Номер 760, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 760, страница 215.

Условие.

760. Трём мальчикам раздали 145 орехов. Половина того числа орехов, которое получил первый мальчик, равна $ \frac{2}{3} $ того числа орехов, которое получил второй мальчик, или $ \frac{3}{4} $ того числа орехов, которое получил третий мальчик. Сколько орехов получил каждый из мальчиков?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи введем переменные, обозначающие количество орехов у каждого мальчика:
Пусть $x_1$ — количество орехов, которое получил первый мальчик.
Пусть $x_2$ — количество орехов, которое получил второй мальчик.
Пусть $x_3$ — количество орехов, которое получил третий мальчик.

Сумма всех орехов, полученных мальчиками, равна 145. Это можно записать в виде уравнения:
$x_1 + x_2 + x_3 = 145$

Из условия задачи известно, что половина числа орехов первого мальчика, $\frac{2}{3}$ числа орехов второго и $\frac{3}{4}$ числа орехов третьего равны между собой. Запишем это как систему равенств:
$\frac{1}{2}x_1 = \frac{2}{3}x_2 = \frac{3}{4}x_3$

Теперь выразим количество орехов второго и третьего мальчиков ($x_2$ и $x_3$) через количество орехов первого мальчика ($x_1$), используя эти равенства.
Из равенства $\frac{1}{2}x_1 = \frac{2}{3}x_2$ выразим $x_2$:
$x_2 = \frac{1}{2}x_1 \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2}x_1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}x_1$
Из равенства $\frac{1}{2}x_1 = \frac{3}{4}x_3$ выразим $x_3$:
$x_3 = \frac{1}{2}x_1 \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2}x_1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6}x_1 = \frac{2}{3}x_1$

Теперь у нас есть выражения для $x_2$ и $x_3$ через $x_1$. Подставим их в первое уравнение:
$x_1 + \frac{3}{4}x_1 + \frac{2}{3}x_1 = 145$

Для решения этого уравнения необходимо привести все слагаемые к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.
$\frac{12}{12}x_1 + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}x_1 + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}x_1 = 145$
$\frac{12}{12}x_1 + \frac{9}{12}x_1 + \frac{8}{12}x_1 = 145$
Сложим коэффициенты при $x_1$:
$\frac{12 + 9 + 8}{12}x_1 = 145$
$\frac{29}{12}x_1 = 145$

Теперь найдем значение $x_1$:
$x_1 = 145 \div \frac{29}{12} = 145 \cdot \frac{12}{29}$
Сократим 145 и 29 ($145 \div 29 = 5$):
$x_1 = 5 \cdot 12 = 60$
Следовательно, первый мальчик получил 60 орехов.

Зная $x_1$, найдем $x_2$ и $x_3$:
$x_2 = \frac{3}{4}x_1 = \frac{3}{4} \cdot 60 = 3 \cdot 15 = 45$
Второй мальчик получил 45 орехов.
$x_3 = \frac{2}{3}x_1 = \frac{2}{3} \cdot 60 = 2 \cdot 20 = 40$
Третий мальчик получил 40 орехов.

Проверим правильность решения.
1. Сумма орехов: $60 + 45 + 40 = 145$. Верно.
2. Равенство долей: $\frac{1}{2} \cdot 60 = 30$; $\frac{2}{3} \cdot 45 = 2 \cdot 15 = 30$; $\frac{3}{4} \cdot 40 = 3 \cdot 10 = 30$.
Все части равны ($30=30=30$), что соответствует условию задачи.

Ответ: первый мальчик получил 60 орехов, второй мальчик получил 45 орехов, третий мальчик получил 40 орехов.