Номер 754, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 754, страница 214.

Условие.

754. Периметр треугольника 16 дм. Большая сторона превышает меньшую на 25 см, а удвоенная средняя (по длине) сторона меньше суммы двух других сторон на 1 см. Найдите стороны треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения задачи обозначим стороны треугольника как a, b и c, где a – меньшая сторона, b – средняя по длине, а c – большая сторона.

Сначала необходимо привести все единицы измерения к общему виду. В задаче используются дециметры (дм) и сантиметры (см). Переведем периметр в сантиметры, зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Периметр $P = 16 \text{ дм} = 16 \times 10 \text{ см} = 160 \text{ см}$.

Теперь составим систему уравнений на основе условий задачи:
1. Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон:
$a + b + c = 160$
2. Большая сторона превышает меньшую на 25 см:
$c = a + 25$
3. Удвоенная средняя (по длине) сторона меньше суммы двух других сторон на 1 см:
$2b = (a + c) - 1$

Теперь решим полученную систему уравнений методом подстановки. Подставим выражение для c из второго уравнения в первое и третье уравнения.

Подстановка в первое уравнение:
$a + b + (a + 25) = 160$
$2a + b + 25 = 160$
$2a + b = 135$

Подстановка в третье уравнение:
$2b = a + (a + 25) - 1$
$2b = 2a + 24$
$b = a + 12$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными a и b:
$\begin{cases} 2a + b = 135 \\ b = a + 12 \end{cases}$

Подставим выражение для b из второго уравнения этой новой системы в первое:
$2a + (a + 12) = 135$
$3a + 12 = 135$
$3a = 135 - 12$
$3a = 123$
$a = \frac{123}{3}$
$a = 41$

Мы нашли длину меньшей стороны: $a = 41$ см. Теперь можем найти длины двух других сторон.
Находим среднюю сторону b:
$b = a + 12 = 41 + 12 = 53$ см.
Находим большую сторону c:
$c = a + 25 = 41 + 25 = 66$ см.

Проведем проверку найденных значений:
- Периметр: $41 + 53 + 66 = 160$ см, что равно $16$ дм.
- Разница между большей и меньшей стороной: $66 - 41 = 25$ см.
- Удвоенная средняя сторона: $2 \times 53 = 106$ см. Сумма двух других сторон: $41 + 66 = 107$ см. Удвоенная средняя сторона действительно на $1$ см меньше ($107 - 106 = 1$).
Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны треугольника равны 41 см, 53 см и 66 см.