Страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

760. Трём мальчикам раздали 145 орехов. Половина того числа орехов, которое получил первый мальчик, равна $ \frac{2}{3} $ того числа орехов, которое получил второй мальчик, или $ \frac{3}{4} $ того числа орехов, которое получил третий мальчик. Сколько орехов получил каждый из мальчиков?

Для решения этой задачи введем переменные, обозначающие количество орехов у каждого мальчика:
Пусть $x_1$ — количество орехов, которое получил первый мальчик.
Пусть $x_2$ — количество орехов, которое получил второй мальчик.
Пусть $x_3$ — количество орехов, которое получил третий мальчик.

Сумма всех орехов, полученных мальчиками, равна 145. Это можно записать в виде уравнения:
$x_1 + x_2 + x_3 = 145$

Из условия задачи известно, что половина числа орехов первого мальчика, $\frac{2}{3}$ числа орехов второго и $\frac{3}{4}$ числа орехов третьего равны между собой. Запишем это как систему равенств:
$\frac{1}{2}x_1 = \frac{2}{3}x_2 = \frac{3}{4}x_3$

Теперь выразим количество орехов второго и третьего мальчиков ($x_2$ и $x_3$) через количество орехов первого мальчика ($x_1$), используя эти равенства.
Из равенства $\frac{1}{2}x_1 = \frac{2}{3}x_2$ выразим $x_2$:
$x_2 = \frac{1}{2}x_1 \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2}x_1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}x_1$
Из равенства $\frac{1}{2}x_1 = \frac{3}{4}x_3$ выразим $x_3$:
$x_3 = \frac{1}{2}x_1 \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2}x_1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6}x_1 = \frac{2}{3}x_1$

Теперь у нас есть выражения для $x_2$ и $x_3$ через $x_1$. Подставим их в первое уравнение:
$x_1 + \frac{3}{4}x_1 + \frac{2}{3}x_1 = 145$

Для решения этого уравнения необходимо привести все слагаемые к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.
$\frac{12}{12}x_1 + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}x_1 + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}x_1 = 145$
$\frac{12}{12}x_1 + \frac{9}{12}x_1 + \frac{8}{12}x_1 = 145$
Сложим коэффициенты при $x_1$:
$\frac{12 + 9 + 8}{12}x_1 = 145$
$\frac{29}{12}x_1 = 145$

Теперь найдем значение $x_1$:
$x_1 = 145 \div \frac{29}{12} = 145 \cdot \frac{12}{29}$
Сократим 145 и 29 ($145 \div 29 = 5$):
$x_1 = 5 \cdot 12 = 60$
Следовательно, первый мальчик получил 60 орехов.

Зная $x_1$, найдем $x_2$ и $x_3$:
$x_2 = \frac{3}{4}x_1 = \frac{3}{4} \cdot 60 = 3 \cdot 15 = 45$
Второй мальчик получил 45 орехов.
$x_3 = \frac{2}{3}x_1 = \frac{2}{3} \cdot 60 = 2 \cdot 20 = 40$
Третий мальчик получил 40 орехов.

Проверим правильность решения.
1. Сумма орехов: $60 + 45 + 40 = 145$. Верно.
2. Равенство долей: $\frac{1}{2} \cdot 60 = 30$; $\frac{2}{3} \cdot 45 = 2 \cdot 15 = 30$; $\frac{3}{4} \cdot 40 = 3 \cdot 10 = 30$.
Все части равны ($30=30=30$), что соответствует условию задачи.

Ответ: первый мальчик получил 60 орехов, второй мальчик получил 45 орехов, третий мальчик получил 40 орехов.

761. а) Если $\frac{1}{3}$ пути турист пройдёт пешком, а $\frac{2}{3}$ пути проедет на велосипеде, то затратит на весь путь 1,5 ч. Если же $\frac{1}{3}$ пути он проедет на велосипеде, а $\frac{2}{3}$ пути пройдёт пешком, то затратит на весь путь 2 ч 15 мин. За какое время он пройдёт весь путь пешком?

б) Если $\frac{1}{4}$ бассейна наполнит первая труба, а затем $\frac{3}{4}$ вторая, то бассейн будет наполнен за 5 ч. Если же $\frac{3}{4}$ бассейна наполнит первая труба, а затем $\frac{1}{4}$ вторая, то бассейн будет наполнен за 7 ч. За какое время наполнит бассейн одна вторая труба?

