Номер 741, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 741, страница 213.

Условие.

741. Если из одного пункта одновременно и в одном направлении выедут мотоциклист и велосипедист, то через 1 ч мотоциклист обгонит велосипедиста на 33 км. Если же они одновременно выедут в противоположных направлениях, то через 1 ч расстояние между ними будет равно 57 км. Можно ли узнать скорости велосипедиста и мотоциклиста? Если можно, то узнайте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Да, скорости велосипедиста и мотоциклиста узнать можно. Для решения этой задачи нужно составить систему уравнений на основе данных из условия.

Пусть $v_м$ — это скорость мотоциклиста (в км/ч), а $v_в$ — это скорость велосипедиста (в км/ч).

1. Движение в одном направлении

Когда мотоциклист и велосипедист едут в одном направлении из одной точки, мотоциклист удаляется от велосипедиста со скоростью, равной разности их скоростей. Эта скорость называется скоростью удаления. За 1 час мотоциклист обгоняет велосипедиста на 33 км. Это означает, что разность расстояний, которые они проехали за 1 час, равна 33 км.

Расстояние, которое проехал мотоциклист за 1 час: $S_м = v_м \cdot 1 = v_м$.

Расстояние, которое проехал велосипедист за 1 час: $S_в = v_в \cdot 1 = v_в$.

Разница в расстоянии: $S_м - S_в = 33$ км.

Таким образом, мы получаем первое уравнение:

$v_м - v_в = 33$

2. Движение в противоположных направлениях

Когда они едут в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей. Через 1 час расстояние между ними стало 57 км.

Суммарное расстояние, на которое они удалились друг от друга, равно сумме расстояний, пройденных каждым из них:

$S_м + S_в = 57$ км.

Так как время движения равно 1 часу, мы получаем второе уравнение:

$v_м + v_в = 57$

3. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} v_м - v_в = 33 \\ v_м + v_в = 57 \end{cases} $$

Самый простой способ решить эту систему — сложить два уравнения. Это позволит нам исключить переменную $v_в$.

$(v_м - v_в) + (v_м + v_в) = 33 + 57$

$2v_м = 90$

Отсюда находим скорость мотоциклиста:

$v_м = \frac{90}{2} = 45$ (км/ч)

Теперь подставим найденное значение $v_м = 45$ во второе уравнение системы ($v_м + v_в = 57$), чтобы найти скорость велосипедиста:

$45 + v_в = 57$

$v_в = 57 - 45$

$v_в = 12$ (км/ч)

Мы нашли скорости обоих участников движения. Проверим, соответствуют ли они условию задачи.

Разность скоростей: $45 - 12 = 33$ км/ч. За 1 час мотоциклист обгонит велосипедиста на 33 км.

Сумма скоростей: $45 + 12 = 57$ км/ч. При движении в разные стороны за 1 час расстояние между ними станет 57 км.

Все условия выполняются.

Ответ: Да, узнать скорости можно. Скорость мотоциклиста равна 45 км/ч, а скорость велосипедиста — 12 км/ч.