыре раза больше воды, чем в третьем. Сколько воды в каждом сосуде?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальное количество воды в первом сосуде (в литрах), $y$ — во втором сосуде, а $z$ — в третьем.

Основываясь на условиях задачи, составим систему уравнений.

1. Общее количество воды в трех сосудах составляет 54 л:
$x + y + z = 54$

2. Если из первого сосуда перелить во второй 4 л, то в них станет воды поровну. Это означает, что в первом сосуде останется $(x - 4)$ л, а во втором станет $(y + 4)$ л. Составим уравнение:
$x - 4 = y + 4$
Из этого уравнения выразим $x$:
$x = y + 8$

3. Если из третьего сосуда перелить во второй 17 л, то во втором окажется в четыре раза больше воды, чем в третьем. После переливания во втором сосуде станет $(y + 17)$ л, а в третьем останется $(z - 17)$ л. Составим уравнение:
$y + 17 = 4 \cdot (z - 17)$
Упростим это уравнение и выразим $y$ через $z$:
$y + 17 = 4z - 68$
$y = 4z - 68 - 17$
$y = 4z - 85$

Таким образом, мы получили систему из трех уравнений:
1) $x + y + z = 54$
2) $x = y + 8$
3) $y = 4z - 85$

Решим эту систему методом подстановки. Сначала подставим выражение для $y$ из уравнения (3) в уравнение (2), чтобы выразить $x$ также через $z$:
$x = (4z - 85) + 8$
$x = 4z - 77$

Теперь подставим полученные выражения для $x$ и $y$ в первое уравнение системы:
$(4z - 77) + (4z - 85) + z = 54$

Решим это уравнение относительно $z$:
$4z - 77 + 4z - 85 + z = 54$
$9z - 162 = 54$
$9z = 54 + 162$
$9z = 216$
$z = \frac{216}{9}$
$z = 24$
Следовательно, в третьем сосуде было 24 л воды.

Теперь, зная $z$, найдем $y$, используя уравнение (3):
$y = 4 \cdot 24 - 85$
$y = 96 - 85$
$y = 11$
Таким образом, во втором сосуде было 11 л воды.

Наконец, найдем $x$, используя уравнение (2):
$x = 11 + 8$
$x = 19$
В первом сосуде было 19 л воды.

Ответ: в первом сосуде было 19 л воды, во втором — 11 л, а в третьем — 24 л.

Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это сумма денег (в рупиях) у первого человека, а $y$ — сумма денег у его друга.

Первое условие звучит так: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Это можно записать в виде уравнения. После обмена у первого человека станет $x + 100$ рупий, а у друга останется $y - 100$ рупий. Соотношение между этими суммами будет следующим: $x + 100 = 2(y - 100)$

Второе условие — ответ друга: «Дай мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Это означает, что если первый человек даст другу 10 рупий, у него останется $x - 10$ рупий, а у друга станет $y + 10$ рупий. Это условие можно записать в виде второго уравнения: $y + 10 = 6(x - 10)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки:
1) $x + 100 = 2y - 200 \implies x - 2y = -300$
2) $y + 10 = 6x - 60 \implies y - 6x = -70$ или $6x - y = 70$

Получилась система линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = -300 \\ 6x - y = 70 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 2y - 300$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $6(2y - 300) - y = 70$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$: $12y - 1800 - y = 70$
$11y = 70 + 1800$
$11y = 1870$
$y = \frac{1870}{11}$
$y = 170$

Итак, мы нашли, что у друга было 170 рупий. Теперь найдем, сколько денег было у первого человека, подставив значение $y$ в выражение для $x$: $x = 2y - 300 = 2 \cdot 170 - 300 = 340 - 300 = 40$

Таким образом, у первого человека было 40 рупий.

Сделаем проверку:
1. Если друг даст первому 100 рупий: у первого станет $40 + 100 = 140$, у друга останется $170 - 100 = 70$. $140 = 2 \cdot 70$. Условие выполняется.
2. Если первый даст другу 10 рупий: у первого останется $40 - 10 = 30$, у друга станет $170 + 10 = 180$. $180 = 6 \cdot 30$. Условие выполняется.

Ответ: у первого человека было 40 рупий, а у его друга — 170 рупий.

758. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг и 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит 1 гусёнок?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $y$ — это вес одного утёнка в граммах, а $g$ — вес одного гусёнка в граммах.

Сначала переведем все веса в единую единицу измерения — граммы:
2 кг 500 г = $2 \times 1000 + 500 = 2500$ г.
2 кг 400 г = $2 \times 1000 + 400 = 2400$ г.

Исходя из условия задачи, получаем два уравнения:
1. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2500 г: $3y + 4g = 2500$.
2. Четыре утёнка и три гусёнка весят 2400 г: $4y + 3g = 2400$.

Таким образом, у нас есть система линейных уравнений:$\begin{cases} 3y + 4g = 2500 \\ 4y + 3g = 2400 \end{cases}$

Чтобы найти вес одного гусёнка ($g$), необходимо исключить из уравнений переменную $y$. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе — на 3. Это позволит нам получить одинаковый коэффициент при переменной $y$ в обоих уравнениях.

$\begin{cases} 4 \times (3y + 4g) = 4 \times 2500 \\ 3 \times (4y + 3g) = 3 \times 2400 \end{cases}$
После умножения система принимает вид:$\begin{cases} 12y + 16g = 10000 \\ 12y + 9g = 7200 \end{cases}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $y$ и найти значение $g$:
$(12y + 16g) - (12y + 9g) = 10000 - 7200$
$12y - 12y + 16g - 9g = 2800$
$7g = 2800$

Осталось найти $g$, разделив обе части уравнения на 7:
$g = \frac{2800}{7}$
$g = 400$

Следовательно, вес одного гусёнка составляет 400 граммов.