в) Если $\frac{2}{5}$ пути турист проедет на поезде, а $\frac{3}{5}$ на автобусе, то он затратит на весь путь 4 ч. Если же $\frac{2}{5}$ пути турист проедет на автобусе, а $\frac{3}{5}$ на поезде, то затратит на весь путь 4 ч 20 мин. За какое время турист проедет весь путь на поезде?

а)

Пусть $t_п$ — время, за которое турист пройдёт весь путь пешком, а $t_в$ — время, за которое он проедет весь путь на велосипеде.

Сначала переведём все временные интервалы в часы для удобства расчётов:
1,5 ч
2 ч 15 мин = $2 + \frac{15}{60}$ ч = $2 + \frac{1}{4}$ ч = 2,25 ч

Исходя из условий задачи, можно составить систему из двух линейных уравнений:
1. Если турист $\frac{1}{3}$ пути идёт пешком (затрачивая $\frac{1}{3}t_п$ времени) и $\frac{2}{3}$ пути едет на велосипеде (затрачивая $\frac{2}{3}t_в$ времени), общее время составляет 1,5 часа.
$\frac{1}{3}t_п + \frac{2}{3}t_в = 1,5$
2. Если турист $\frac{2}{3}$ пути идёт пешком (затрачивая $\frac{2}{3}t_п$ времени) и $\frac{1}{3}$ пути едет на велосипеде (затрачивая $\frac{1}{3}t_в$ времени), общее время составляет 2,25 часа.
$\frac{2}{3}t_п + \frac{1}{3}t_в = 2,25$

Умножим оба уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:
1) $t_п + 2t_в = 4,5$
2) $2t_п + t_в = 6,75$

Для решения системы можно использовать метод сложения. Сложим оба уравнения:
$(t_п + 2t_в) + (2t_п + t_в) = 4,5 + 6,75$
$3t_п + 3t_в = 11,25$
Разделив обе части на 3, получим:
$t_п + t_в = 3,75$

Теперь, чтобы найти $t_п$, исключим $t_в$. Умножим второе уравнение ($2t_п + t_в = 6,75$) на 2:
$4t_п + 2t_в = 13,5$
Теперь вычтем из этого результата первое уравнение ($t_п + 2t_в = 4,5$):
$(4t_п + 2t_в) - (t_п + 2t_в) = 13,5 - 4,5$
$3t_п = 9$
$t_п = 3$

Таким образом, время, за которое турист пройдёт весь путь пешком, составляет 3 часа.

Ответ: 3 часа.

б)

Пусть $T_1$ — время, за которое первая труба может наполнить весь бассейн, а $T_2$ — время, за которое вторая труба может наполнить весь бассейн.

На основе условий задачи составим систему уравнений:
1. Первая труба наполняет $\frac{1}{4}$ бассейна (за время $\frac{1}{4}T_1$), а вторая — оставшиеся $\frac{3}{4}$ (за время $\frac{3}{4}T_2$). Общее время — 5 часов.
$\frac{1}{4}T_1 + \frac{3}{4}T_2 = 5$
2. Первая труба наполняет $\frac{3}{4}$ бассейна (за время $\frac{3}{4}T_1$), а вторая — оставшуюся $\frac{1}{4}$ (за время $\frac{1}{4}T_2$). Общее время — 7 часов.
$\frac{3}{4}T_1 + \frac{1}{4}T_2 = 7$

Умножим оба уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
1) $T_1 + 3T_2 = 20$
2) $3T_1 + T_2 = 28$

Нам нужно найти $T_2$. Для этого решим систему методом подстановки. Выразим $T_1$ из первого уравнения:
$T_1 = 20 - 3T_2$

Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$3(20 - 3T_2) + T_2 = 28$
$60 - 9T_2 + T_2 = 28$
$60 - 8T_2 = 28$
$8T_2 = 60 - 28$
$8T_2 = 32$
$T_2 = \frac{32}{8} = 4$

Следовательно, вторая труба в одиночку наполнит весь бассейн за 4 часа.

Ответ: за 4 часа.

в)

Пусть $t_{поезд}$ — время, за которое турист проедет весь путь на поезде, а $t_{автобус}$ — время, за которое он проедет весь путь на автобусе.

