Номер 736, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Глава 3. Линейные уравнения - номер 736, страница 212.

Условие.

736. а) Одно число в 2 раза больше другого. Если меньшее из этих чисел увеличить в 4 раза, а большее увеличить в 2 раза, то их сумма будет равна 44. Найдите числа.

б) Одно число в 3 раза меньше другого. Если одно из чисел увеличить в 2 раза, то сумма станет равной 42. Найдите числа. Сколько решений имеет задача? Как следует изменить формулировку задачи, чтобы решение было единственным?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее число, которое в 2 раза больше, равно $2x$.

Если меньшее число увеличить в 4 раза, оно станет $4 \cdot x = 4x$.

Если большее число увеличить в 2 раза, оно станет $2 \cdot (2x) = 4x$.

Сумма этих новых чисел равна 44. Составим и решим уравнение:

$4x + 4x = 44$

$8x = 44$

$x = 44 / 8$

$x = 5.5$

Итак, меньшее число равно 5.5.

Найдем большее число:

$2x = 2 \cdot 5.5 = 11$

Проверим: меньшее число (5.5) увеличиваем в 4 раза: $5.5 \cdot 4 = 22$. Большее число (11) увеличиваем в 2 раза: $11 \cdot 2 = 22$. Их сумма: $22 + 22 = 44$. Условие выполняется.

Ответ: искомые числа – 5.5 и 11.

б)

Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее число, которое в 3 раза больше, равно $3x$.

В условии сказано: "Если одно из чисел увеличить в 2 раза, то сумма станет равной 42". Не уточнено, какое именно число нужно увеличить, поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Увеличиваем в 2 раза меньшее число.

Меньшее число становится $2x$. Большее число остается без изменений – $3x$. Их сумма равна 42. Составим уравнение:

$2x + 3x = 42$

$5x = 42$

$x = 42 / 5$

$x = 8.4$

Тогда меньшее число равно 8.4. Большее число равно $3 \cdot 8.4 = 25.2$.

Первая пара чисел: 8.4 и 25.2.

Случай 2: Увеличиваем в 2 раза большее число.

Меньшее число остается без изменений – $x$. Большее число становится $2 \cdot (3x) = 6x$. Их сумма равна 42. Составим уравнение:

$x + 6x = 42$

$7x = 42$

$x = 42 / 7$

$x = 6$

Тогда меньшее число равно 6. Большее число равно $3 \cdot 6 = 18$.

Вторая пара чисел: 6 и 18.

Таким образом, задача имеет два решения, так как условие допускает две трактовки.

Чтобы решение было единственным, нужно уточнить, какое именно число увеличивается. Например, можно изменить формулировку так:

• "Если меньшее из чисел увеличить в 2 раза, то сумма станет равной 42" (тогда ответ будет 8.4 и 25.2).
• или
• "Если большее из чисел увеличить в 2 раза, то сумма станет равной 42" (тогда ответ будет 6 и 18).

Ответ: задача имеет два решения: (8.4 и 25.2) или (6 и 18). Чтобы решение было единственным, нужно в условии указать, какое именно число (меньшее или большее) увеличивается в 2 раза.