Номер 751, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 751, страница 214.

Условие.

751. a) $5\%$ одного числа и $4\%$ другого вместе составляют $46$, а $4\%$ первого числа и $5\%$ второго вместе составляют $44$. Найдите эти числа.

б) $20\%$ одного числа и $50\%$ другого вместе составляют $27$, а $50\%$ первого числа и $50\%$ второго вместе составляют $42,3$. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Пусть первое искомое число равно $x$, а второе — $y$.

Переведем проценты в десятичные дроби: $5\% = 0.05$ и $4\% = 0.04$.

Согласно условиям задачи, составим систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 0.05x + 0.04y = 46 \\ 0.04x + 0.05y = 44 \end{cases} $

Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$ \begin{cases} 5x + 4y = 4600 \\ 4x + 5y = 4400 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе — на 5, чтобы уравнять коэффициенты при переменной $x$:

$4 \cdot (5x + 4y = 4600) \implies 20x + 16y = 18400$

$5 \cdot (4x + 5y = 4400) \implies 20x + 25y = 22000$

Теперь вычтем из второго преобразованного уравнения первое:

$(20x + 25y) - (20x + 16y) = 22000 - 18400$

$9y = 3600$

$y = \frac{3600}{9} = 400$

Подставим найденное значение $y=400$ в уравнение $5x + 4y = 4600$:

$5x + 4(400) = 4600$

$5x + 1600 = 4600$

$5x = 4600 - 1600$

$5x = 3000$

$x = \frac{3000}{5} = 600$

Таким образом, первое число — 600, второе число — 400.

Ответ: 600 и 400.

б) Пусть первое искомое число равно $x$, а второе — $y$.

Переведем проценты в десятичные дроби: $20\% = 0.2$ и $50\% = 0.5$.

Составим систему уравнений по условиям задачи:

$ \begin{cases} 0.2x + 0.5y = 27 \\ 0.5x + 0.5y = 42.3 \end{cases} $

Решим данную систему. Наиболее простой способ — вычесть первое уравнение из второго, так как коэффициенты при переменной $y$ одинаковы. Это позволит сразу найти значение $x$.

$(0.5x + 0.5y) - (0.2x + 0.5y) = 42.3 - 27$

$0.3x = 15.3$

$x = \frac{15.3}{0.3} = 51$

Подставим найденное значение $x = 51$ в первое уравнение системы ($0.2x + 0.5y = 27$), чтобы найти $y$:

$0.2(51) + 0.5y = 27$

$10.2 + 0.5y = 27$

$0.5y = 27 - 10.2$

$0.5y = 16.8$

$y = \frac{16.8}{0.5} = 33.6$

Таким образом, первое число — 51, второе число — 33.6.

Ответ: 51 и 33.6.