Переведём время в часы:
4 ч 20 мин = $4 + \frac{20}{60}$ ч = $4 + \frac{1}{3}$ ч = $\frac{13}{3}$ ч

Составим систему уравнений по условиям задачи:
1. Турист проехал $\frac{2}{5}$ пути на поезде и $\frac{3}{5}$ на автобусе, затратив 4 часа.
$\frac{2}{5}t_{поезд} + \frac{3}{5}t_{автобус} = 4$
2. Турист проехал $\frac{3}{5}$ пути на поезде и $\frac{2}{5}$ на автобусе, затратив $\frac{13}{3}$ часа.
$\frac{3}{5}t_{поезд} + \frac{2}{5}t_{автобус} = \frac{13}{3}$

Умножим оба уравнения на 5:
1) $2t_{поезд} + 3t_{автобус} = 20$
2) $3t_{поезд} + 2t_{автобус} = \frac{65}{3}$

Для нахождения $t_{поезд}$ решим систему методом исключения переменной $t_{автобус}$.
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:
1') $4t_{поезд} + 6t_{автобус} = 40$
2') $9t_{поезд} + 6t_{автобус} = \frac{65}{3} \cdot 3 = 65$

Теперь вычтем уравнение 1') из уравнения 2'):
$(9t_{поезд} + 6t_{автобус}) - (4t_{поезд} + 6t_{автобус}) = 65 - 40$
$5t_{поезд} = 25$
$t_{поезд} = \frac{25}{5} = 5$

Таким образом, чтобы проехать весь путь на поезде, туристу потребуется 5 часов.

Ответ: за 5 часов.

762. В трёх сосудах 36 л воды. Из первого сосуда перелили по-ловину имевшейся в нём воды во второй сосуд, потом треть воды, оказавшейся во втором сосуде, — в третий и, нако-нец, четверть воды, оказавшейся в третьем сосуде, перелили в первый. После этих переливаний во всех сосудах оказалось воды поровну. Сколько воды было первоначально в каждом сосуде?

Эту задачу удобнее всего решать с конца, выполняя все действия в обратном порядке.

1. Конечное состояние

В конце во всех трех сосудах оказалось воды поровну. Поскольку общий объем воды составляет 36 литров, в каждом сосуде стало по $36 \div 3 = 12$ литров.

2. Отмена последнего действия: переливание из третьего сосуда в первый

Последним действием из третьего сосуда в первый перелили четверть ($ \frac{1}{4} $) находившейся там воды. Это означает, что 12 литров, оставшиеся в третьем сосуде, составляют $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ от того количества, которое было в нем до этого переливания. Найдем, сколько воды было в третьем сосуде до этого шага: $12 \div \frac{3}{4} = 12 \times \frac{4}{3} = 16$ литров.
Количество перелитой воды равно $16 - 12 = 4$ литра.
Эти 4 литра были добавлены в первый сосуд, значит, до этого в нем было $12 - 4 = 8$ литров.
Во втором сосуде количество воды не менялось.
Итак, перед последним переливанием в сосудах было: в первом — 8 л, во втором — 12 л, в третьем — 16 л.

3. Отмена второго действия: переливание из второго сосуда в третий

Перед этим из второго сосуда в третий перелили треть ($ \frac{1}{3} $) воды. Оставшиеся 12 литров во втором сосуде составляют $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ от объема перед этим действием. Найдем, сколько воды было во втором сосуде: $12 \div \frac{2}{3} = 12 \times \frac{3}{2} = 18$ литров.
Количество перелитой воды равно $18 - 12 = 6$ литров.
Эти 6 литров были добавлены в третий сосуд, где после этого стало 16 л. Следовательно, до этого в нем было $16 - 6 = 10$ литров.
В первом сосуде количество воды не менялось.
Итак, перед вторым переливанием в сосудах было: в первом — 8 л, во втором — 18 л, в третьем — 10 л.

4. Отмена первого действия: переливание из первого сосуда во второй

Самым первым действием из первого сосуда во второй перелили половину ($ \frac{1}{2} $) воды. Оставшиеся 8 литров в первом сосуде составляют $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ от его первоначального объема. Найдем, сколько воды было в первом сосуде изначально: $8 \div \frac{1}{2} = 8 \times 2 = 16$ литров.
Количество перелитой воды равно $16 - 8 = 8$ литров.
Эти 8 литров были добавлены во второй сосуд, где после этого стало 18 л. Следовательно, изначально в нем было $18 - 8 = 10$ литров.
В третьем сосуде на этом шаге количество воды не менялось, значит в нем изначально было 10 литров.

Таким образом, мы нашли первоначальное распределение воды.

Ответ: первоначально в первом сосуде было 16 л воды, во втором — 10 л, в третьем — 10 л.