Ответ: 400 г.

759. a) Алёша и Боря вместе весят 82 кг, Алёша и Вова весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят вместе Алёша, Боря и Вова?

б) Старинная задача. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго — 85 р.; сложившись без третьего — 80 р.; сложившись без четвёртого — 75 р. Сколько у кого денег?

в) Старинная задача. Отец имеет семь сыновей. Сумма лет первого и четвёртого сына равна 9 годам, первого и шестого — 8 годам, второго и пятого — 8 годам, второго и третьего — 9 годам, третьего и шестого — 6 годам, четвёртого и седьмого — 4 годам, а седьмого и пятого — также 4 годам. Сколько лет каждому?

а)

Обозначим вес Алёши как $А$, вес Бори как $Б$, и вес Вовы как $В$. Из условия задачи мы можем составить систему из трех уравнений:

1) $А + Б = 82$ кг
2) $А + В = 83$ кг
3) $Б + В = 85$ кг

Чтобы найти общий вес всех троих ($А + Б + В$), сложим все три уравнения:

$(А + Б) + (А + В) + (Б + В) = 82 + 83 + 85$

Сгруппируем переменные:

$2А + 2Б + 2В = 250$

Вынесем 2 за скобки:

$2(А + Б + В) = 250$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти суммарный вес:

$А + Б + В = \frac{250}{2}$

$А + Б + В = 125$ кг

Ответ: Вместе Алёша, Боря и Вова весят 125 кг.

б)

Обозначим количество денег у четырех купцов как $К_1, К_2, К_3$ и $К_4$. Составим систему уравнений по условию задачи:

1) $К_2 + К_3 + К_4 = 90$ (сумма без первого купца)
2) $К_1 + К_3 + К_4 = 85$ (сумма без второго купца)
3) $К_1 + К_2 + К_4 = 80$ (сумма без третьего купца)
4) $К_1 + К_2 + К_3 = 75$ (сумма без четвертого купца)

Пусть $S$ — общая сумма денег всех четырех купцов, то есть $S = К_1 + К_2 + К_3 + К_4$. Тогда каждое уравнение можно переписать так:

1) $S - К_1 = 90$
2) $S - К_2 = 85$
3) $S - К_3 = 80$
4) $S - К_4 = 75$

Сложим эти четыре новых уравнения:

$(S - К_1) + (S - К_2) + (S - К_3) + (S - К_4) = 90 + 85 + 80 + 75$

$4S - (К_1 + К_2 + К_3 + К_4) = 330$

Поскольку $(К_1 + К_2 + К_3 + К_4) = S$, получаем:

$4S - S = 330$

$3S = 330$

$S = \frac{330}{3} = 110$ рублей.

Теперь, зная общую сумму $S=110$ р., найдем, сколько денег у каждого купца:

$К_1 = S - 90 = 110 - 90 = 20$ р.
$К_2 = S - 85 = 110 - 85 = 25$ р.
$К_3 = S - 80 = 110 - 80 = 30$ р.
$К_4 = S - 75 = 110 - 75 = 35$ р.

Ответ: У первого купца 20 рублей, у второго — 25 рублей, у третьего — 30 рублей, у четвертого — 35 рублей.

в)

Обозначим возраст семи сыновей как $С_1, С_2, С_3, С_4, С_5, С_6, С_7$. Составим систему уравнений на основе условия:

1) $С_1 + С_4 = 9$
2) $С_1 + С_6 = 8$
3) $С_2 + С_5 = 8$
4) $С_2 + С_3 = 9$
5) $С_3 + С_6 = 6$
6) $С_4 + С_7 = 4$
7) $С_5 + С_7 = 4$

Из уравнений (6) и (7) видно, что $С_4 + С_7 = 4$ и $С_5 + С_7 = 4$. Это означает, что $С_4 = С_5$.

Теперь будем последовательно находить возрасты, используя метод подстановки.

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):
$(С_1 + С_4) - (С_1 + С_6) = 9 - 8$
$С_4 - С_6 = 1$, откуда $С_4 = С_6 + 1$.

Вычтем уравнение (5) из уравнения (4):
$(С_2 + С_3) - (С_3 + С_6) = 9 - 6$
$С_2 - С_6 = 3$, откуда $С_2 = С_6 + 3$.

Мы знаем, что $С_4 = С_5$. Подставим $С_4 = С_6 + 1$ и $С_2 = С_6 + 3$ в уравнение (3) $С_2 + С_5 = 8$:
$(С_6 + 3) + (С_6 + 1) = 8$
$2С_6 + 4 = 8$
$2С_6 = 4$
$С_6 = 2$ года.

Теперь, зная возраст шестого сына, найдем возрасты остальных:

$С_4 = С_6 + 1 = 2 + 1 = 3$ года.
$С_5 = С_4 = 3$ года.
$С_2 = С_6 + 3 = 2 + 3 = 5$ лет.
Из уравнения (1): $С_1 = 9 - С_4 = 9 - 3 = 6$ лет.
Из уравнения (4): $С_3 = 9 - С_2 = 9 - 5 = 4$ года.
Из уравнения (6): $С_7 = 4 - С_4 = 4 - 3 = 1$ год.

Итак, возрасты сыновей:

Первый сын ($С_1$): 6 лет
Второй сын ($С_2$): 5 лет
Третий сын ($С_3$): 4 года
Четвертый сын ($С_4$): 3 года
Пятый сын ($С_5$): 3 года
Шестой сын ($С_6$): 2 года
Седьмой сын ($С_7$): 1 год

Ответ: Первому сыну 6 лет, второму — 5 лет, третьему — 4 года, четвертому — 3 года, пятому — 3 года, шестому — 2 года, седьмому — 1 год.