Номер 746, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 746, страница 213.

Условие.

746. Рассчитываясь за покупку, мальчик получил сдачи 70 р. монетами достоинством 5 р. и 10 р. Всего он получил 10 монет. Сколько монет достоинством 5 р. он получил?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи можно использовать систему уравнений. Обозначим количество монет достоинством 5 рублей за $x$, а количество монет достоинством 10 рублей — за $y$.

Согласно условию, всего мальчик получил 10 монет. Это можно выразить первым уравнением:

$x + y = 10$

Общая сумма сдачи составила 70 рублей. Сумма от пятирублевых монет равна $5x$, а от десятирублевых — $10y$. Это дает нам второе уравнение:

$5x + 10y = 70$

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 10 \\ 5x + 10y = 70 \end{cases}$

Есть несколько способов решить эту систему. Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 10 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$5x + 10(10 - x) = 70$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$5x + 100 - 10x = 70$

Приведем подобные слагаемые:

$100 - 5x = 70$

Перенесем 70 влево, а $5x$ вправо:

$100 - 70 = 5x$

$30 = 5x$

Найдем $x$:

$x = \frac{30}{5}$

$x = 6$

Таким образом, количество пятирублевых монет равно 6.

Для проверки можно найти количество десятирублевых монет: $y = 10 - x = 10 - 6 = 4$.
Проверим общую сумму: $6 \cdot 5 \text{ р.} + 4 \cdot 10 \text{ р.} = 30 \text{ р.} + 40 \text{ р.} = 70 \text{ р.}$.
Общее количество монет: $6 + 4 = 10$.
Расчеты верны.

Ответ: 6 монет.